2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一章 集合與常用邏輯用語 第3節(jié)：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (教師版)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語第3節(jié)

全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”

考試要求1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞、“且”、“或”、“非”的含義；2.理解全稱量詞

與存在量詞的意義；3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

［知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題中的且、或、非叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞.

(2)命題p且q,p或4,非夕的真假判斷

PqP且4p或q非p

真真真真假

真假假X假

假真假亶直

假假假假亶

2.全稱量詞與存在量詞

⑴常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等.

⑵常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某

個”“有的”等.

3.全稱命題和特稱命題

名稱全稱命題特稱命題

結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x,有p(x)成立存在M中的一個X0,使p(xo)成立

簡記任意xEAf,p(x)存在p(xo)

否定存在XoGA/,非p(xo)任意非

常用結(jié)論

1.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：P或g一見真即真，p且,一見假即假，p

與非p-真假相反.

2.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

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3."p或/'的否定是"（非p）且（非q）”，“p且q”的否定是“（非p）或（非獷.

4.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對應(yīng)集合運(yùn)算中的“并”“交”“補(bǔ)''，可借助集

合運(yùn)算處理含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.

診斷自測

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“J”或“義”）

（1）命題“5>6或5>2”是假命題.（）

（2）命題非3且q）是假命題，則命題p,q中至少有一個是假命題.（）

（3）“長方形的對角線相等”是特稱命題.（）

（4）存在祝￡",p（xo）與任意xWA/,非p（x）的真假性相反.（）

答案（1）X（2）X（3）X（4）V

解析（1）錯誤.命題p或q中，p,q有一真則真.

（2）錯誤.p且q是真命題，則p,q都是真命題.

（3）錯誤.命題“長方形的對角線相等”是全稱命題.

2.（2021?全國乙卷）已知命題p：存在xCR,sinx<l；命題夕：任意xWR,陰21,

則下列命題中為真命題的是（）

A.p且qB.（非p）且q

C.p且（非q）D.非⑦或（?）

答案A

解析由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，存在xGR,使得sinx<l,所以命題p為

真命題.對任意的xWR,均有陰26。=1成立，故命題q為真命題，所以命題p

且q為真命題，故選A.

3.（2017?山東卷）已知命題p：任意x>0,ln（x+l）>0；命題q：若a>b,則。2>

戶下列命題為真命題的是（）

A.p且qB.p且（非q）

C.（非p）且qD.（非p）且（非q）

答案B

解析由已知得p真，假，故非夕真，所以p且（非幻真，故選B.

4.（易錯題）命題p：”有些三角形是等腰三角形”，則非p是.

答案所有三角形都不是等腰三角形

5.（易錯題）命題“任意xGR,?2-公+1>0”為真命題，則實數(shù)。的取值范圍為

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答案［0,4)

解析①當(dāng)a=0時，1>0恒成立；

②當(dāng)aWO時，f>0\/.0<a<4.

|j=a2—4a<0,

綜上0Wa<4.

6.（2021?合肥調(diào)研）能說明命題“任意xGR且x#0,x+l22”是假命題的x的值

X

可以是（寫出一個即可）.

答案一1（任意負(fù)數(shù)）

解析當(dāng)x>0時，x+122,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

X

當(dāng)x<0時，x+-<-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時取等號，

X

的取值為負(fù)數(shù)即可，例如X=-1.

考點突破■題型剖析

考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

1.（2021?成都調(diào)研）已知命題p：函數(shù)一^Fsinx,%G（0,兀）的最小值為2/；

sinx

命題q：若a力=0,bc=0,則4rc=0.下列命題為真命題的是（）

A.（非P）且qB.p或q

C.p且（非q）D.（非p）且（非q）

答案D

7

解析命題p：函數(shù)歹=~;---Fsinx,x￡（0,兀），由基本不等式成立的條件可知，

sinx

y>2y--sinx=2y/2,等號取不到，所以命題p是假命題.

Vsinx

命題q：取a=c=（l,0）,b=（0,1）,顯然a力=0,bc=O,但QC=1W0,所以

命題q是假命題.所以非p為真，非g為真.因此，只有（非p）且（非q）為真命題.

2.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，

q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可

表示為（）

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A.（非p）或（非q）B.p且（非q）

C.（非p）且（非q）D.p或q

答案A

解析命題p是“甲降落在指定范圍”，則非p是“甲沒降落在指定范圍”，q

是“乙降落在指定范圍”，則非g是“乙沒降落在指定范圍”，命題“至少有一

位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括“甲降落在指定范圍，乙沒降落在指定范

圍”“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”“甲沒降落在指定范圍，乙沒

降落在指定范圍”.所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為

（非p）或俳q）.

3.（2022?洛陽質(zhì)檢）設(shè)mb,c均為非零向量，已知命題p：a=b是。-c="c的必

要不充分條件，命題q：x>l是網(wǎng)>1的充分不必要條件.則下列命題中為真命題的

是（）

A.p且qB.p或q

C.（非p）且（非q）D.p或俳q）

答案B

解析由a=bo<rc=b-c,但<rc=b-c分a=6,故p為假命題.

命題q：V|x|>l,或x<—l,

.,.由,但|x|>l分x>l,

故q為真命題.故選B.

4.（2020?全國H卷）設(shè)有下列四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/平面a,直線加_L平面a,則加

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl且P4②pi且P2③（非P2）或P3④（非P3）或（非P4）

答案①③④

解析是真命題，兩兩相交不過同一點的三條直線必定有三個交點，且這三個

交點不在同一條直線上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有

且只有一個平面”，可知R為真命題；P2是假命題，因為空間三點在一條直線上

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時，有無數(shù)個平面過這三個點；P3是假命題，因為空間兩條直線不相交時，它們

可能平行，也可能異面；P4是真命題，因為一條直線垂直于一個平面，那么它垂

直于平面內(nèi)的所有直線.由以上結(jié)論知非必，非必，非》依次為真命題、真命題、

假命題，從而①③④中命題為真命題，②中命題為假命題.

感悟提升1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命題真假的判斷關(guān)鍵是對邏輯

聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”含義的理解，其操作步驟是：(1)明確其構(gòu)成形式；

(2)判斷其中命題nq的真假；(3)確定"p或，'"p且“非p”形式命題的

真假.

2.p且q形式是“一假必假，全真才真"，p或q形式是“一真必真，全假才假”，

非p與p的真假性相反.

考點二全稱量詞與存在量詞___________

例1(1)(2021?江南十校聯(lián)考)已知/(x)=sinx—tanx,命題p：存在xoeIf0.42j,/(xo)<O,

則()

A.p是假命題，非p：任意J,y(x)20

B.p是假命題，非p：存在xoJ0'2),J(xo)2O

國

C.p是真命題，非p：任意f0,2J,/(x)20

D.p是真命題，非p：存在x()e[0'2),大xo)2O

(2)已知定義域為R的函數(shù)大x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()

A.任意x6R,/(—x)#/(x)

B.任意xGR,

C.存在xoGR,八一xo)壬/(xo)

D.存在xo￡R,/(-xo)#-/(xo)

答案(1)C(2)C

CKH|

解析⑴當(dāng)xcQ'2」時,sinx<l,tanx>l.此時sinx—tanx<0,

故命題p為真命題.

由于命題p為特稱命題,

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所以命題P的否定為全稱命題，

則非p為：任意J,/(x)20.

(2)..?定義域為R的函數(shù)4c)不是偶函數(shù)，任意xGR,4一x)=/(x)為假命題，

二存在xoWR,大一xo)W/(xo)為真命題.

感悟提升1.全稱命題與特稱命題的否定與一般命題的否定有一定的區(qū)別，否定

全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞

改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.

2.判定全稱命題“任意xdM,p(x)”是真命題，需要對集合"中的每一個元素x,

證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x=xo,使

p(xo)成立即可.

訓(xùn)練1(1)設(shè)命題0所有正方形都是平行四邊形，則非「為()

A.所有正方形都不是平行四邊形

B.有的平行四邊形不是正方形

C.有的正方形不是平行四邊形

D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形

(2)下列四個命題:

p\-存在XoG(O,+°°)?UJ<uJ;

pi：存在x()e(0,兀)，sinxo<cosxo;

「3：任意xCR,Ax+1；

P4：任意xj"3),曰<10戰(zhàn).

3

其中真命題是()

A.pi,p3B.pi,P4

C.p2,PiD.p2,P4

答案(1)C(2)D

解析(1)“所有"改為“存在"(或“有的"),“都是"改為“不都是"(或“不

是”)，即非「為有的正方形不是平行四邊形.

(2)對于P1,當(dāng)xoW(O,+8)時，總有bl>UJ成立，故pi是假命題；對于P2,

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當(dāng)xo=買時，sinxo<cosxo,故P2為真命題；對于P3,當(dāng)X=0時，&"=%+1,故P3

6

為假命題；對于P4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)@與對數(shù)函數(shù)J=10g與在0'0上的圖象

3

(圖略)可以判斷P4為真命題.

考點三由命題的真假求參數(shù)

例2(1)已知命題p：任意x￡[l,2],f—Q2O；q.存在x()WR,x8+2axo+2—Q

=0,若(非p)且q是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

(2)(經(jīng)典母題)已知兀c)=ln(/+l),g(x)=吩一加，若對任意xiG[0,3],存在初引1,

2],使得"l)2g(X2),則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

答案(1)(1，+°°)(2)1'+°°]

解析(1)、?(非p)且q是真命題，

:.p假q真.

p：任意x￡[l,2],%2—為假命題,

?，?存在x￡[l,2],9—a〈o為真命題，

EPa>x2成立,.二

q：存在x()￡R,x8+2axo+2—〃=0為真命題，所以』=(2〃)2—4(2—a)20,

或QW—2.

綜上，a>\.

(2)當(dāng)X￡[0,3]時，/(x)min=/(0)=0,

當(dāng)xd[l,2]時，g(x)min=g(2)=；一加，

由/(X)minNg(x)min，

得021一m,所以〃

44

遷移本例(2)中，若將“存在》2晝[1,2]”改為“任意也6口，2]”，其他條件不

變，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

IL+』

答案3J

解析當(dāng)彳晝口，2]時，g(x)max=g(l)=3—血，

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對任意Xie[O,3],任意X2?[1,2]使得y(Xl)Ng(X2)等價于7U)min2g(x)max,得02]

.>1

—m,..m與一.

2

感悟提升L由含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假求參數(shù)的方法步驟：

(1)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；

(2)根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

2.全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題.

3.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.

訓(xùn)練2(2022?許昌質(zhì)檢)已知p：關(guān)于x的方程廿一。=0在(-8,0)上有解；q,

函數(shù)y=lg(ax2—x+a)的定義域為R,若p或4為真命題，p且令為假命題，則實

數(shù)a的取值范圍是.

答案[0)2U[l,4-oo)

解析p真：在(一8,0)上有解，

0<a<l.

q真：aN—x+aX)在R上恒成立，

當(dāng)a=0時，顯然不成立；

.._卜>0,1

當(dāng)a#0時，需、、/.aA

又p或g為真，p且q為假，

:.p真q假或p假q真.

0<a<l,

當(dāng)p真q假時，:V」

吟2

iaWO或aNl,

當(dāng)p假q真時，；J

I2J

.,.0<aWl或a，1.

2

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［分層訓(xùn)練?鞏固提升

1.(2021?成都診斷)已知命題p：對任意的xdR,2'-921,則非0為()

A.對任意的x6R,2x~x2<l

B.存在依R,2x~x2<l

C.對任意的xGR,2'-x2<l

D.存在xdR,2V—x2<l

答案D

解析p：任意xGR,2x—x2^l,.,.非p：存在xCR,2x-x2<l.

2.“p且q是真命題”是“p或g是真命題”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

3.下列命題的否定是真命題的是()

A.有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)

B.所有平行四邊形都不是菱形

C.任意兩個等邊三角形都是相似的

D.3是方程/-9=0的一個根

答案B

4.命題“任意xGR,危)重(幻70”的否定是()

A.任意xGR,大工)=0且g(x)=0

B.任意xGR,/(x)=0或g(x)=0

C.存在祀GR,/o)=0且g(xo)=0

D.存在xoWR,火xo)=O或g(xo)=O

答案D

解析根據(jù)全稱命題與特稱命題的互為否定的關(guān)系可得：命題“任意xCR,

/(x)g(x)W0”的否定是“存在xoCR,/(xo)=O或g(xo)=O”.故選D.

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5.命題p：甲的數(shù)學(xué)成績不低于100分，命題0乙的數(shù)學(xué)成績低于100分，則p

或（非q）表示（）

A.甲、乙兩人的數(shù)學(xué)成績都低于100分

B.甲、乙兩人至少有一人的數(shù)學(xué)成績低于100分

C.甲、乙兩人的數(shù)學(xué)成績都不低于100分

D.甲、乙兩人至少有一人的數(shù)學(xué)成績不低于100分

答案D

解析由于命題小乙的數(shù)學(xué)成績低于100分，因此非g：乙的數(shù)學(xué)成績不低于

100分，所以p或（非夕）表示甲、乙兩人至少有一人的數(shù)學(xué)成績不低于100分.

6.已知命題“存在xdR,4x2+（a—2）x+]w0”是假命題，則實數(shù)。的取值范圍

4

為（）

A.（—8,0）B.[0,4]

C.[4,+oo）D.（0,4）

答案D

解析因為命題“存在xeR,4x2+（a—2）x+；W0”是假命題，所以其否定為“任

意x《R,4x2+（a—2）x+->0,,是真命題.

4

則』=（a—2）2—4X4X1=a2-4a<0,解得0<a<4.

4

7.（2021?衡水檢測）命題p：若向量〃力<0,則a與力的夾角為鈍角；命題牛若

cosa?cos￡=l,則sin（a+.）=0.下列命題為真命題的是（）

A.pB.非qC.p且qD.p或q

答案D

解析當(dāng)a,〃方向相反時，ab<0,但夾角是180。，不是鈍角，命題p是假命題；

若cosacos4=1,貝ijcosa=cos4=1或cosa=cos4=-1,

所以sina=sin4=0,從而sin（a+夕）=0,命題夕是真命題,

所以p或q是真命題.

8.已知命題p："任意x￡[0,1],；命題q："存在xo￡R,使得x8+4xo

+a=0”.若命題“p且/'是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）

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A.[e,4]B.(—8,e]

C.[e,4)D.[4,+8)

答案A

解析若命題“p且4”是真命題，那么命題p,g都是真命題.由任意xC[O,1],

得a》e；由存在xo^R,使焉+4xo+a=O,得/=16—4a20,則aW4,

因此eWaW4.

9.命題：存在xoWR，l</(xo)<2的否定是.

答案任意x@R,火x)Wl或/(x)22

10.若"任意x*'V，tanxWw”是真命題，則實數(shù)w的最小值為.

答案1

0E

解析?.?函數(shù)y=tanx在['4上是增函數(shù)，

??Vmax=tan-=1,

4

依題意，加至Fmax,即加21.

：.m的最小值為1.

11.下列命題為真命題的是(填序號).

①存在xoGR,端+xo+lWO；

②任意qGR,_Ax)=log(“2+2)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

③若於)=2'—2'，則任意xCR,/(—x)=一/)；

④若/(x)=x+L則mx()e(O,+°°),/(xo)=1.

X

答案②③

解析x4+xo+l=[°+2)+^>0,故①錯誤；

?.?居+222>1,..._/(X)=10g(a2+2)X在(0,+8)上是增函數(shù)，故②正確；

/(x)為奇函數(shù)，所以任意XGR,都有/(一%)=一兀力故③正確；

xoG(O,+8)時，/(xo)=xo+—^2,當(dāng)且僅當(dāng)XO=1時取,故④錯誤.

xo

綜上有②③正確.

12.(2022?周口調(diào)研)己知p：函數(shù)/(x)=N—(2a+4)x+6在(1,+8)上是增函數(shù)，小

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任意x￡R,x2+ax+2tz—3>0,若〃且(非q)是真命題，則實數(shù)Q的取值范圍為

答案(-8,-1]

解析依題意，p為真命題，非^為真命題.

若p為真命題，則區(qū)pWl,解得aW—1.①

若非q為真命題，則存在xoWR,端+axo+2tz—3WO成立.

...序一4(2a—3)2O,解之得aN6或“W2.②

結(jié)合①②，知。?一1,即實數(shù)。的取值范圍是(-8,-1],

B級能力提升

13.已知命題p：任意x>0,e*>x+1,命題q：存在xW(O,+°°),\nx^x,則下

列命題為真命題的是()

A.p且qB.(非p)且q

C.p且(非q)D.(非p)且(非q)

答案C

解析令j\x)=e~x-1,則/(x)=廿一1,當(dāng)x>0時，f(x)>0,

所以加)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.-,/(x)>/(0)=0,

即e?x+1,則命題p