2022年廣東省梅州市潭江中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

2022年廣東省梅州市潭江中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當x＞0，y＞0，+=1時，x+y的最小值為（）A．10 B．12 C．14 D．16參考答案：D【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，當且僅當y=3x=12時取等號．∴x+y的最小值為16．故選：D．2.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2=（） A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10參考答案：B【考點】等差數(shù)列；等比數(shù)列． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用已知條件列出關于a1，d的方程，求出a1，代入通項公式即可求得a2． 【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比數(shù)列， ∴a32=a1a4， 即（a1+4）2=a1×（a1+6）， 解得a1=﹣8， ∴a2=a1+2=﹣6． 故選B． 【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的定義，比較簡單． 3.中心均為原點的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點,若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（

）A.3

B.2

C.

D.參考答案：B4.若實數(shù)成等比數(shù)列，非零實數(shù)分別為與，與的等差中項，則下列結論正確的是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.若關于的不等式內有解，則實數(shù)的取值范圍是（

） A．

B． C． D．參考答案：A略7.由直線曲線及軸所圍圖形的面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.設(

)

A．4

B．5

C．6

D．10參考答案：B略9.如果生男孩和生女孩的概率相等，有一對夫妻生有3個小孩，已知這對夫妻的孩子有一個是女孩，那么這對夫妻有男孩的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知橢圓(a>b>0)的離心率為，準線為、；雙曲線離心率為，準線為、；；若、、、正好圍成一個正方形，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.口袋內裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出黃球的概率是0.28.若紅球有21個，則藍球有________個．參考答案：15【分析】根據(jù)紅球的概率和個數(shù)求出總球數(shù)，從而求出籃球的個數(shù).【詳解】由題意摸出紅球的概率為0.42，并且紅球有21個，則總球數(shù)為個，所以藍球的個數(shù)為個.所以本題答案為15.【點睛】本題考查概率等基礎知識，考查概率的應用，考查運算求解能力，是基礎題.12.已知復數(shù)z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，則的范圍為

．參考答案：考點：復數(shù)求模．專題：計算題．分析：利用復數(shù)的運算法則和模的計算公式、直線與圓有公共點的充要條件即可得出．解答： 解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，，∴．∴（x﹣2）2+y2=3．設，則y=kx．聯(lián)立，化為（1+k2）x2﹣4x+1=0．∵直線y=kx與圓有公共點，∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得．∴則的范圍為．故答案為．點評：熟練掌握復數(shù)的運算法則和模的計算公式、直線與圓有公共點的充要條件是解題的關鍵．13.將側棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側面和底面分別叫直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”.已知直角三角形具有性質：“斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半”.仿照此性質寫出直角三棱錐具有的性質：

參考答案：略14.若曲線y=在點P（a，）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是．參考答案：4【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；直線的截距式方程．【分析】求導數(shù)可得切線的斜率，進而可得切線的方程，可得其截距，由面積為2可得a的方程，解方程可得．【解答】解：對y=求導數(shù)可得y′=，∴曲線在P（a，）處的切線斜率為k=，∴切線方程為：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直線的縱截距為，令y=0，可得x=﹣a，即直線的橫截距為﹣a，∴切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：S=|||﹣a|=2，解得a=4故答案為：4【點評】本題考查直線的截距，涉及導數(shù)法求曲線上某點的切線，屬基礎題．15.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，C上一點P滿足，則△PF1F2的內切圓面積為

．參考答案：4π【考點】橢圓的簡單性質．【專題】轉化思想；數(shù)形結合法；解三角形；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據(jù)橢圓的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10．設|PF1|=m，|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF1|?|PF2|=48，結合直角三角形的面積公式，可得△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求內切圓的面積．【解答】解：∵橢圓，∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5，設|PF1|=m，|PF2|=n，則有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，∴|PF1|?|PF2|=48，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=×48=24，由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r為內切圓的半徑），由12r=24，解得r=2，則所求內切圓的面積為4π．故答案為：4π．【點評】本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．16.已知：f（x）＝，設f1（x）＝f（x），fn（x）＝fn－1[fn－1（x）]（n>1，n∈Ｎ*）則f3（x）的表達式為_______，猜想fn（x）（n∈N*）的表達式為

。參考答案：17.如圖，扇形的弧的中點為，動點分別在線段上，且若，，則的取值范圍是__▲

_．參考答案：【知識點】向量的減法運算，向量的數(shù)量積【答案解析】解析：解：設OC=x，則BD=2x，顯然0≤x≤1，=.【思路點撥】在向量的運算中通常把所求的向量利用向量的加法與減法轉化為用已知向量表示，再進行解答.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）證明：平面平面．參考答案：（Ⅰ）證明：因為底面是正方形，所以．又因為平面，平面，所以平面．……………3分（Ⅱ）證明：因為底面是正方形，所以．因為底面，所以．又=，所以平面．又因為平面，所以平面平面．

……………7分19.平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列問題：(1)求3a＋b－2c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k.參考答案：(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.··········1420.在平面直角坐標系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若直線L經(jīng)過的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。參考答案：解析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設，，即，化簡得點P的軌跡方程為圓S：

......5分（Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分圓S：

①與雙曲線T：

②因為B（－1，0）和C（1，0）是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內心D也是適合題設條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為

③（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分（ii）當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：

情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。

......15分

情況2：直線L不經(jīng)過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數(shù)解，消去y并化簡得該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是

④或

⑤解方程④得，解方程⑤得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。

......20分21.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，AP=AB=2，F(xiàn)是PB的中點，E是BC上的動點．（1）證明：PE⊥AF；（2）若BC=2BE=4，求直線AP與平面PDE所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系．設BE=a，證明：，即可證明PE⊥AF；（2）求出平面PDE的法向量，即可求直線AP與平面PDE所成角的大小．【解答】（1）證明：建立如圖所示空間直角坐標系．設BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）于是，，，則，所以AF⊥PE．（2）解：由，得，，，=（2，2，﹣2）設平面PDE的法向量為=（x，y，z），由，得：，令x=1，則，于是，而，設AP與平面PDE所成角為θ，所以，所以AP與平面PDE所成角θ為60°．【點評】本題考查向量知識的運用，考查線線垂直，考查線面角，正確求出平面的法向量是關鍵．22.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分．參考答案：【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均數(shù)加權公式可得平均