【清華大學(xué)】機(jī)械振動(dòng)

第二篇機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波第二篇第六章第六章vibrationmechanicalchapter6第六章機(jī)械振動(dòng)本章內(nèi)容本章內(nèi)容Contentschapter6簡諧運(yùn)動(dòng)的描述簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡諧運(yùn)動(dòng)的合成第一節(jié)describitionofsimpleharmonicmotion簡諧運(yùn)動(dòng)的描述6-1ss機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在它的平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)條件：回復(fù)力始終指向平衡位置物體具有慣性機(jī)械振動(dòng)與簡諧運(yùn)動(dòng)例如：用輕彈簧連接小球鋼時(shí)，小球的振動(dòng)；各種聲源的振動(dòng)；單擺的擺動(dòng)等等。動(dòng)畫一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)，可以由一些簡單形式的振動(dòng)來合成動(dòng)畫用圖掌握簡單形式振動(dòng)的基本規(guī)律，是研究復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ)打印圖一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)，可以由一些簡單形式的振動(dòng)來合成掌握簡單形式振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)規(guī)律，是研究復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)打印用圖簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)：最簡單的調(diào)和振動(dòng)形式又稱簡諧振動(dòng)或諧振動(dòng),是分析和研究其它振動(dòng)形式的基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可以用調(diào)和函數(shù)來描述。在數(shù)學(xué)上，sincos或稱為調(diào)和函數(shù)在物理上，是彈簧振子（又稱諧振子）:簡諧運(yùn)動(dòng)最典型的物理模型彈簧振子xOOkm一、簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1.彈簧振子及其運(yùn)動(dòng)分析彈簧m忽略質(zhì)量振子(小球)慣性質(zhì)量彈簧振子k(勁度)水平面光滑軸原點(diǎn)O振子平衡點(diǎn)(彈簧無形變位置)x振子在軸上點(diǎn)兩側(cè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)xOv0AxAxx0vvv0xxxxxAA((B((A((C((D((E2.彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程小球相對平衡點(diǎn)的位移隨時(shí)間按xOtsincos或函數(shù)規(guī)律變化((A((E示意一周期,彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程習(xí)慣上用函數(shù)表示為:cosxcos()wtOj+AAwOj振幅取決于彈簧振子的物理性質(zhì)取決于振子的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)xx00o動(dòng)畫OxAA某一時(shí)刻，振子所處的狀態(tài)，必須用振子的位置坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向同時(shí)描述缺一不可例OxAA例如A2A2狀態(tài)在距平衡點(diǎn)正側(cè)處朝軸反方向運(yùn)動(dòng)A2x描述x=v0A2狀態(tài)在距平衡點(diǎn)負(fù)側(cè)處朝軸正方向運(yùn)動(dòng)A2x描述x=-v0A2運(yùn)動(dòng)方程二、簡諧運(yùn)動(dòng)的速度和加速度簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程xcos()wtOj+A由可得簡諧運(yùn)動(dòng)的速度vdtdxsin(wt+)wAOjwA:速度振幅a簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度dtdvcos()wt+2wAOj2wA:加速度振幅0AAv最大a0a最大v0a最大v0xxAxA2wx加速度始終與相對平衡點(diǎn)的位移成正比但方向相反。此結(jié)論通常于判別物體是否作簡諧運(yùn)動(dòng)的依據(jù)之一。特征參量三、描述簡諧運(yùn)動(dòng)的特征量xcos()wtOj+A三個(gè)特征量:振幅角頻率(圓頻率)初相的物理意義振幅A物體相對于平衡點(diǎn)位移最大值的絕對值角頻率wcos()wtOj+中wtOj的單位都應(yīng)是角度或弧度和振子往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需時(shí)間為一個(gè)周期T余弦函數(shù)的一個(gè)周期為2p,即wT2pw2pT或設(shè)振子單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù)稱為頻率為n,則n1Tw2p得w2pn角頻率即在秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)或w2pT一秒鐘內(nèi)變化多少弧度2prads1((1.2.振幅、角頻率振子質(zhì)量越大(越笨)則振動(dòng)頻率越低,彈簧勁度系數(shù)越大(彈性恢復(fù)力度強(qiáng))則頻率越高.mkkm彈簧振子的角頻率,也取決于其自身的物理因素w其周期nT2pwkm2p頻率w2pkm2p1xcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT簡諧運(yùn)動(dòng)可使用w、nT或參量表達(dá)三、描述簡諧運(yùn)動(dòng)的特征量xcos()wtOj+A三個(gè)特征量:振幅角頻率(圓頻率)初相的物理意義振幅A物體相對于平衡點(diǎn)位移最大值的絕對值1.2.角頻率wcos()wtOj+中wtOj的單位都應(yīng)是角度或弧度和眾所周知,單擺的周期T2plgl擺長越長則頻率越低,當(dāng)?shù)刂亓铀俣仍酱箢l率越高g或頻率n2plg1初相三、描述簡諧運(yùn)動(dòng)的特征量xcos()wtOj+A三個(gè)特征量:振幅角頻率(圓頻率)初相的物理意義振幅A物體相對于平衡點(diǎn)位移最大值的絕對值1.2.角頻率wcos()wtOj+中wtOj的單位都應(yīng)是角度或弧度和km彈簧振子的角頻率,也取決于其自身的物理因素wxcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT初相Oj描述開始觀測時(shí)()振子t0的物理量.運(yùn)動(dòng)狀態(tài)3.0xv0x00xv0x00xv0x00xv0x000000000相位1.相位xcos()wtOj+AOj初相已述時(shí)的相位t0即相位t是決定簡諧運(yùn)動(dòng)物體某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量j或Ft某時(shí)刻簡諧運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):xcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOj0x0v0v+2p對應(yīng)vsinwA0狀態(tài)2p2p對應(yīng)vsinwA0狀態(tài)2p)(0xcos()wtOj+0()wtOj+,,+2p例如某時(shí)刻振子通過原點(diǎn)t四、相位相位差四、相位1.相位xxcos()wtOj+AOj初相已述時(shí)的相位t0即相位t是決定簡諧運(yùn)動(dòng)物體某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量j或F2.相位差A(yù)Axx1xx2coscos1(wt)Oj+12(wt+)Oj2其相位差rj(wt+)Oj2(wt)+Oj1Oj2Oj1取決于初相差rj0或整數(shù)倍2pxx2與xx1同相rj或的奇數(shù)倍ppxx2與xx1反相若用rj0p作相對比較rj0xx2超前xx1稱rj的相位rj0xx2超前xx1稱rj的相位w相同的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)之間,相位的相對差異在同一時(shí)刻t計(jì)算方法五、振幅和初相的決定由初始條件求振幅vx00AOj和初相t0+v0w(2(x022A2sinOj2cosOj2AA2x02+v0w22Oj消去sinwAOjOjcosAvx00得Ax02+v0w22sinwAOjOjcosAvx00A若消去得Ojtanv0x0wv0x0wsinOjOjcosOjtanv0x0warc求還有別的方法Oj振動(dòng)曲線六、振動(dòng)曲線xcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOjacos()wt+2wAOj2wx畫出Oj0最簡單情況下的振動(dòng)曲線xcoswtAacoswt2wA2wxvsinwtwAsina(+cosap2(cosa(+cosap(三角函數(shù)性質(zhì)tttvaOOO2wwAAxAOj0TTT234TT4a超前或落后xp相位比a與x反相,jxjvp2超前x相位比vp2((因例問AAoxt=0初相位Oj=?經(jīng)過一周期又回到原狀態(tài)此時(shí)的相位j?32p32p+2p72pxcos()wtOj+A初相位相位oxt=0Oj=0AAj例振動(dòng)方程xcos()wtOj+A2pwn2pTTw2p3p2p6svdtdxsin(wt+)wAOj3p×0.2×sin3p(×23p)0.181ms12秒時(shí)((x=0.2cos3pt3p已知T？v？求

旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng).旋轉(zhuǎn)矢量七、旋轉(zhuǎn)矢量表示法OOAAXXOM(0)A初相wOjOj矢量端點(diǎn)在X軸上的投影對應(yīng)振子的位置坐標(biāo)M(

t

)twM(

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)Tw周期

TxOM(0)初相M(

t

)twAwOjOjOjt時(shí)刻的振動(dòng)相位(wt﹢

)F旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速w逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)Ojx=A

cos(wt﹢

)簡諧運(yùn)動(dòng)方程OO循環(huán)往復(fù)位移-時(shí)間曲線旋轉(zhuǎn)矢量表示法的優(yōu)點(diǎn):直觀,方便.可快捷準(zhǔn)確地判斷初相,相位差和合相位.旋轉(zhuǎn)矢量圖與曲線xxtwxot0tx12345678o12345678wtOjxxcos()wtOj+AA例2xxAOOj3pAOA2xx4Oj5pOOx0tAAOOjpAxxxxOAA2Ojp3OOx0tAAOOx0tAAOOx0tAA例xcos()wtOj+Avdtdxsin(wt+)wAOjadtdv2wAcos()wt+Oj簡諧運(yùn)動(dòng)方程已知0.05x0v00m求amax1.58ms2,2nHz,xcos()t+0.14p3p2amax2wAAamax2w1581.580.1m,2pnradw4ps1解法提要20At0xOj3p2例垂直彈簧振子的平衡位置，是靜止時(shí)振子所在位置。m取向下為正方向，平衡位置為原點(diǎn)。其振動(dòng)方程為xcos()wtOj+AkxO0t平衡位置mAAs已知0.24mAT4.00t時(shí)v00x00.12m,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求1((2((由x0.12m運(yùn)動(dòng)到x0.12m所需的最短時(shí)間0t0x2A+Oj3p1解法提要0.24mA1((wp2Tp2Oj3pxcos()t+0.242p3p2((0t0x2A+2At6Tt6Tmin6432s例看初始條件畫旋轉(zhuǎn)矢量圖已知xAw試畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖,,t02x0A時(shí)沿正向運(yùn)動(dòng)02At0xAwOj3p21例看旋轉(zhuǎn)矢量圖寫方程0t0xAw4pttpt+4p已知Acm2由圖可判斷wprads1j04pcos()x+t4p0.02pm例xt0ox43pj0t0aawbbccdd已知cos()x+tAw43p試畫出圖線xt看方程畫圖線xt例ot(s)x(cm)121128T1sT32swp2T34p得xcos()t+232p34pcmxow3j2pt00看圖線寫方程xt例xxovoxo已知ao，求簡諧運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程0.4m10rad/swaovo3A2aow2aovow3聯(lián)立解得運(yùn)動(dòng)方程xcos()t0.432p10mA2xo，vom/s23aom/s202，解法提要woxA2t032pj34po或aow2xow2A23voAw2wsinjAo例xxo已知ATs24cmxo2cmt0時(shí)求第二次通過的時(shí)刻tx2cm234s3Ttt3p4Tp2得xxA2第一次第二次t0ttwwt3p4Tp2rqt例xxoxo已知mAn0.25Hz24cm12cmt23svAsinw(wtj+)a2wx0.29m/s20.326m/s3((w2pn2prad/s運(yùn)動(dòng)方程：x0.24mcos()t3p2p解法提要1((求av，到達(dá)時(shí)的2A1((3((運(yùn)動(dòng)方程mint2Axo2((所需2((A2A2tmin3pw3p2p23stmin3pwt03pwoxA2jottminA2第二節(jié)簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征6-2sssimpleharmonicmotionkineticcharacteristicof動(dòng)力學(xué)方程一、簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程一、簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程FFmam2ddt2xkx簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程因aw2x則mw2xkx得wmkxxddt22+x0w2xxcosA()wtj+0這一微分方程通解的三角函數(shù)形式為簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程準(zhǔn)彈性力二、準(zhǔn)彈性力自身不是彈性力,但在某種場合中卻起著彈性力作用的力,稱為準(zhǔn)彈性力。AAmgmgftTft例如單擺分子振動(dòng)浮動(dòng)振動(dòng)能量三、簡諧運(yùn)動(dòng)的能量振動(dòng)系統(tǒng)：如水平彈簧振子km振子質(zhì)量彈簧勁度wmk振動(dòng)角頻率E+EkEp12mw2A212kA2機(jī)械能系統(tǒng)的（以x=0處為零勢點(diǎn)）12Ekmv212msinw()wt+22212212()wt+22Epkxxkcos系統(tǒng)的動(dòng)能勢能系統(tǒng)的AOjAOjxxcos()wt+vsinw()wt+OjAAOj簡諧運(yùn)動(dòng)方程振子運(yùn)動(dòng)速度特點(diǎn)EkEp均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換EkEpEpEk變到最大時(shí)變到最大時(shí)變?yōu)榱阕優(yōu)榱鉋系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。E8w2A2及EkEpEEk+Ep0tEtxx0AA系統(tǒng)的122kxx12mv2Ep勢能Ek動(dòng)能E+EkEp機(jī)械能12mw22A12k2A12msinw()wt+222AOj12()wt+22kcosAOjxxcos()wtOj+A簡諧運(yùn)動(dòng)方程能量表達(dá)式例E+EkEp12mw2A212kA2機(jī)械能系統(tǒng)的若,m4mA2AEE則wmk注意到124m22A（（k4m（（EE41224mAw2E12k22A（（4E方法一：方法二：例E+EkEp12kA2機(jī)械能系統(tǒng)的Ep12k2xxA2若E則,Ek14EkEEpEE12k2A2))E34ExEkEpE+0AEp122kxxA2A2AEkEp能量例Ep12k2xE212k2A2得22A+xxEkEpE+12E0A22AEp122kxxA22AEpEk能量E+EkEp12kA2機(jī)械能系統(tǒng)的Ep12k2xxA若則EkEp例時(shí)22A+x已知EkEpT對應(yīng)于一個(gè)振動(dòng)周期中的哪些時(shí)刻?xO22A22AAAAATt18Tt38Tt58Tt78w第三節(jié)第三節(jié)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成6-3ssCompositionofsimpleharmonicmotion

xx12,wj102j0j0Dtxx12,同相ootxx12反相xxj102j0jD2j0j10wwoop12xx12wj102j0txx超前oj102j0o21t2t12xx12wtxx超前oj201j0j102j0o21t2t1211一、兩個(gè)同頻率振動(dòng)的相位差xx1cosA1cosA2xx2()wt+j10()wt+2j0w相同j102j0jD()wt+j10()wt+2j0jDp在范圍內(nèi)比較超前或落后在旋轉(zhuǎn)矢量圖中可直接比較初相.在曲線中,誰先達(dá)到某一特征值(如零,極值)者誰超前.xxt振動(dòng)合成同向同頻合成1Aj1w0xx22yxx1y1yxxOxA2w2j200jwAjj00wxx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2j102j0同在軸x且相同xx1xx2xx+合成振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程xxcos()wtj+A0)AA12+A222A1A2cos(+j102j0arctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j1012arctanyxarctany+yx1+x2j0簡諧運(yùn)動(dòng)的合成同頻率同方向二、兩個(gè)A合成初相與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)分振動(dòng)初相差與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無關(guān)，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用jj102j00合成振幅xx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2合振動(dòng)分振動(dòng)；xxAcos()wt+j其中，合振幅AA12+A222A1+j102j00cos)(A22j0j10若2p+k0()21,k,,...AA12+A222A1A2++A2為合振幅可能達(dá)到的最大值A(chǔ)1若A1A2則AA12,2j0j10則cos()12j0j10若0()21,k,,...則cos()1AA12+A222A1A2值為合振幅可能達(dá)到的最小若A1A2則A2p+k(+1)A2A10,2j0j102j0j10若為其它值，則處于AA2A1A2A1+與之間2j0j10例已知A則合振幅相位差Dj合振動(dòng)方程xx4p94pxxxowxx1cos()t+5p4pcmcos()t+xx25p4p9cmDj4p94p2p0A5cm+510xx10cos()t+p4p例3已知xx1cos()t+2p4pcmcmsin()t+xx23pj則j時(shí)，合振幅最大。j時(shí)，合振幅最小。AAsin()t+xx23pj(t+3pcos)j2p)j2p)34pxk2p時(shí)，合振幅最大。j得xk2p34p+2p+xk2p54p+)j2p)34p時(shí)，合振幅最小。xk2p+1))j得34p+2p+54p+xk2p+1))xk2p+1))例wxxxo3p3p2AA1A2已知xx1cos()+0.43pcos()xx23p2mtp20.3mtp2A則合振動(dòng)的振幅j合振動(dòng)方程xx初相0Dj3p2p2()3p3p43ppA0.40.30.1mj03pxx0.1cos(tp2+3p)m同向異頻合成簡諧運(yùn)動(dòng)的合成不同頻率同方向三、兩個(gè)此合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅相等且初相均為零。xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost2+合振動(dòng)xx1xx2xx+2pnAcost12pnAcost2A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+n1n22頻率為的簡諧運(yùn)動(dòng)頻率為的簡諧運(yùn)動(dòng)tttn1385Hzn2383Hz聽到的音頻n384Hz強(qiáng)度節(jié)拍性變化n2Hz若n2n1與相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢變的振幅合振動(dòng)頻率相對較高的簡諧振動(dòng)n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz合振動(dòng)振幅（包絡(luò)線）變化的頻率稱為兩分振動(dòng)的頻率nn1n21Hz“

拍頻

”合振動(dòng)頻率n8.5Hz()()()()例如：合成圖線同頻垂直同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成四、兩個(gè)相互垂直p31j02j0cos()wt+A2yy設(shè)p3012345678910112j02j0A2A1012357891011xxy64xx01234567891011設(shè)0xxcos(wt+A1)1j01j0合成圖例A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p直線直線兩個(gè)同頻率相互垂直簡諧運(yùn)動(dòng)合成圖線舉例：A1A2XOYXOYA2A1正橢圓正橢圓2jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p23斜橢圓斜橢圓2jp3j102jp32j102jpj10000000000000000000000000垂直異頻合成w1w2211332p2pp234p4p5例如0j2j10xxcos()t+A1cos()t+A2yw2w1其合運(yùn)動(dòng)一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng)為兩個(gè)簡單的整數(shù)之比時(shí)w2w1可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成五、兩個(gè)相互垂直0j2j10完第六章完選講選講例1解法提要2p0.1T1((ws先求2((x0AcosOjcosOjx0A0.0120.0222Oj,+Oj4psinwAOjv0用判斷Oj4p0v0,舍去Oj,取4p4xcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)v00沿X軸正向運(yùn)動(dòng)依題意,,3((st0.025x0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj20p0.02sinp40.89ms1a2wx220p)(0.01456ms2例彈簧振子沿X軸振動(dòng)已知A0.02mws1rad20px00.012m0沿X軸正向運(yùn)動(dòng)t求周期1((T2((簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式3((st0.025時(shí)質(zhì)點(diǎn)的vx,,a4((從x0.012m處沿X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),第一次回到平衡點(diǎn)所需的時(shí)間23((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((從xx10.012m第一次回到xx02因這是變加速運(yùn)動(dòng),用線量求解不夠方便.然而w是常量,可通過rtwrjj2j1求xx0xx1xx020.012mr？tv10v20例彈簧振子沿X軸振動(dòng)已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X軸正向運(yùn)動(dòng)t求周期1((T2((簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式3((st0.025時(shí)質(zhì)點(diǎn)的vxx,,a4((從xx0.012m處沿X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),第一次回到平衡點(diǎn)所需的時(shí)間Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要2p0.1T1((ws2((33((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((從xx10.012m第一次回到xx02因這是變加速運(yùn)動(dòng),用線量求解不夠方便.然而w是常量,可通過rtwrjj2j1求xx0xx1xx020.012mr？tv10v20例彈簧振子沿X軸振動(dòng)已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X軸正向運(yùn)動(dòng)t求周期1((T2((簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式3((st0.025時(shí)質(zhì)點(diǎn)的vxx,,a4((從xx0.012m處沿X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),第一次回到平衡點(diǎn)所需的時(shí)間Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要2p0.1T1((ws2((4例彈簧振子沿X軸振動(dòng)已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X軸正向運(yùn)動(dòng)t求周期1((T2((簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式3((st0.025時(shí)質(zhì)點(diǎn)的vxx,,a4((從xx0.012m處沿X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),第一次回到平衡點(diǎn)所需的時(shí)間3((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((xx0xx1xx020.012mr？tv10v20Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要1((2p0.1Tws2((xx1cos0.02j10.012題意0v1sinwAj12cosj12j134p+應(yīng)取j134p+0v2sinwAj2xx2cos0.02j2cosj2j12p+00應(yīng)取j22p2p3題意rjj2j134prtrjw34p20p0.038s((((則得5例物體沿X軸作簡諧運(yùn)動(dòng)已知A1.5cmws1rad100txx0沿X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)0.75cm求1((2((初速v0初相Oj解法提要1((Axx02+v0w22由得v0wAxx022由于題設(shè)0t時(shí)v0物體沿X負(fù)向運(yùn)動(dòng),即0要將上式改寫為v0wAxx022101.520.7527.53s1cm也可用xx00.75Ojcos1.5Ojp3p35或0.75Ojcos1.50.5sinwAOjv0因0應(yīng)取p3Oj02((Ojtanv0xx0w由7.53100.753因OjcosAxx00應(yīng)取p3OjOjp3p35或v06例例已知xOOkmkgN1.6kmm0.4簡諧運(yùn)動(dòng)方程求下述兩種情況下的1((2((從平衡位置右移到xx0.1m處釋放;從平衡位置右移到xx0.1m處后給物體以向左速度v0.2ms解法提要1((s1rad2wkm1.60.4Axx02+v0w22v00xx00.1m由OjcosAxx00Ojcosxx0A0.10.11Oj,xxcos()wtOj+A0.1mcos2t2((xx0v00t,0.1m,0.2msAxx02+v0w220.1m2+0.22220.12由OjcosAxx0Ojcosxx0A0.10.1222題意要求0v0sinwAOj,+p4Oj應(yīng)取4pOjxxcos()wtOj+A0.1mcos2t(+4p)27初相求1((2((3((Oj角頻率w簡諧運(yùn)動(dòng)方程解法提要1((A2cmOjcosAxx00t1cmOjcosAxx0由,Ojcos12sinwAOjv0Ojp3+圖示此時(shí)質(zhì)點(diǎn)向X負(fù)向運(yùn)動(dòng)0應(yīng)取3p+Oj02((由圖示可判斷t2s從到占128T32T32T即2sT周期3s,得w2pT2p3s1rad3((xxcos()wtOj+A0.02mcos(2p3t+3p)例已知stxocm2128解法提要例兩個(gè)彈簧振子的振動(dòng)周期相等T0.4s振子1:從平衡位置開始向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)振子2:在1開始0.2秒后,從向正方向的端點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)求兩個(gè)振子的相位差此時(shí)振子1的相位j1wT2+Oj1p23振子2開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的相位j2Oj2相位差j1j2p23Oj1p2xO振子1開始的位置A1振子1開始0.2秒=T/2后的位置wT2pA振子2開始的位置Oj209ywycos()wt+Ayo?t0t6j5pOo6j5p10關(guān)鍵仍然是先求出運(yùn)動(dòng)方程w2pn2prad/s運(yùn)動(dòng)方程x0.24mcos()t3p2pt03pwoxA2joxxoxo已知mAn10g0.25Hz24cm12cm求xFt0.5sav，mint2Axo到時(shí)2A11t0.5sx0.24cos(m)3p2p0.50.06振動(dòng)方程x0.24mcos()t3p2pmaFmw2x1.48103N沿軸正向xxA2A2tmin3pwtmin3p2p23st23svAsinw(wtj+)a2wx0.29m/s20.326m/sxxoxo已知mAn10g0.25Hz24cm12cm求xFt0.5sav，mint2Axo到時(shí)2A12例已知彈簧振子x0

=0t=0時(shí)v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述簡諧運(yùn)動(dòng)方程cos()x+tcos()x+t20.2p23(SI)wmk0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)解法提要v00x0

=0,已知OXwM(0(p23相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為v00Oj13靜止釋放例垂直懸掛彈簧,系一質(zhì)量為的小球時(shí)伸長量為mC。手托振子到彈簧原長位置,靜止釋放。以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),列小球運(yùn)動(dòng)到x任意坐標(biāo)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程平衡位置力平衡解法提要C0mgkkmgC得這是簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式FC+x((mgkm2ddt2xkmgC將代入整理得m2ddt2xgCxm即x2ddt2x+0gCxxO0t其通解為xxcosA()wt+j0wmkgC由初始條件0txx0C,v0,0其中ACj0可判定,p得運(yùn)動(dòng)方程xxcos()Ct+gCp平衡位置Cm證明小球作簡諧運(yùn)動(dòng),并寫出運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)力方程一、簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程kxOOFFmFF正X向反X向xxxx00FFkx物體在任一位置受的彈性力平衡位置FFmakxm2ddt2x簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程特征:物體在與其對平衡位置的位移成反比而反向的合外力作用下,其運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)。上述連等式的含義:1kxm2ddt2x2簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程表達(dá)式為FFmaFFkx是統(tǒng)一的;與微分形式例如,前面講過,彈簧振子的角頻率取決于其自身的物理性質(zhì),wmkkxm2ddt2x簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程可寫成kxm2ddt2xxxcosA()wtj+0xxddt22+x0w2即2ddt2xkxm+0亦即用高等數(shù)學(xué)可以證明(略)這一微分方程通解的三角函數(shù)形式為這就是大家已經(jīng)知道的簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。準(zhǔn)彈力二、準(zhǔn)彈性力單擺的微小振動(dòng)自身不是彈性力,但在某種場合中卻起著彈性力作用的力,稱為準(zhǔn)彈性力。AAOOLmgmgq0q0ftqTqft重力在擺球運(yùn)動(dòng)弧線的切向分力起著回復(fù)力的作用ftq5,~sinq~q(rad)有mgsinqftmgqft1((對切向應(yīng)用牛頓第二定律ftmatmLbmL2ddt2q2((1((2((聯(lián)立得2ddt2qLgq+0這是一個(gè)以角量表達(dá)的簡諧振動(dòng)微分方程,其通解為qq0cos()wtOj+q0Oj擺幅角和初相由初始條件確定,wLg角頻率周期2pTw2pLg14求1((2((3((4((周期總能EkEp時(shí)的x值xA2時(shí)的EkEp比值ET例彈簧振子已知m0.1kgA0.01mmax0.04m/sa2解法提要1((a2wxamax2wA,wamaxA2srad2pT3.14wps2((E12mw22A12k2A2105J3((Ep12k2xE212k2A2得22A+x+7.07103mxEkEpE+12E0A22A能量Ep122kxxA22AEpEk4((xEkEpE+0A能量Ep122kxxA2A2AEkEpxA2Ep12k2x18k2AEpEkE12k2A18k2A38k2A得EkEp315求合振動(dòng)方程例已知兩振動(dòng)周期相同T8s振幅相等2A0.02m相位差Dj4p其中一個(gè)初相為零1A)AA12+A222A1A2cos(+j102j02+2cos4p0.020.037m1A2AAxoOj1設(shè)0Oj24pOj解法提要w2pT4ps1radOjarctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j10arctansin0+sin4pcos0+cos4p8pradxcos()wtOj+A0.037cos(4pt+8p)m16解法提要直接判斷T2spw2pTs1rad1A2Am0.080.04m應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷初相Oj12p亦即2p3Oj22pDjpA1A2A0.04mOjOj12pxcos()wtOj+A0.04cos(pt4p)mxx0mts0.080.041x2x12例求下圖所示兩振動(dòng)1x2x的合振動(dòng)方程,xx01A2AAOj2Oj117例已知1A6pxcos()wt+1xcos()wt+21A36p4求合振動(dòng)的A1((振幅Oj2((初相3((運(yùn)動(dòng)方程解法提要應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷xoOj1Oj2A1A1A3Oj6p