證比例式或等積式的七種技巧課件人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第1頁(yè)
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第5招證比例式或等積式的七種技巧人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）提分專練

例如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為CB的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AC·CF＝CB·DF.證明：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為CB的中點(diǎn)，∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA．∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠ACD．∴∠FDA＝∠ACD．技巧1構(gòu)造平行線法【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∴∠1＝∠E，∠2＝∠3.技巧2三點(diǎn)定型法2.[2023·上海]如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB．求證：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.3.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.技巧3構(gòu)造相似三角形法【證明】如圖，連接PM，PN.∵M(jìn)N是AP的垂直平分線，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.【點(diǎn)方法】通過(guò)作輔助線構(gòu)造出△BPM和△CNP，將要證的四條線段轉(zhuǎn)化在這兩個(gè)三角形中，利用已知條件證兩三角形相似，從而得出結(jié)論．技巧4等比過(guò)渡法【點(diǎn)方法】利用平行線得到三角形相似，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，可求某些線段的長(zhǎng)或證明比例式、等積式．當(dāng)直接利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等或平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，可找中間比進(jìn)行過(guò)渡，而找“中間比”是證比例關(guān)系常用的方法．技巧5兩次相似法【點(diǎn)撥】本題先證△BDF∽△BAE，再證△ABC∽△DBA，進(jìn)而得出結(jié)論．技巧6等積代換法6.如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BG⊥AP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D．求證：CE2＝DE·PE.技巧7等線段代換法7.如圖，在

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