2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，則＝（）A． B． C． D．2．若，A點的坐標(biāo)為，則B點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形4．已知向量，.那么“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已，且則等于（

）A． B． C． D．7．若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．8．已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9．下列說法中正確的是（）A．在中，，，，若，則為銳角三角形B．非零向量和滿足，，則C．已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D．在中，若，則與的面積之比為10．已知函數(shù),則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；C．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是；D．若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，，，則．11．直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點，（其中），則（

）A．的取值范圍是B．點經(jīng)過的外心C．點所在軌跡的長度為2D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若，，，，則.13．設(shè)是單位向量，且，則的最小值為．14．笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時，.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知（1）當(dāng)為何值時，與垂直（2）若，且三點共線，求的值．16．已知向量和，則,,求：(1)的值；(2)的值；(3)與的夾角θ的余弦值．17．如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，G為BE與DF的交點．若，．（1）試以，為基底表示，；（2）求證：A，G，C三點共線．18．已知函數(shù)．（Ⅰ）化簡的表達式并求函數(shù)的周期；（Ⅱ）當(dāng)時，若函數(shù)在時取得最大值，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.19．已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.1．A【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合正弦函數(shù)的和角公式可得答案.【詳解】由題意故選：A2．A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的求解公式可求.【詳解】設(shè)，因為A點的坐標(biāo)為，所以.所以，即.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量坐標(biāo)的運算，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).3．A【分析】注意到，根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運算法則和線性運算法則可得到，進而得到結(jié)論.【詳解】∴BA⊥AC,∴△ABC為直角三角形，

故選：4．A【分析】先由向量平行求出,再討論充要性．【詳解】向量，，，則解之得,則“”是“”的充分而不必要條件.即向量,.那么“”是“”的充分而不必要條件.故選：A．5．A【分析】利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示及向量的模公式，再利用投影向量的定義即可求解.【詳解】因為，，所以，，所以在上的投影向量是.故選：．6．D【分析】平方求出，進而求出，將所求的式子分子用二倍角公式化簡，分母用兩角和余弦公式展開，即可求解.【詳解】平方得，，.故選:D.【點睛】本題考查三角函數(shù)求值問題，涉及到同角間的三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換的應(yīng)用，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．A【分析】利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8．C【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理確定點的位置即可求解作答.【詳解】如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點是線段的中點，所以，所以.故選：C【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．9．BD【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用向量的和、差的模的平方的關(guān)系求得，進而判定B；注意到與同向的情況，可以否定C；延長交于,∵共線，利用平面向量的線性運算和三點共線的條件得到,進而，然后得到，利用分比定理得到，從而判定D.【詳解】即,∴,∴為鈍角，故A錯誤；，，，，故B正確；，當(dāng)時，與同向，夾角不是銳角，故C錯誤；∵，∴，延長交于,如圖所示.

∵共線，∴存在實數(shù)，，∵共線，∴,∴,∴，∴，∴.∴，∴，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系變形為正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用即可判斷各選項.【詳解】由，得.對于A，當(dāng)時，，當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B不正確；對于C，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到所得的圖象關(guān)于y軸對稱，所以,解得，當(dāng)時，m的最小值是，故C正確；對于D，如圖所示，實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，，，則必有，或，此時，另一解為.所以，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，結(jié)合已知即可判斷A；若為中點，根據(jù)已知有共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.【詳解】由，又斜邊，則，則，A正確；若為中點，則，故，又，所以共線，故在線段上，軌跡長為1，又是的外心，B正確，C錯誤；由上，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：若為中點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運算的幾何意義、數(shù)量積的幾何意義和運算律判斷軌跡，求、.12．【解析】由于，利用兩角和差公式可求出的值.【詳解】解：因為，所以，所以，同理可得：，故.故答案為：.【點睛】本題考查了兩角和差公式的知識，解決問題的關(guān)鍵是整體思想的意識，還要關(guān)注角的范圍的確定.13．【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運算將化為關(guān)于的三角函數(shù)表達式，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】，且均為單位向量，∴，||=1，,∴.設(shè)與的夾角為θ，則.故的最小值為故答案為：14．【分析】根據(jù)斜角坐標(biāo)定義寫出向量（用兩個已知單位向量表示），然后由向量數(shù)量積計算可得．【詳解】由已知，，，，解得：．故答案為：．15．（1）；（2）．【分析】（1）與垂直，即與的數(shù)量積為，利用坐標(biāo)計算可得值；（2）因為三點共線，所以，利用平面向量共線的坐標(biāo)公式計算可得的值．【詳解】解：（1），因為垂直，所以，即，得.（2）因為三點共線，所以．所以，即，所以.16．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解；（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．【詳解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴17．（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)向量的加法，減法以及數(shù)乘運算，即可求出；（2）以，為基底，利用向量共線定理，兩種方式表示出向量，由平面向量基本定理，解方程可求出，而，根據(jù)共線定理即可證出．【詳解】（1），．（2）因為D，G，F(xiàn)三點共線，則，，即．因為B，G，E三點共線，則，即，由平面向量基本定理知，解得，所以，所以A，G，C三點共線．【點睛】本題主要考查向量的線性運算，平面向量基本定理和向量共線定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．18．(Ⅰ);（Ⅱ）;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期；（Ⅱ）當(dāng)時，由可得的值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，利用伸縮變換法則得到函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】(Ⅰ),∴的周期為;（Ⅱ）函數(shù)在時取得最大值,∴,∴，∴，又∵；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,則將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，由,解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.19．（1）；（2）；（3）存在，點.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖