高中數(shù)學總復習：隨機數(shù)與幾何概型省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

1第1頁2第2頁1.如圖，一只轉(zhuǎn)盤均勻分成8部分，每一部分標有1～8個數(shù).現(xiàn)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停頓轉(zhuǎn)動時，指針指向偶數(shù)概率是（

）DA.B.C.D.3第3頁依據(jù)標有偶數(shù)與奇數(shù)所占面積相等,由幾何概型公式易得指針指向偶數(shù)概率是,選D.4第4頁2.在2升水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出0.3升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)覺草履蟲概率是（

）A.

B.

C.

D.

因為取水樣隨機性，所求事件“在取出0.3升水樣中有草履蟲”概率等于水樣體積與總體積之比B5第5頁3.某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車抵達，乘客抵達汽車站時刻是任意，則一個乘客候車時間不超出3分鐘概率是（

）A.

B.C.

D.

因為離上一次公共汽車經(jīng)過后2分鐘到5分鐘任一時刻乘客到站，候車都不超出3分鐘，所以P(A)=

，故選C.C6第6頁4.如圖，邊長為2正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓.在圖形上隨機撒一粒黃豆，則黃豆落到圓內(nèi)概率是

.

正方形面積為4，圓面積為π，所以黃豆落到圓內(nèi)概率為

，填

.7第7頁5.設P為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與P連接，則弦長超出半徑概率為

.

當弦長等于半徑時，對應圓心角為

，設事件A為“弦長超出半徑”，則

填

.

易錯點：事件區(qū)域確實定.本題是與角度相關幾何概型.8第8頁1.幾何概型假如每個事件發(fā)生概率只與組成該事件區(qū)域長度(面積或體積)成百分比，則稱這么概率模型為幾何概率模型.幾何概型有以下特點(1)試驗中全部可能出現(xiàn)結(jié)果(基本事件)有沒有限多個；(2)每個基本事件出現(xiàn)可能性相等.9第9頁2.幾何概型概率公式：3.隨機數(shù)隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生數(shù)，而且得到這個范圍內(nèi)每一個數(shù)機會一樣.P(A)=組成事件A區(qū)域長度(面積或體積)試驗全部結(jié)果所組成區(qū)域長度(面積或體積)10第10頁

重點突破：與長度相關幾何概型在長為10cm線段AB上取一點G，并以AG為半徑作一個圓，則圓面積介于36πcm2到64πcm2概率為

.點G隨機地落在線段AB上，故試驗全部點所在區(qū)域為線段AB.圓面積介于36πcm2到64πcm2，即圓半徑介于6cm到8cm之間，與A相距6cm到8cm區(qū)域即為組成圓面積介于36πcm2到64πcm2事件.11第11頁

因為事件滿足幾何概型，事件發(fā)生總區(qū)域為線段AB，其長度為10cm.設“圓面積介于36cm2到64cm2”為事件B，當點G與A相距6cm到8cm時，以AG為半徑圓，其面積介于36πcm2到64πcm2，故滿足“圓面積介于36πcm2到64πcm2”點所在區(qū)域線段長度為2cm.所以12第12頁我們將每一個基本事件了解為從某個特定幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到機會都一樣，而一個隨機事件發(fā)生則了解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)某個指定區(qū)域中點，這么概率模型就能夠用幾何概型來求解.解答本類問題關鍵是將基本事件全部及其事件A包含基本事件轉(zhuǎn)化為對應線段長度，進而求解.13第13頁如圖，A、B兩盞路燈之間長度是30米，因為光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間距離都大于10米概率是多少?記事件E為：“A與C，B與D之間距離都大于10米”，把AB三等分，事件E組成區(qū)域為中間這一部分，因為中間長度為30×

=10米，所以14第14頁重點突破：與面積(體積)相關幾何概型一只螞蟻在邊長分別為6,8,10三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其恰在離三個頂點距離都大于2地方概率為（）A.

B.C.

D.D15第15頁

事件發(fā)生區(qū)域為△ABC平面區(qū)域，“恰在離三個頂點距離都大于2”區(qū)域為圖中陰影部分區(qū)域，屬于幾何概型中面積比問題.16第16頁由題意可知三角形為直角三角形.如圖，陰影部分面積為S=

×6×8-

×π×22=24-2π，所以恰在離三個頂點距離都大于2地方概率為選D.17第17頁直接求陰影部分面積比較困難，所以轉(zhuǎn)化為求三部分扇形面積，表達“正難則反”化歸與轉(zhuǎn)化思想；緊接著，求三部分扇形面積時，考慮扇形半徑均為2，且所對應圓心角和為π，剛好可組成半圓，基于此，利用“補形”思想方法，這都是解題慣用策略，需要加強訓練.18第18頁

在平面直角坐標系中有四個點；A（0,0）、B（2,0）、C（1,

）、D（3,2），若向△ABD內(nèi)隨機投擲一質(zhì)點，則它落在△ACB內(nèi)概率為（

）

A.

B.

C.

D.C19第19頁

在平面直角坐標系作出點坐標，能夠發(fā)覺△ACB區(qū)域在△ABD區(qū)域內(nèi)部，所以質(zhì)點落在△ACB內(nèi)概率為

，

選C.20第20頁

重點突破：隨機模擬右圖矩形，長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分黃豆數(shù)為138顆，則能夠預計出陰影部分面積約為

.21第21頁

隨機撒一把黃豆，每個黃豆落在矩形內(nèi)任何一點是等可能，落在每個區(qū)域黃豆數(shù)與這個區(qū)域面積近似成正比，即

≈從此入手，即可預計出陰影部分面積.陰暗部分面積矩形面積落在陰暗部分黃豆數(shù)落在矩形黃豆數(shù)，22第22頁

矩形面積為5×2=10，故陰影部分面積約為

本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并經(jīng)過隨機模擬方法能夠近似估算不規(guī)則圖形面積，這就是數(shù)學價值.23第23頁

y≥0

x+y-2≤0

x-y+2≥0組成區(qū)域為D，又知區(qū)域D內(nèi)每一個點都在區(qū)域M內(nèi).為了測算區(qū)域M面積，向區(qū)域M內(nèi)隨機拋入10000個質(zhì)點，經(jīng)統(tǒng)計，落在區(qū)域D內(nèi)質(zhì)點有2500個，則區(qū)域M面積大約是16.點（x,y）

設滿足24第24頁

y≥0

x+y-2≤0

x-y+2≥0域為三角形，其面積為

×4×2=4，

故區(qū)域M面積大約為

填16.滿足點（x,y）組成區(qū)25第25頁

已知三個正數(shù)a,b,c滿足a<b<c.

(Ⅰ)若a,b,c是從

中任取三個數(shù)，求a,b,c能組成三角形三邊長概率；

(Ⅱ)若a,b,c是從(0,1)中任取三個數(shù)，求a,b,c能組成三角形三邊長概率.26第26頁

注意到a,b,c取值范圍不一樣，應認真探究概率模型.在第(Ⅰ)問中，a,b,c是從有限個數(shù)值中選取，故為古典概型；在第(Ⅱ)問中，a,b,c是從無限個數(shù)值中選取，故為幾何概型，且可轉(zhuǎn)化面積比問題.

(Ⅰ)若a,b,c能組成三角形，則a+b>c,c≥

.若c=時，b=,a=，有1種；若c=時，b=,a=,，有2種；27第27頁同理c=時，有3+1=4種；c=時，有4+2=6種；c=時，有5+3+1=9種；c=時，有6+4+2=12種.于是共有1+2+4+6+9+12=34種.從

中任取三個數(shù)a,b,c（a<b<c）方法數(shù)有84種，所以a,b,c能組成三角形概率28第28頁(Ⅱ)a、b、c能組成三角形充要條件是0<a<b<c<1,a+b>c,0<c<1.在坐標系aOb內(nèi)畫出滿足以上條件區(qū)域(如圖陰影部分)，由幾何概型計算方法可知，求陰影部分面積與圖中正方形面積比即可.又S陰影=，于是所要求概率29第29頁本題包括幾何概型和古典概型，題目簡捷明了，有利于認識幾何概型和古典概型區(qū)分與聯(lián)絡；其次，在處理幾何概型問題時，應先依據(jù)題意確定是與長度、角度、面積還是體積相關模型，然后求出事件A和基本事件幾何度量，借助幾何概型計算公式求解.30第30頁1.幾何概型與古典概型異同點幾何概型是與古典概型最為靠近一個概率模型.二者共同點是基本事件是等可能，不一樣點是基本事件數(shù)一個是有限，一個是無限.基本事件能夠抽象為點，對于幾何概型，這些點盡管是無限，但它們所占據(jù)區(qū)域是有限，依據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域概率與該區(qū)域幾何度量成正比，而與該區(qū)域位置和形狀無關.31第31頁2.幾何概型概率適用條件使用幾何概型概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生概率只與組成該事件區(qū)域長度（面積或體積）成百分比.同時要注意判斷基本事件等可能性，這需要嚴謹思維，切忌想當然，需要從問題實際背景中去判斷.32第32頁

1.（·福建卷）點A為周長等于3圓周上一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB長度小于1概率為

.圓周上使弧

長度為1點M有兩個，設為M1、M2，則過A圓弧

長度為2，B點落在優(yōu)弧

上就能使劣弧長度小于1，所以劣弧

長度小于1概率為，填.33第33頁幾何概型是高中新課程新增內(nèi)容，考查形式多樣靈活，能夠與現(xiàn)實生活和實際應用問題廣泛結(jié)合.利用幾何概型方法將概率問題轉(zhuǎn)化為長度比、面積比、體積比問題是處理該類問題慣用伎倆，簡單線性規(guī)劃、解三角形及定積分是處理該類問題主要工具.34第34頁2.（·遼寧卷）ABCD為長方形，AB=2，BC=1，O為AB中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到點到O