微分差分方程穩(wěn)定性方法建模省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

數(shù)學模型?微分方程穩(wěn)定性方法建模北京理工大學王宏洲第1頁微分、差分方程穩(wěn)定性理論微分和差分方程穩(wěn)定理論，是研究方程解在自變量t→+

時發(fā)展趨勢。反應在實際問題中，就是已知事物現(xiàn)在狀態(tài)，希望了解其最終發(fā)展趨勢。比如說準備修建攔河大壩，會對下游河床及周圍生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生怎樣影響？建立穩(wěn)定性模型能夠?qū)Ω鞣N可能最終止果進行預測。第2頁微分、差分方程穩(wěn)定性理論介紹常微分方程穩(wěn)定性理論差分方程穩(wěn)定性理論第3頁一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程方程右端不顯含t第4頁一階微分方程通常判斷平衡點穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即f(x)=ax+b，則a<0穩(wěn)定，

a>0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即x`(t)=f(x)，考慮f`(x0)。

f`(x0)<0穩(wěn)定，f`(x0)>0不穩(wěn)定。第5頁2、二階微分方程所以討論二階微分方程穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對二維一階方程組討論第6頁二階微分方程求方程組平衡點，即求解下面設法給出P0穩(wěn)定判斷準則。第7頁二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：第8頁二階微分方程二階微分方程穩(wěn)定性由p和q正負決定。p>0且q>0時平衡點P0穩(wěn)定；p<0或q<0時平衡點P0不穩(wěn)定.第9頁3、一階線性差分方程第10頁4、二階線性差分方程第11頁5、一階非線性差分方程第12頁微分方程穩(wěn)定性模型可再生資源管理生態(tài)系統(tǒng)建模差分形式阻滯增加模型經(jīng)濟發(fā)展蛛網(wǎng)模型軍備競賽模型第13頁一、可再生資源管理模型可再生資源：與無限資源和有限資源相對而言。無限資源指陽光、空氣等；有限資源指煤、鐵等礦物和石油等?？稍偕Y源指木材、糧食、蔬菜、肉類等，即使有限，但能夠再生。建模目標：研究怎樣管理可再生資源才能使人類最終有盡可能多收獲。第14頁1、問題背景

漁場矛盾漁場假如極少捕撈，那么經(jīng)濟效益會降低；假如捕撈太頻繁或者太多，又會造成魚群總數(shù)大量降低，影響漁場今后產(chǎn)量。問題分析只有在“捕撈量=魚增加量”時，漁場魚量才能保持穩(wěn)定。設法給出漁場魚量改變規(guī)律，分析魚量穩(wěn)定條件，并據(jù)此討論：怎樣制訂捕撈策略才能使?jié)O場效益實現(xiàn)最大化？第15頁2、漁業(yè)資源開發(fā)模型記x(t)為t時刻漁場中魚量。在沒有捕撈情況下，魚量增加能夠視為有限環(huán)境中生物種群增加，即能夠用Logistic模型來描述：第16頁2.1假設（1）在無捕撈條件下，魚自然增加量服從上面Logistic規(guī)律；（2）在有捕撈情況下，需要在Logistic模型中減去一個h(x,t)，即單位時間捕撈量。捕撈量函數(shù)反應就是捕撈策略。通常捕撈策略有兩種：一是固定限額捕撈，即h(x,t)是一個常數(shù)；二是固定努力量捕撈，即取函數(shù)h(x,t)=Ex，E為常數(shù)，表現(xiàn)是捕撈努力程度。第17頁2.2結(jié)構模型（Scheafer模型）對于這個模型，我們希望能分析出漁場應該使魚量保持在怎樣一個水平上，以及怎樣才能保持魚量穩(wěn)定，即給出t→+

時，x(t)改變趨勢。依據(jù)假設（2），建立模型：第18頁2.3平衡點與穩(wěn)定性分析令F(x)=rx(1-x/N)–Ex=0（求平衡點）得到兩個解：x0=N(1-E/r)，x1=0兩個平衡點穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件：考慮F`(x)=r-E-2rx/N：F`(x0)=E-r，F(xiàn)`(x1)=r-E。由此可知：若E<r，則F`(x0)<0而F`(x1)>0，x0穩(wěn)定而x1不穩(wěn)定；若E>r，則F`(x0)>0而F`(x1)<0，x0不穩(wěn)定而x1穩(wěn)定。第19頁2.4捕撈策略有了捕撈標準E<r，怎樣使每年捕撈量Ex都能到達最高？設法給出明確捕撈策略，即確定每年最正確捕撈量。分別記f(x)=rx(1-x/N)，h(x)=Ex。直線族與拋物線交點都是穩(wěn)定平衡點。y=E1xy=E0xy=rxOyxNx1N/2第20頁2.5結(jié)論將捕撈能力控制在魚群自然增加率二分之一左右，即Er/2，或者單位時間內(nèi)只捕撈總魚量二分之一，都能確保漁場長久產(chǎn)量最大化。依據(jù)這里分析結(jié)果，我們能夠調(diào)整捕撈努力量，實現(xiàn)長久產(chǎn)量最大化?？墒钱a(chǎn)量最大化是漁場目標嗎？漁場真正目標是實現(xiàn)效益最大化。這時需要對模型進行調(diào)整。第21頁3、最大經(jīng)濟效益模型綜合考慮漁場捕撈成本和捕撈量及魚市場價格，給出投入、產(chǎn)出之間最優(yōu)結(jié)合點。第22頁3.1假設（1）收獲單位魚量價格為p（固定）；（2）漁場捕撈成本與捕撈能力投入成正比，單位捕撈能力投入費用為C。依據(jù)假設，漁場收入=p?h(x)，成本=C?E，從而漁場經(jīng)濟效益=pEx–CE=(px–C)E=R?，F(xiàn)在問題：求E，使?jié)O場經(jīng)濟效益最高。第23頁3.2模型分析產(chǎn)量穩(wěn)定下來后，漁場收益R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE令R’(E)=0，即R’(E)=pN-C-2pNE/r=0E=[1-C/(pN)]?r/2，xR=N(1-E/r)=N/2+C/2p，h(xR)=ExR=[1-C2/(p2N2)]rN/4。E=r/2，x0=N/2h(x0)=rN/4第24頁3.3結(jié)論在最大經(jīng)濟效益標準下，漁場捕撈能力投入E和長久產(chǎn)量h(x)都應該比最大產(chǎn)量模型稍低。同時，漁場魚保有總量略有增加。也就是說，有時候，產(chǎn)量最大并不能確保收益最大，這在企業(yè)經(jīng)營當中是非經(jīng)常見現(xiàn)象。第25頁4.盲目捕撈模型假設經(jīng)營者根本不顧久遠利益，看到有利潤就投入經(jīng)營，沒有利潤就放棄經(jīng)營，這么會對漁場產(chǎn)生什么樣影響？這時經(jīng)營者決議完全是由利潤決定，只要有利潤就捕撈，不考慮全局。考慮R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1-C/pN)。當E<Es時，R(E)>0，即有利可圖，盲目經(jīng)營者會繼續(xù)增加捕撈能力，直到E>Es，使R(E)<0，即虧損經(jīng)營。出現(xiàn)虧損，經(jīng)營者又降低E……第26頁盲目捕撈模型分析Es=r(1-C/pN)是盲目捕撈情況下臨界狀態(tài)，高于這個臨界值則出現(xiàn)虧損，低于臨界值則贏利。Es存在條件：C<pN，即p>C/N，相對于魚總量，魚價格必須大于成本才能確保臨界點存在。在沒有科學經(jīng)營策略前提下，漁場應該一直把捕撈能力控制在Es以下。在盲目捕撈情況下，漁場穩(wěn)定魚量應該為：xs=C/p（將Es代入x0表示式得到）第27頁盲目捕撈模型結(jié)論在盲目捕撈情況下，漁場穩(wěn)定魚量為：xs=C/p注意：這個穩(wěn)定魚量由兩個原因決定，一是捕撈成本，二是魚價格。這是一個經(jīng)典市場經(jīng)濟結(jié)果，捕撈量(市場供給量)、捕撈努力量、漁場最終穩(wěn)定保有量等等，完全由市場價格杠桿決定。完全自由市場經(jīng)濟并不可取，當代經(jīng)濟應該是一個結(jié)合了宏觀調(diào)控市場經(jīng)濟。第28頁二、兩個生物種群競爭模型考慮兩個生物種群競爭同一個有限資源問題。在自然條件下，適應環(huán)境能力弱種群將趨于滅亡，適應能力強種群將增加到環(huán)境允許最大數(shù)量。種群競爭模型現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛地應用到描述企業(yè)、國家等社會實體之間競爭研究中。下面經(jīng)過建立模型來解釋這種現(xiàn)象，并分析出現(xiàn)各種結(jié)局條件。第29頁1.模型建立設同一環(huán)境中有甲、乙兩個種群，x1(t)、x2(t)分別記t時刻甲、乙種群數(shù)量；r1、r2為各自固有增加率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立下面模型：x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)其中

1，2是非常關鍵指標，反應一個種群對另一個群競爭能力。第30頁2.穩(wěn)定性分析（競爭結(jié)局）2.1求平衡點令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四個平衡點：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，第31頁pq穩(wěn)定條件P1r1-r2(1-

2)-r1r2(1-

2)P2-r1(1-

1)+r2-r1r2(1-

1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-

1)+r2(1-

2)](1-

1

2)-1r1r2(1-

1)(1-

2)(1-

1

2)-1

2<1(1<1)

1>1(

2<1)不穩(wěn)定

1<1

2<1p>0而且q>0第32頁2.2平衡點穩(wěn)定性依據(jù)前面方法不能給出各個平衡點全部穩(wěn)定性條件。下面對

1和

2分情況討論平衡點穩(wěn)定性條件?？紤]轉(zhuǎn)到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿著t增加所表現(xiàn)出趨勢。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時刻，x1(t)和x2(t)是增是減由

=1-x1/N1-

1x2/N2

和

=1-

2x1/N1-x2/N2

決定。第33頁1、

1<1，2>1S1S2S3ON1/

2N1x1x2N2/

1N2=0

=0這時=0和=0將相平面分為三個區(qū)域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加時，全部解都將趨于P1，所以P1是穩(wěn)定。第34頁ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2穩(wěn)定3、1<1，2<1，P3穩(wěn)定ON1N1/

2x1P3N2N2/

1x2第35頁ON1/

2N2x1P3x2N2N2/

14、

1>1，2>1，方程解不存在統(tǒng)一發(fā)展趨勢。第36頁二(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群相互依存有三種形式1)甲能夠獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增加。2)甲乙均能夠獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增加。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增加。第37頁第一個情形模型假設甲能夠獨自生存，數(shù)量改變服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增加。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增加；乙增加又受到本身阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗

1倍甲為乙提供食物是乙消耗

2倍第38頁平衡點穩(wěn)定性分析平衡點有三個：P1(N1,0),P3(0,0)第39頁種群依存模型平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點第40頁0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2穩(wěn)定第41頁模型結(jié)果分析

1

2<1~

2>1前提下P2存在必要條件

2>1~甲必須為乙提供足夠食物——甲為乙提供食物是乙消耗

2倍

1<1~

2>1,

1

2<1需要，且

1必須足夠小，才能在

2>1條件下使

1

2<1成立

P2穩(wěn)定條件：

1<1,

2>1,

1

2<1甲能夠獨自生存乙不能獨立生存第42頁二(3)食餌-捕食者模型種群甲靠豐富天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，不過其中鯊魚百分比卻增加，為何？第43頁食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨立生存增加率r乙使甲增加率減小，減小量與y成正比乙獨立生存死亡率d甲使乙死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第44頁Volterra模型平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第45頁tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.22.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.9.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上相軌線第46頁計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)周期約為9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期平均值：x(t)平均值約為25,y(t)平均值約為10。第47頁平衡點穩(wěn)定性分析消去dt用相軌線分析點穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)第48頁x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線圖形用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設第49頁穩(wěn)定性分析Py0x0x2x1取定x[x1,x2],xy2y1第50頁模型結(jié)果分析Py0x0對應于每一個c，都有一條閉軌線T3T2T4T1第51頁模型解釋r~食餌增加率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量a~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比Pr/ad/b第52頁模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)捕撈量下降，不過其中鯊魚百分比卻在增加，為何？r

r-1,d

d+1捕撈戰(zhàn)時捕撈r

r-2,d

d+2,2<1???xy食餌(魚)降低，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境還表明：對害蟲(食餌)—益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲殺蟲劑,會使害蟲增加，益蟲降低。第53頁食餌-捕食者模型(Volterra)缺點與改進Volterra模型改寫多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點加Logistic項有穩(wěn)定平衡點第54頁三、差分形式阻滯增加模型連續(xù)型阻滯增加模型應用非常廣泛，其平衡點為0，N，其中N是穩(wěn)定。而且平衡點穩(wěn)定性與參數(shù)r選取無關。能夠用于描述：人口或其它生物在有限資源環(huán)境中生長；傳染病在一個封閉區(qū)域傳輸規(guī)律；耐用消費品在有限市場上銷售。第55頁差分形式阻滯增加模型實用背景在現(xiàn)實問題研究中，采取差分形式更便于進行數(shù)值計算和計算機仿真；同時有些生物繁殖不是時間連續(xù)，而是按照固定周期進行。而且這是大量野生哺乳動物生活習性。所以研究離散(差分)形式阻滯增加模型是非常有實際意義。第56頁差分形式阻滯增加模型將下面連續(xù)型阻滯增加模型離散化得到第57頁差分形式阻滯增加模型這是一個一階非線性差分方程，只要給出初始值x0，可得任何時刻kxk。第58頁差分形式阻滯增加模型下面準備討論是k時，xk以及yk發(fā)展趨勢問題，即差分方程平衡點穩(wěn)定性。1、求解平衡點解方程x=bx(1-x),得到x*=1–1/b，x0=0(對應y*=N，y0=0)第59頁差分形式阻滯增加模型2、穩(wěn)定性按照差分方程穩(wěn)定性理論，這里f(x)=bx(1-x)f`(x)=b

(1-2x)x*=1–1/b，x0=0f`(x*

)=2-bf`(x0

)=b>0下面重點考慮非零平衡點x*

穩(wěn)定條件。依據(jù)穩(wěn)定性理論，|2–b|<1，即1<b<3時x*

是穩(wěn)定平衡點。也就是說，0<r<2時，y*

=N是穩(wěn)定平衡點。這與連續(xù)型模型中，r取任何值N都是穩(wěn)定不一樣第60頁1<b<3時x*

是穩(wěn)定，即xk

x*.

在x-y平面上分別做y=bx(1-x)和

y=x

圖形O1<b<22<b<3O1/21xy1/2第61頁差分形式阻滯增加模型圖形分析表明：當1<b<2時，x*

<1/2，xk

x*過程是單調(diào).

當2<b<3時，x*

>1/2，xk

x*過程展現(xiàn)交替.

當b>3時，即使x*存在，但不穩(wěn)定。第62頁差分形式阻滯增加模型另外，用計算機計算發(fā)覺，當3<b<3.449時，即使{xk}不收斂，{xk}有兩個收斂子列：{x2k}和{x2k+1}它們各自都有自己收斂點：

x2k+1

x*1,x2k

x*2假如說1<b<3時，差分方程解是單周期收斂話，那么3<b<3.449時差分方程是雙周期收斂。這在實際問題中也有一定實用背景。第63頁四、市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型在自由竟爭市場經(jīng)濟中，從生產(chǎn)者、消費者兩方面來討論商品生產(chǎn)隨價格改變規(guī)律，即討論生產(chǎn)數(shù)量與產(chǎn)品價格之間關系。第64頁市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中一個經(jīng)典現(xiàn)象：供大于求價格下跌生產(chǎn)者減產(chǎn)供不應求價格上升生產(chǎn)者增產(chǎn)這么震蕩有兩種發(fā)展趨勢：振幅越來越大導致經(jīng)濟瓦解；振幅趨于平穩(wěn)。推出新品第65頁下面設法建立模型來描述這個震蕩過程，以及影響其發(fā)展趨勢原因。一、圖形法建模記x為生產(chǎn)數(shù)量，y為產(chǎn)品單價。從消費者角度出發(fā)，價格是數(shù)量減函數(shù)：

y=f(x)——需求函數(shù)，反應消費者對商品需求。從生產(chǎn)者角度出發(fā)，數(shù)量是價格增函數(shù)：

x=g(y)——供給函數(shù)，與生產(chǎn)者生產(chǎn)能力、經(jīng)營水平相關。第66頁蛛網(wǎng)模型時間是連續(xù)改變，但有