2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)真題匯 銳角三角函數(shù)（拔高卷）教師版

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)真題匯編檢測卷（拔高）

第28章銳角三角函數(shù)

考試時間：120分鐘試卷滿分：100分難度：較難

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（本題2分）（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考模擬預(yù)測）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A,B,C三點都在格點

).

D.6

JC-2

552

【答案】C

【分析】取格點〃連接CO,利用勾股定理計算出C。、8。和3C,從而根據(jù)勾股定理逆定理可判斷

^BDC=90°,然后根據(jù)正切的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，取格點〃連接C。,

由勾股定理可知CD=JV+12=0,BD=厶？+2?=20，BC=712+32=710，

???BC2=CD2+BD2,

：.^BDC=90°,

??亠2尤=8=岑=丄.

DB202

故選C.

【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

2.（本題2分）（2023春?江蘇南通?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點46的坐標(biāo)

分別為（3,0）,（0,6）,過/、0、8三點作圓，點C在第一象限部分的圓上運動，連接CO,過點。作CO的垂線

交CB的延長線于點〃，下列說法：@ZAOC=ABOD-,②tan/ODB=；；③CO的最大值為15.其中正確

C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】利用同角的余角相等可以判定①的正確；連接A3,通過證明在Rt^ABO中即可求

得結(jié)論，從而說明②正確；利用②的結(jié)論CD的值由OC決定，當(dāng)OC是圓的直徑時，C。取得最大值，利

用直徑是圓中最長的弦，可求得圓的直徑進(jìn)而求得8的最大值，由此判定③正確.

【詳解】解：VOC±OD,BO±AO,

：.ZDOC=ZBOA=90°,

NDOB+ZBOC=NBOC+ZCOA=90°,

/.ZAOC=ZBOD,①正確；

連接43,如圖，

???點4、的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,6),

OA—3,OB—6,

?.?OCLOD.BOLAO,

：.ZC+ZD=90°,ZOAB+ZOBX=90°,

ZC=ZOAB,

???ZD=ZOBAf

：.tanZODB-tanZOBA=—=-=1,②正確；

OB62

tanNODB=—,

2

OD=2OC,

CD=ylo^+OD1=^/SOC>

：0C是圓的弦，直徑是圓中最長的弦，

...當(dāng)0C是圓的直徑時，CD取得最大值，

:圓的直徑AB=VO42+（9B2=36，

CD的最大值為3指x百=15,③正確，

故選：D.

【點睛】本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定

義.

3.（本題2分）（2023春?河南新鄉(xiāng)?九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖①，在菱形ABCD,ZADC=120°,E

為CD的中點.動點〃從點/出發(fā)，沿對角線AC運動至點。停止.設(shè)點〃運動的路程為x,MD+ME=y,

y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示.則圖②中點兒的橫坐標(biāo)為（）

【分析】由后為CD的中點，可得C￡>=2CE,由圖②可知，當(dāng)M、C重合時，MD+ME=CD+CE=66=y,

解得CE=26,CD=4一,由菱形ABC。，ZA￡）C=120。，可得ZZMB=60。，ZDAC=30°,AD=CD=4y/3,

如圖，連接3。，作E關(guān)于AC的對稱點連接。后，交AC于AT,連接ATE,△BCD是等邊三角形，E'

為3c的中點，DE丄BC,由對稱的性質(zhì)可得，MD+ME=M'D+M'E=M'D+M'E'=DE'=y,可知當(dāng)

4n

D、M\9三點共線時，+=y最小，DE'丄AD,則x=AM'=———=8,然后作答即可.

cosZDAC

【詳解】解：為C。的中點,

CD=2CE,

由圖②可知，當(dāng)M、C重合時，MD+ME=CD+CE=673=y,

解得CE=2g,CD=473,

:菱形A3CD,ZAT）C=120°,

AZZMB=60°,ZDAC=30°,AD=CD=4>/3,

如圖，連接30,作E關(guān)于AC的對稱點E',連接￡>￡,交AC于ML連接ME,

△3CD是等邊三角形，￡為3。的中點，DE'±BC,

由對稱的性質(zhì)可得，MD+ME^M'D+M'E=M'D+M'E'=DE'=y,

...當(dāng)。、M'、E'三點共線時，ATO+ME=y最小，DE'YAD,

Ar）

：.x=AMf=--------------=8,

cosZDAC

點兒的橫坐標(biāo)為8,

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，余弦，折疊的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于從圖象

中獲取正確的信息.

4.（本題2分）（2023?河南信陽??？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，對折矩形Q4CB使得08與AC重

合，得到折痕防，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點/的對應(yīng)點A落在所上，折痕是OA1,連接上歩，

MFYOM,已知點A（0,6）,則點C的坐標(biāo)是（）

A.（5后6）B.（336）C.（8,6）D.（473,6）

【答案】A

【分析】由矩形折疊可知，OE=g（?A,Q4=Q4',可求出NAOA',^AOM,再根據(jù)點兒的坐標(biāo)求岀3C,

CF,根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出AM,然后求出CM,最后根據(jù)AC=A〃+CM得出答案.

【詳解】由矩形折疊可知，OE=[OA,OA^OA.

2

OE1

???sinZEAfO=——=—.

0Af2

在Rt中，NE4'O=30。，

ZAOAr=60°.

由折疊可知，ZAOM=-ZAOA,-30°.

2

VA（0,6）,

OA=6.

根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知3c=6,

由折疊的性質(zhì)，得CF=3.

在RtAAMO中，ZAOM=30°,

?.?t.an3on0o-_-A--"-,

A0

即AM=—OA=—x6=2y/3.

33

MFYOM,

ZOMF=90°,

：.ZAMO+ZCMF=90°.

又???ZAOM-^-ZAMO=90°,

：.ZCMF=ZAOM=30°.

在Rt&VfCF中，ZCMF=30°,

rp

：.tan30°=——,

CM

即CM=GC/=36，

AC=AM+CM=2A/3+36=5A/5.

故點C（56,6）.

故選：A.

【點睛】這是一道關(guān)于矩形的折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等，根據(jù)

折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出相應(yīng)線段的長是解題的關(guān)鍵.

5.（本題2分）（2023?廣西北海統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形ABCD中，BCLAB,BD±AD,CD//AB,

9

D.叵

252~T~

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出CD=2,ZADB=NBCD=90°,ZABD=NBDC,然后可得然后問

題可求解.

2

【詳解】解：VBD=3,cosZCDB=j,BCLAB

CD=BDxcosZCDB=2,

BC丄AB,BD±AD,CD//AB,

：.ZADB=ZBCD=90°,ZABD=NBDC,

:.AADB^ABCD,

ABBD口口,

nc—,BD2=ABCD,

BDCD

?；BD=3,CD=2,

工AB="9

CD2

故答案為，9

【點睛】本題主要考查，已知余弦求邊長，相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（2023春?四川南充?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中

點，連接AE、DE,分別交3D、AC于點P、Q,過點尸作尸尸丄AE交CB的延長線于P.下列結(jié)論：①

ZAED+AEAC+ZEDB=90°；②AP=FP；?AE=—AO；④若四邊形OPEQ的面積為4,則該正方形

2

A3CD的面積為36；（^）CEEF=EQDE.其中正確的結(jié)論有（)

A?5個B?4個C?3個D.2個

【答案】B

【分析】證明N￡O5=N￡CQ=45。，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題，得到①正確.利用四點共

圓證明NA嚴(yán)=/厶即=45。即可得到②正確.設(shè)BE=EC=a,求出A區(qū)04即可解決問題，得到③正確.通

過計算正方形A5CD的面積為48,得到④錯誤.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可得到⑤正確.

.?.AC±BD,OA=OC=OB=OD,

：.ZBOC=9Q0,

???△O3C是等腰直角三角形，

???點￡是邊的中點，

JBE=EC,

：.ZEOB=ZEOC=45°,

?：ZEOB=ZEDB+/OED,ZEOC=ZEAC+ZAEO,

JZAED+NEAC+/EDO

=ZEAC+ZAEO+ZOED+ZEDB

=ZEOC+ZEOB=ZBOC=90°,故①正確，

連接AF.

*.*PFLAE,

：.ZAPF=ZABF=90°,

：.A,P,B,廠四點共圓,

：.ZAFP=ZABP=45°,

：.ZPAF=ZAFP=45°f

:.PA=PF,故②正確，

設(shè)BE=EC=a,則AE=y]AB2+BE2=V2a2+a1=后a，

OA=OC=OB=OD=BCsin45°=2ixsin45。=2ax—=伝,

2

.AE45aVlOV10…

??——=^=--,BnnPAE=^—AO,故③正確，

AO42a22

根據(jù)對稱性可知，CPE&OQP,

?SOEQ=~S四邊形0PEQ=2,

??OB=OD,BE=EC,

,?O石是△3CD的中位線,

??CD=2OE,OE//CD,

EQOE_1

OEQsCDQ,

D2CD-2

1?SODQ=2sOEQ=4，SCDQ=4sOEQ=8,

?*-SCD0=S0DQ+SCDQ=12,

**?S正方形A5CD=4sCDO=48,故④錯誤，

ZEPF=Z.DCE=90°,/PEF=ZDEC,

：?IEPFS&ECD,

.EFPE

??訪一耘’

:?CEEF=PEDE,

?：EQ=PE,

：.CEEF=EQDE,故⑤正確，

故正確的結(jié)論為：①②③⑤.

故選：B.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成

比例定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考填空題中的

壓軸題.

7.（本題2分）（2023春?浙江溫州?八年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以其三邊

為邊向外作正方形，連結(jié)交AC于點尸，過點尸作尸尺丄尸G于點R.過E點作E/丄BA交54延長線

于點J,EJ.JH=1:2,EH=8后,則質(zhì)的值為（）

A.30B.11C.4這D.5這

【答案】B

【分析】設(shè)尸R與A3交于點N,利用正方形性質(zhì)可證得ACB-EV（AAS）,得出E/=AB,AJ=BC,設(shè)

pj1

AB=x,2C=y,根據(jù)tanAAHE=胃=，可得夕=2y,m=4y,利用勾股定理建立方程求解可得x=8,

JH2

再由tanNC43=g￡=：=:，可得PA=PH,利用等腰三角形性質(zhì)和解直角三角形可求得PH=3,再證明

ABo2

四邊形5GHN是矩形，得出M?=3G=8,利用尸R=PN+NR即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)質(zhì)與交于點N,

:.AE=ACfBC=BH,AB=BG,/CAE=NCBH=ZABG=/G=9伊，AB//FG,

ZABC=90°,

:.ZABC=ZJ=90°,

.\ZACB+ZCAB=90°,

ZEV+ZC4B=90°,

:.ZACB=ZEAJ,

/._ACB^_EV(AAS),

:.EJ=AB,AJ=BC,

AJ=BH=BC,

設(shè)AB=x,BC=y,

則￡7=%,AJ=BH=y,

JH=x+2y,

tanZAHE=-,

2

FT1

??——'=—,即JH=2EJ,

JH2

x+2y=2xf

/.x=2y,

EJ=2y,JH=4y,

EJ2+JH2=EH2,

(2y)2+(4y)2=(8A/5)2,

解得：，=4或y=-4(舍去),

:.x=8,

AJ=BC=BH=4,AB=BG=8,

ZABC+ZCBH=180°,

「.A、B、H三點共線，

AH=AB-}-BH=8+4=12,

tan/CAB=些4_J_

AB8-2

/.tanZCAB=tanZAHE,

...ZCAB=ZAHE,

:.PA=PH,

AB//FG,

:.ZPNB=ZPRG=90°f

..AN=-AH=-x12=6,

22

?PN/宀八1

??--=tanNC45=—,

AN2

：,PN=-AN=-X6=3,

22

PR±FG,

:.ZPRG=9Q°,

ZABC=ZG=/PRG=90°,

二?四邊形5GRN是矩形，

：.NR=BG=8,

.?.PR=PN+NR=3+8=11.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，三角函數(shù)定義等知識，利用勾股定理建立方程求得超=8,BC=4是解題的關(guān)鍵.

8.（本題2分）（2022秋?江蘇南通?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是。的直徑，CE切：。于點C交

的延長線于點E.設(shè)點。是弦AC上任意一點（不含端點），若NCEA=3O。，BE=4,則CD+2OD的

【答案】D

【分析】作O尸平分—AOC,交，。于F，連接AF、CF、DF,過點D作?！▉A0c于H,根據(jù)切線的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得NCOE=60。，求得NAOC=120。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

NAOb=NCO尸=60。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得OE=2OC,求得OC=4,根據(jù)等邊三角形

的判定和性質(zhì)可得AF=AO=OC=FC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得AC平分ZFAO,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

和全等三角形的判定和性質(zhì)可得。尸=00,根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求得/OC4=/Q4C=30。，

根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得CD=2DH,推得CD+2OD=2（DH+FD）,根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)尸、

D、H三點共線時，DH+Q的值最小，即出丄AC時，CD+2QD的值最小，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)

可求得FH=2W,即可求解.

【詳解】解：作NAOC的角平分線OB,交r。于P,連接"、CF、DF,過點。作丄OC于如

圖：

OCLCE,

：.ZOCE=90°,

又；ZCEA=30°,

：.ZCOE=180°-90°-30°=60°,

ZAOC=180°-60°=120°,

,/OF平分NAOC,

貝I」ZAOF=ZCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

ZCEO=30°,ZOCE=90°,

：.OC=^OE,即OE=2OC,

又；OE=OB+BE=OC+BE,BE=4,

：.2OC=OC+4,

.,.OC=4,即圓的半徑為4,

VOA^OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,

/.^AOF,一COb是等邊三角形，

AF=AO^OC^FC,

，四邊形AOCV是菱形，

/.AC平分NE4O,

ZFAC=ZOAC,

又：AF=AO,AD=AD,

.??，F(xiàn)AD^OAD（SAS）,

：.DF=DO,

'：OA=OC,

NOCA=NOAC="厶"=18。。-12。。=3QO,

22

：.DH=DC,sinZDCH=DC-sin30°=-DC,即CD=2DH,

2

???CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.

若使CD+2O。的值最小，即。H+ED的值最小，

當(dāng)F、。、H三點共線時，DH+FD=FH,此時D9+FD的值最小,

即丄AC時，CD+2OD的值最小，

此時，F(xiàn)H=OF-sinZFOH=OF-sin60°=—OF=24i,

2

CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=44,

故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，特殊角的銳角三角

函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)尸、。、H三點共線時，DH+FD的值最小，即CD+28的值

最小.

9.（本題2分）（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，/B=60。，ZC=90°,E為

邊3c上的點，VADE為等邊三角形，BE=3,CE=2,貝Utan/AEB的值為（）

3/口4-

--------U.----------

55

【分析】作E尸丄43于點尸，AH丄BE于點、H,解直角△証戶，得出==證明,.AEF/qEDC,

得出AF=EC=2,再求出A"=3/,HE=5,然后利用正切函數(shù)定義即可求解.

【詳解】如圖，作EF丄AB于點尸，47丄3E于點H,

丁-0。，BE=8,

：.ZBEF=90°—NB=30°,

BF=LBE=4.

2

???VW石為等邊三角形，

AZAED=6O°fAE=DE,

VZBAE+ZB+ZA￡B=180°,ZDEC-^-ZAED^-ZAEB=180°,

???ZBAE=ZDEC,

在△AEF與△E?C中，

ZEAF=ZDEC

<ZAFE=ZC,

AE=ED

：._AEF^_￡DC（AAS）,

:.AF=EC=2,

???AB=AF+BF=2+4=6f

,/ZA7ffi=90°,ZBAH=900-ZB=30°,

/.BH=^AB=39AH=6BH=35

：.HE=BE—BH=8—3=5,

???tanZAEH=—=—

HE5

故選：C.

【點睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3

10-（本題2分）（2。23.安徽合肥.統(tǒng)考一模）在‘ABC中’回4'sin?C="點〃是點8關(guān)于4C

的對稱點，連接A。，CD,E,F是AD,BC上兩點，作硯T丄3D,FN丄3。，垂足分別為以用若AD〃3C,

AE=BF,則EA/+RV的值是（）

A.不B.5C.2gD.10

【答案】A

【分析】作出相應(yīng)的圖形，由軸對稱的性質(zhì)可得A￡>=AB=4,BO=DO,AC1BD,從而可求得30=3,

由勾股定理求得4。=近，再由平行線的性質(zhì)可得NCBO=NAr>O,可判定V3COAZMO,則有=

AO=CO,再由線段的比即可求解.

【詳解】解:如圖，

:點〃是點6關(guān)于AC的對稱點，AB=4,

/.AD=AB=4,ACJ.BD,BO=DO,

3

VsinABAC

4

.BO3

??一，

AB4

BO3

即nn丁=:，

44

解得：BO=3,

??AO=\/AB2—OB2=J42—32=5/7，

■:AD//BC,

：.ZCB=ZADO,

在丄5co和ZMO中，

ZCBO=ZADO

<BO=DO,

ZBOC=ZDOA

：.^BCO^DAO(ASA)f

：.BC=AD=4fAO=CO=y/l,

?；EM丄BD,FN.LBD,

：.EM//AO,FN//CO,

.DEEMBFNF

**AD-AO?~BC~~CO'

.^-AEEMBFNF

…4一幣'4一S'

,:AE=BF,

.4—BFEM

1BFEM

即l一丁=石'

?i1__N_F_=_E_M_

,,幣幣'

EM+NF,

V7=

EM+NF=yfl.

故選：A.

【點睛】本題主要考查解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各

邊的關(guān)系.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（本題2分）（2023?北京?北京四中校考模擬預(yù)測）如圖，A,6是反比例函數(shù)丫=丄（左>0,x>0）圖

X

象上的兩點，直線A5交y軸正半軸于點反過點46分別作X軸的平行線交y軸于點GD,若點6的橫

3

坐標(biāo)是4,CD=3AC,cosZBED=~,則A的值為.

12

【答案】y

ED3

【分析】由cos/BET”一=一，設(shè)。石=3〃，5￡=5a,則50=4%可求得折1,設(shè)AC4,CD=3A,由AC〃亜,

EB5

可得嬰=怨=0，求出6的值，再求出小三口小，/4,〃），利用46是圖象上的兩點，即可求出

ECED3I33丿

答案.

【詳解】解：國>〃光軸,

:.ZEDB=90°,

FD3

cosZBED=——=—,

EB5

設(shè)DE=3a，BE—5a,

/.BD=4a,

???點8的橫坐標(biāo)為4,

/.4a=4,

則a=l,

DE-3,

CD=3AC,

設(shè)AC=b,CD=3b,

AC?BD,

.ACBD_4

…正一-3

3

/.EC=—b,

4

315

.\ED=3b+-b=—b,

44

:.—b=3

4f

4

貝肥=二，

412

/.AC=~,CD=——

55

設(shè)8點的縱坐標(biāo)為n,

/.OD=n,

12

貝IJOOCO+O。=不+〃,

邛，竺+〃

，3(4,n),

(55

k

?A8是反比例函數(shù)尸—(k>0,x>0)圖象上的兩點,

x

A=4n,

5

3

n=—,

12

故答案為：—.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解直角三角形及勾股定理得應(yīng)用，表示出點2、8的

坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

12.（本題2分）（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行四邊形ABC。中，￡為5。邊上一

點，連接AE、DE,若=AE=DC,BE=4,tanZ^=3,則EC的長為.

【答案】6

【分析】作Ab丄丄AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合tanN5可求厶石；根據(jù)AD〃C5可得

ZB=ZAEB=ZDAE,再次利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合tanNZME即可求A。，進(jìn)一步可求EC的長.

【詳解】解：作A/丄丄AE,如圖所示：

?.?AE=DC,AB=DC

：.AB=AE,NB=ZAEB

??,AD//BC

：.ZAEB=ZDAE

：.ZB=ZAEB=ZDAE

,:BE=4

：.BF=EF=2

AF

VtanZB=——=3

BF

AF=6,AB=AE=4AFT+BFI=2y/10

AD=DE,DG±AE

：.AG=EG=M

tanZ.DAE=tanZAEB=tanZB=3

DG=3屈,AD=y/DG2+AG2=10

BC=AD=W

"：BE=4

：.EC=BC-BE=6

故答案為：6

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正切的定義，綜合性較強.作垂線構(gòu)造直角三角形是

解題關(guān)鍵.

13.（本題2分）（2022?陜西西安?校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的45=4,8c=4/，￡是C。上

一點（不與久。重合），CF丄BE于公戶在跖上，且,么"分別是43、AC上的動點，貝UPMN

周長的最小值為.

【答案】45/21-12

【分析】作點戶關(guān)于直線43的對稱點P，作點戶關(guān)于直線AC的對稱點尸"，連接P〃、P',PMN周長最

小值為然后由三角形相似和勾股定理求解.

【詳解】解：：四邊形A3CD是矩形，

ZABC=90°,

,：AB=4,4s

，ZBAC=60°,

作點戶關(guān)于直線AB的對稱P,連接AP’,作點戶關(guān)于直線AC的對稱尸"

連接HP",與A3、AC分別交于點肱N,

由軸對稱的性質(zhì)可知，PM=PM,PN=P"N,

CPMN=PM+PN+MN=P'M+PN+MN=P'P,

此時，周長最小為PP",

由對稱性可知，ZBAP'=ZBAP,ZCAP"=ZCAP,AP'=AP=AP",

：.ZBAP'+ZCAP"=ZBAP+ZCAP=ABAC,ZP'AP"=2NBAC=120°,

...為等腰三角形，

；PAW周長最小值P'P"=43AP'=6Ap,當(dāng)AP最短時，周長最小,

連接。尸，

,:CF丄BE,MPF=73CF,

PC

：.ZPCF=60°,—=2,

CF

9：ZACD=ZBAC=60°,

：./PCF=ZACD,

：.ZPCA=ZFCDf

又??生-2

?CD'

AQPC

???在與△OfC中，一=—,/PCA=/FCD,

CDCF

jAPCDFC,

?AP-AC

,,市一五'

：.AP=2DFf

'：ZBFC=90°,取3c中點0,

?,?點尸在以BC為直徑的圓上運動，當(dāng)〃、F、。三點在同一直線上時，最短,

DF=DO-FO=OD-^BC=^42+（2>/3）2-；乂46=2幣-26,

，AP最小值為AP=2DF,

此時，_PMN周長最小值P'P"=#>AP=4扃-12,

故答案為：401-12.

【點睛】本題考查了軸對稱塌短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作

出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

9

14.（本題2分）（2020秋?上海青浦?九年級?？茧A段練習(xí)）在Rt^ABC中，ZACB^90°,AB=9,cosA=j,

如果將」1BC繞著點C施轉(zhuǎn)至△A?C的位置，使點B'落在/ACB的角平分線上，A?與AC相交于點4

那么線段CD的長等于.

【答案】30V2-12VK）

【分析】如圖，過點8'作？尸丄AC于點凡過點A作A'E丄AC于點反利用面積法構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】如圖，過點B'作B'F丄AC于點F,過點A作NE丄AC于點E.

?：NBCB'=ZACB'=ZACA=45°,

....A!EC,AFCB'是等腰直角三角形，

2

在RtZXABC中，AB=9,cosA=-,

3

/.AC=6,BC=375,

AB'F=CF=^^~,EC=AE=3直,

2

SA..￡K?C=SAAoBCC=2_AC?_BC=—2x6x3A/5=9-75,

又S..=S,+S.=-CDA!E+-CDB'F=-CD(A!E+B'F\,7

?—、ADRCrAACc￡znDRCrLn，222、

3拒+=9氐

CD=30>/2-12VT0.

故答案為：3072-12^

【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和三角形面積求法等知識，利用

SA'B'C=SACD+sB'CD求出co是解題關(guān)鍵.

15.（本題2分）（2023?河南商丘??？级＃┤鐖D，在矩形紙片A3CD中，AB=4,45=5,點尸是AB

的中點，點E為AO上一動點，作AXE廠關(guān)于直線所的對稱圖形，點/的對應(yīng)點為點4,作AEF關(guān)于

直線4E的對稱圖形，點尸的對應(yīng)點為F.當(dāng)點廣落在矩形ABCD的邊上時，AE的長為

【答案】2幣或典

3

【分析】根據(jù)題意可得點P、A'、尸，三點共線，再根據(jù)含30。角的直角三角形三邊關(guān)系計算,具體分（1）

當(dāng)點F落在邊AD上，（2）當(dāng)點F落在邊上兩種情況計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：NA=NE4'E=NE4'尸=90。，

:.ZFAF'=180°,即點尸、A、F三點共線，分以下兩種情況討論：

⑴當(dāng)點F落在邊AD上時，如圖:

AEF、△AEF關(guān)于直線所對稱，AA'EF.AA'E尸關(guān)于直線可對稱,

ZAFE=ZAFE=ZAF'E,

ZA=90°,

ZAFE+ZA'FE+ZA'F'E=90°,

ZAFE=ZA'FE=ZAF'E=30°,

AF=-AB=2,

2

：.FF'=2.AF=4,AF=26，EF=2AE=EF',

AE=-AF'=—；

33

（2）當(dāng)點p落在邊3C上時，如圖：

—AEF、ZkAEF關(guān)于直線反對稱，△AEF、AA'W關(guān)于直線而對稱,

：.AF=FA=AF'=2=FB,BPFF'=2FB,

NBF'F=30°,NBFF'=60°,

ZAFF'=180°-60°=120°,

ZAFE=-ZAFF'=60°,

2

AE=退AF=273,

故4'的長為：半或26.

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到等

角及等量線段.

16.（本題2分）（2023?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）“神舟”十四號載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的

首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次

載人飛行任務(wù).如圖，當(dāng)“神舟”十四號運行到地球表面夕點的正上方的尸點處時，從點尸能直接看到的

地球表面最遠(yuǎn)的點記為。點，己知尸尸土*km,ZFOe=20°,cos20°?0.9,則圓心角NPOQ所對的弧長

約為km（結(jié)果保留兀）.

6400

【答案】---------71

【分析】設(shè)。尸=OQ=rkm,由尸。是C0的切線，可得cos/R9Q=空，由此構(gòu)建方程求出r,再利用弧

長公式求解.

【詳解】解：設(shè)0P=OQ=rkm,

由題意，歹。是C。的切線,

/.FQLOQ,

CO墻

0.9二

6400,

廠+

9

r=6400，

20XTTX64006400

PQ的長=---------71

180

6400

故答案為:---------71

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程求解.

17.（本題2分）（2023?江蘇揚州?校考三模）在邊長為6的正方形ABCD中，點E是邊8C上的動點（不

與B,C重合），連接AE,將，ABE沿AE向右翻折得厶”￡,連接C歹和DF,若為等腰三角形,

則BE的長為______________________

【答案】2有或12-6百

【分析】分兩種情形討論，當(dāng)OC=O尸時，過戶作丄AD交AO于點M,證明利用

相似三角形的性質(zhì)列式計算即可；當(dāng)/C=￡）尸時，求得/FW=30。，在RtA4BE中，解直角三角形即可

求解.

【詳解】解：當(dāng)。C=OR時，如圖，過尸作交AD于點M,則MN13C,

BENc

:正方形ABCD,

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

，四邊形ABNM、MNCD都是矩形，

AB=AF=CD=DF=6=MN,AM=BN=3,AABE=/LAFE=90°,

設(shè)班=x,

EF=BE=x,EN=3-x,

ZAFM+ZFAM=ZAFM+ZEFN=90°,

ZFAM=ZEFN,

/\FAM^/\EFN,

.AFAM

??赤一俞’

?6_3

??提一麗，

??.FN=~,

2

：.在Rt/XEFN中，EF2=EN2+FN2,

f=(3-x)2+圖,

，x=12±6百(較大值舍去)，

/.可得此時BE=12-6A/3；

當(dāng)尸C=Db時，如圖，過尸作MZV1AD交AD于點則ACV1BC,過尸作RK丄CD交CD于點K,

同理，四邊形4BMW、MFKD、-VCK都是矩形,

在RtZXAFM中,

由題意可得：AF=CD=6=2FM,

..FM丄

..sinZFAM=---

AF2

ZE4M=30°,

,//BAD=90°,

ZBAF=60°,

：.ZEAB=ZEAF=30°,

在RtAABE中，B￡=AB.tan30°=2V3；

綜上所述，BE的長為2若或12-6A/L

故答案為：24或12-6百.

【點睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是正確尋找點尸的位置，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三

角形解決問題.

18.（本題2分）（2023?河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,對稱軸AD

交3c于點。，點E是直線AD上的一個動點，連接EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)30。得FC,連接。尸，

則OR長的最小值為

【答案】^^/~3+2^/>/3-1/-1+V3

2222

【分析】在AC上取一點G,使CG=CD,連接EG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD=CG=栃,再求出

/DCF=/GCE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF,然后利用“邊角邊”證明sOCV和全等，再根據(jù)全

等三角形對應(yīng)邊相等可得。尸=EG,然后根據(jù)垂線段最短可得EG丄AD時最短，再根據(jù)NG4D=60。求解

即可.

【詳解】解：如圖，在AC上取一點G,使CG=CD,連接EG,

AB=AC=2,ZBAC=nO0,

ZACB=30°,

：.CD=6,

旋轉(zhuǎn)角為30。，

「.NEC產(chǎn)=30。，

:.ZECF=ZACB,

:.Z.GCE=ZDCF,

CD=CG,

又二CE旋轉(zhuǎn)到CF,

:.CE=CF,

.-.△Z)CF^AGCE(SAS),

：.DF=EG,

根據(jù)垂線段最短，EG丄5時，石G最短，即。尸最短，如圖所示:

ZC4￡>=1X120°=60°,AG=AC-CG=2-6，

.-.￡G=AG-sin600=（2-73）x^=^/3--,

22

.-.OF=73--,

2

故答案為：道-g.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三

角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

19.（本題2分）（2022?福建南平??？寄M預(yù)測）如圖，正三角形ABC的邊長為a,點月是AB邊上的動

點（不與端點48重合），在CE上方作正三角形CEF.當(dāng)點￡由點6向點/運動過程中，①BE二AF；②

四邊形AEW的面積隨著點￡從點8向點力方向的運動而逐漸變大；③若點G為AC的中點，則GF的最小

值為縣；④△CEF面積的最小值為±8/.其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

416--------------------

【答案】①③④

【分析】證明BCE名ACF,判斷①和②；證明得到點P在過點A,平行于BC的直線上運動，

根據(jù)垂線段最短，得到GV丄A/時，GF最小，進(jìn)行求解判斷③；根據(jù)CE最小時，面積最小，再根

據(jù)垂線段最短，得到時，CE最小，進(jìn)行求解，判斷④.

【詳解】解：：正三角形ABC,正三角形CEF,

BC=AC,CE=CF,ZACB=60。,NEC產(chǎn)=60°,

ZBCE=ZACF,

.BCE^ACF,

/.BE=AF,故①正確；

,BCEgACF,

?V=Q

??Q,BCE一°ACF，

???四邊形AEC/的面積=SACFACE=SCEACE

+sB+s=S.ABC

，四邊形AFC尸的面積不變，故②錯誤；

；_BCE\ACF,

：.ZCAF^ZB^60°=ZACB,

：.AF〃BC,

，點廠在過點A,平行于BC的直線上運動，

.?.當(dāng)GV丄A/時，G尸最小，如圖，

BC

：G是AC的中點，

/.AG=-AC=-,

22

ZC4F=60°,

/.GF=AG-sin60°=—6Z,故③正確；

4

過點E作団丄CF,貝U：CH=FH=gcF=gcE,

：.EH=^CE2-CH2=,

2

/.ACEF面積=-CFEH=—CE2,

24

...當(dāng)CE最小時，△CEF的面積最小，

???點￡是A3邊上的動點，

???當(dāng)CE1AB時，CE最小時，如圖:

則：BE=-AB=a,

2

?3,…爐當(dāng)

?=W；故④正確;

：.△CEF面積=十

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握等邊

三角形的性質(zhì)，證明絲本題的綜合性強，難度較大，屬于填空題中的壓軸題.

20.（本題2分）（2023?山東濱州?統(tǒng)考二模）如圖，在,ABC中，ZABC=90°,ZC=30°,以點A為圓

心，以A3的長為半徑作弧，交AC于點。，連接3D,再分別以點8,。為圓心，大于;劭的長為半徑作

弧，兩弧交于點尸，作射線人尸，交3c于點E,連接DE,則下列結(jié)論①3E=OE；②OE垂直平分線段AC；

③BD'BCBE;④y￡=卓.其中不正確的結(jié)論是________.（只填序號）

^/XABC3

【答案】④

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可以判斷①正確；利用等邊三角形的性質(zhì)，①的

結(jié)論和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可以判斷②正確；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判

斷④錯誤；利用相似三角形的判定與性質(zhì)可以判斷③正確.

【詳解】解：由題意得：AB=AD,A尸為/BAC的平分線，

Z/4BC=90°,ZC=30°,

:.ZBAC=60°,

：.ABD為等邊三角形，

/.AP為30的垂直平分線，

BE—DE,

??.①的結(jié)論正確；

亠ABD為等邊三角形，

.\ZABD=60°,ZADB=60°

:.ZDBE=30°,

BE=DE,

.?.ZEDB=NEBD=30°,

/.ZADE=ZADB+NEDB=90°,

,\DE±AC.

ZABC=90。，ZC=30°,

:.AC=2AB,

AB=AD,

AD=CD,

「.DE垂直平分線段AC；

二?②的結(jié)論正確；

NEDC=ZABC=92。,ZC=ZCf

?...CDEs&CBA,

AD=AB,

DEDEJ?

----==tcinZ-DAE=幻〃30°=—,

ABAD3

*q4CDE_i1

S^CBA3

④的結(jié)論不正確；

ZBDE=ZC,/DBE=NCBD,

BDEs、BCD,

BEBD

"BD~BC'

BD2=BCBE,

二③的結(jié)論正確,

綜上，結(jié)論不正確的有：④,

故答案為：④.

【點睛】本題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的作法，線段垂直平分線的判定與性質(zhì),

相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°角的直角三角

形的性質(zhì)和相似