薛定諤方程-一維勢阱省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

量子力學建立于1923~1927年間，兩個等價理論—矩陣力學和波動力學。相對論量子力學（1928年，狄拉克）：描述高速運動粒子波動方程。薛定諤（ErwinSchrodinger，1887~1961）奧地利物理學家。1926年建立了以薛定諤方程為基礎波動力學,并建立了量子力學近似方法。第1頁薛定諤是奧地利著名理論物理學家，量子力學主要奠基人之一，同時在固體比熱、統計熱力學、原子光譜及鐳放射性等方面研究都有很大成就。薛定諤波動力學，是在德布羅意提出物質波基礎上建立起來。他把物質波表示成數學形式，建立了稱為薛定諤方程量子力學波動方程。薛定諤方程在量子力學中占有極其主要地位，它與經典力學中牛頓運動定律價值相同。在經典極限下，薛定諤方程能夠過渡到哈密頓方程。薛定諤方程是量子力學中描述微觀粒子(如電子等)運動狀態(tài)基本定律，在粒子運動速率遠小于光速條件下適用。第2頁 薛定諤對分子生物學發(fā)展也做過工作。因為他影響，不少物理學家參加了生物學研究工作，使物理學和生物學相結合，形成了當代分子生物學最顯著特點之一。薛定諤對原子理論發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。(1887—1961)在量子力學中，微觀粒子運動狀態(tài)由波函數來描寫；狀態(tài)隨時間改變遵照著一定規(guī)律。1926年，薛定諤在德布羅意關系和態(tài)疊加原理基礎上，建立了勢場中微觀粒子微分方程，并提出了一系列理論體系，當初被稱作波動力學，現在統稱量子力學。第3頁1、薛定諤方程建立應滿足條件

（1）波函數應滿足含有時間微商微分方程。（2）要建立方程是線性，即假如

1、

2是方程解，則

1

和

2線性疊加a

1+b2

也應是方程解（量子力學態(tài)疊加原理）。（3）這個方程應該是普適，其系數不應含有狀態(tài)參量（動量、能量等）。

11.7薛定諤方程（4）經典力學中自由粒子動量與能量關系（非相對論關系）E=p2/2m在量子力學中仍成立。

第4頁沿x方向運動動能為E和動量為自由粒子波函數2、單能自由粒子（沿x方向勻速運動）薛定諤方程

分別對時間和位置坐標求偏導數得：第5頁這就是一維自由運動粒子薛定諤方程。利用E=P2/2m整理得：第6頁3、勢場中單能粒子（沿x方向勻速運動）薛定諤方程

此時粒子含有能量：

一樣導出：

這就是勢場中單能粒子薛定諤方程

利用E=P2/2m得：第7頁對勢場中三維運動粒子

引入拉普拉斯算符：則有

再引入哈密頓算符：則有

普通薛定諤方程

第8頁4、定態(tài)薛定諤方程（即V(x,y,z)是不隨時間改變）若作用在粒子上勢場不顯含時間

t，在經典力學中這對應于粒子機械能守恒情況，可用分離變量法求薛定諤方程特解。兩邊除以可得：第9頁 因為空間變量與時間變量相互獨立，所以等式兩邊必須等于同一個常數，設為E則有：（定態(tài)薛定諤方程）第10頁 與自由粒子波函數類比，E含有能量量綱，它代表粒子能量。 把常數A歸到空間部分，薛定諤方程特解可寫為：（定態(tài)波函數） 對應幾率密度與時間無關。即： 處于定態(tài)下粒子含有確定能量E、粒子在空間概率密度分布不隨時間改變，而且力學量測量值幾率分布和平均值都不隨時間改變。第11頁量子力學處理方法（1）已知粒子m，勢能函數V，即可給出薛定諤方程（2）由給定初、邊值條件，求出波函數

（3）由波函數給出不一樣地點、時刻粒子幾率密度||2下面以一維無限深勢阱為例，求解定態(tài)薛定諤方程第12頁11.8一維無限深方勢阱1、以一維定態(tài)為例，求解已知勢場定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程自然結果。已知粒子所處勢場為：粒子在勢阱內受力為零，勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大斥力。稱為一維無限深勢阱。其定態(tài)薛定諤方程：第13頁在阱內粒子勢能為零，滿足：在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：方程解必處處為零：依據波函數標準化條件，在邊界上粒子被束縛在阱內運動。第14頁在阱內薛定諤方程可寫為：類似于簡諧振子方程，其通解：代入邊界條件得：解得：n不能取零，不然無意義。第15頁因為 此結果說明粒子被束縛在勢阱中時，能量只能取一系列分立值，其能量是量子化。由歸一化條件第16頁一維無限深方勢阱中運動粒子其定態(tài)波函數：稱為量子數；為本征態(tài)；為本征能量。1、存在最小能級，稱為基態(tài)能量。2、能量是量子化。當能級分布可視為連續(xù)，能量可視為連續(xù)改變。討論3、能級間隔：第17頁若，同理可得例：電子在一維無限深勢阱中（近似于連續(xù)）（能量分立）第18頁在一些極限條件下，量子規(guī)律能夠轉化為經典規(guī)律.勢阱中相鄰能級之差能量能級相對間隔當時，，能量視為連續(xù)改變.第19頁例：電子在勢阱中.（近似于連續(xù)）若時,（能量分立）

當很大時，，量子效應不顯著，能量可視為連續(xù)改變。物理意義第20頁一維無限深方勢阱中粒子能級、波函數和幾率密度第21頁2、勢壘貫通（隧道效應）在經典力學中,若粒子動能,它只能在I區(qū)中運動。OIIIIII在量子物理學中其定態(tài)薛定諤方程為：第22頁令：三個區(qū)間薛定諤方程化為：第23頁若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波和反射波；粒子從I區(qū)經過II區(qū)穿過勢壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在處幾率要大于在處出現幾率。其解為：邊界條件第24頁IIIIII求出解形式如圖第25頁IIIIII隧道效應量子力學結果分析：（1）E>V0情況在經典力學中，該情況粒子能夠越過勢壘運動到x>a區(qū)域，而在量子力學中有一部分被反彈回去，即粒子含有波動性詳細表達。（2）E<V0情況在經典力學中，該情況粒子將完全被勢壘擋回，在x<0區(qū)域內運動；而在量子力學中結果卻完全不一樣，此時，即使粒子被勢壘反射回來，但它們仍有粒子穿透勢壘運動到勢壘里面去，所以我們將這種量子力學特有現象稱“隧道效應”。第26頁隧道效應和掃描隧道顯微鏡STM1981年在IBM企業(yè)瑞士蘇黎士試驗室工作賓尼希和羅雷爾利用針尖與表面間隧道電流隨間距改變性質來探測表面結構，取得了實空間原子級分辨圖象，為此取得1986年諾貝爾物理獎。因為電子隧道效應，金屬中電子并不完全局限于表面邊界之內，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖窃诒砻嬉酝獬手笖敌问剿p，衰減長度約為1nm。只要將原子線度極細探針以及被研究物質表面作為兩個電極，當樣品與針尖距離非?？拷鼤r，它們表面電子云就可能重合。第27頁若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會穿過電極間勢壘形成隧道電流。隧道電流對針尖與樣品間距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上高度改變就能反應樣品表面起伏。因為隧道電流對針尖與樣品間距離十分敏感?？刂漆樇飧叨炔蛔?，經過隧道電流改變可得到表面態(tài)密度分布；空氣隙STM工作示意圖樣品探針利用STM能夠分辨表面上原子臺階、平臺和原子陣列。能夠直接繪出表面三維圖象第28頁使人類第一次能夠實時地觀察到單個原子在物質表面上排列狀態(tài)以及與表面電子行為相關性質。在表面科學、材料科學和生命科學等領域中有著重大意義和遼闊應用前景。利用光學中受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術。它可用于不導電樣品觀察。STM樣品必須含有一定程度導電性；在恒流工作模式下有時對表面一些溝槽不能準確探測。任何一個技術都有其不足。下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到一些結果第29頁這是用掃描隧道顯微鏡搬動48個Fe原子到Cu表面上組成量子圍欄。 1991年IBM企業(yè)“拼字”科研小組創(chuàng)造出了“分子繪畫”藝術。這是他們利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約0.5納米“分子人”。這個“分子人”從頭到腳只有5納米，堪稱世界上最小人形圖案。第30頁1994年初，中國科學院真空物理實驗室研究人員成功地利用一個新表面原子操縱方法，經過STM在硅單晶表面上直接提走硅原子，形成平均寬度為2納米(3至4個原子)線條。從STM取得照片上能夠清晰地看到由這些線條形成“100”字樣和硅原子晶格整齊排列背景。用掃描隧道顯微鏡觀察到砷化鎵表面砷原子排列圖以下第31頁用掃描隧道顯微鏡觀察到硅表面7×7重構圖硅表面硅原子排列第32頁例1、已知粒子處于寬度為a一維無限深方勢阱中運動波函數為，n=1,2,3,…試計算n=1時，在

x1=a/