山東省泰安市泰山區(qū)泰安第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題

泰安二中2022級高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試題

時間：120分鐘滿分：150分

出題人：侯衍翠審題人：寧淼淼

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知直線xy—2=0,則該直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知向量”=（一1,2,1）,b=（3,x,y）,且?！?,那么實數(shù)x+y等于（）

A.3B.-3C.9D.-9

3.已知直線人依+3y+l=0,/2：x+（a-2）y+a=0,貝U"“心”是“a=3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知4=（2,3,1）,匕=（1,-2,-2）,則a在人上的投影向量為（）

--22,

A.2bB.-2bC.-bD.—b

33

5.與向量a=平行，且經(jīng)過點（4,T）的直線方程為（）

7八

D.y=—x+10

2

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，如圖，四棱錐

。為陽馬，Q4JL平面A5CQ,且EC=2PE,若。E=xAB+yAC+zAP,則x+y+z=

5

A.1B.2D.-

cI3

7.已知兩點A（l,—2）,3（2,1）,直線/過點P（0,—1）且與線段AB有交點，則直線/的傾斜角的取值范圍

為（）

7t7t

4,42,44'22'4

8.三棱柱ABC—44G的側(cè)棱與底面垂直，的=43=4。=1,ABA.AC,N是BC的中點，點P在

上，且滿足4P=/IA4,當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時的正弦值為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A?點（1,一2,3）關(guān)于坐標平面Ozr的對稱點為（1,2,3）

B.點6,1,—3）關(guān)于y軸的對稱點為［-；,1,3

C.點（2,—1,3）到坐標平面Oyz的距離為1

D.設(shè)i,j,k分別是x,y,z軸正方向上的單位向量，若機=3i—2/+4Z,則機=（3,—2,4）

10.下列說法正確的有（）

A.若直線丁=履+8經(jīng)過第一、二、四象限，則（仁。）在第二象限

B.已知直線/經(jīng)過點（3,—2）,且在兩坐標軸上的截距相等，直線/的方程是x+y-1=0

C.過點（2,—1）,且斜率為—6的直線的點斜式方程為），+l=-J§（x-2）

D.斜率為-2,且在y軸上的截距為3的直線方程為y=—2x±3

11.已知正方體ABC。-A4GA的棱長為1，點E，。分別是A耳，4G的中點，點P在正方體內(nèi)部且

3I2

滿足=+—AD+—A4,，則下列說法正確的是（）

423”

A.BE與BC所成角的正弦值是半B.點。到平面ABGR的距離是乎

C.平面A8。與平面BCA間的距離為乎D.點尸到直線AB的距離為竟

12.如圖，菱形ABC。邊長為2,N&LD=60°,E為邊AB的中點，將AWE沿0E折起，使A到4,

且平面AOEJ_平面8CDE,連接A'3,A'C.則下列結(jié)論中正確的是（）

C.BC與4。所成角的余弦值為3D.直線A3與平面A'CQ所成角的正弦值為更9

44

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線/的方程為5+2y—a-2=0（aeR）,若直線/與直線〃?：2x—y=0垂直，則。=

14.直線4：丁=依+。與直線4：丁=灰+。（。人。0,4。0）在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象只可能是

（填寫正確的序號）.

15.空間直角坐標系中，己知A。,—2,—3）,則直線48與坐標平面Oxz的交點坐標為

TT

16.在心AHBC中，C=士,AC=BC=4,D,E分別為AC,AB的中點，沿DE將AWE折起到

2

△4。石的位置，使平面4￡>E_L平面BCQE,如圖所示.若F是AB的中點，則四面體FCDE外接球的體

積是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

△A5C的三個頂點是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）,求：

（1）邊8c上的中線所在直線的方程；

（2）邊BC上的高所在直線的方程.

18.（12分）

己知空間中的三點尸（一2,0,2）,M（—1,1,2）,N（—3,0,4）,設(shè)。=加，b=PN.

（1）若左。+〃與hz—2石互相垂直，求左的值；

（2）求點N到直線的距離.

19.（12分）

已知在oABCD中,A（l,2）,3（5,0）,C（3,4）.

（1）求點D的坐標；

（2）試判斷.ABCO是否為菱形.

20.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB_L平面附力，AB//DC,E為線段PO的中點，己知

PA=AB=AD=CD=2,440=120°.

（1）證明：直線PBH平面ACE；

（2）求直線PB與平面PC。所成角的正弦值.

21.22分）

己知直線/：京一y+2+&=0（ZeR）.

（1）證明：直線/過定點；

（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求左的取值范圍；

（3）若直線/交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,AAQB的面積為S,求S的最小值并求此時直線/的

方程.

22.（12分）

已知三棱柱ABC—A4G中，AC=AA=4，BC=2,ZACB=90°,\BLAC,.

（1）求證：平面A|ACG，平面ABC；

（2）若N4AC=60。，在線段AC上是否存在一點尸使平面和平面AACG所成角的正弦值為

姮？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由.

4

泰安二中2022級高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析

一、選擇題（共9小題）

1-5ADCDA6-8ACD

二、多選題（共4小題）

9.ABD10.AC11.ACD12.BC

三、填空題（共3小題）

13.114.④15.（3,0,1）16.

四、解答題（共6小題）

17.解：（1）3（6,7）,C（0,3）,則BC邊中點E的坐標為（3,5）,A（4,0）,

則直線4E的方程為匕9=二心，即5x+y-20=0；

5-03-4

7—32

（2）3（6,7）,C（0,3）,則怎°===1，

o—05

???BC邊上的高與BC垂直，，BC邊上的高所在直線的斜率為-士3，

2

：.BC邊上的高所在的直線方程為y=-|（x-4）,即3x+2y-12=0.

18.解：由題意可求得a=PM=(1,1,0),力=PN=(—l,0,2),

(1)可得左a+Z?=(攵一1,左,2),ka-2b-(k+2,k,-4),

因為（妨+））,（幼一2匕），所以有（攵一1）（攵+2）+公—8=0,

整理得2二+%-10=0,解得左=2或&=一*,

2

所以上的值為左=2或4=一*.

2

（2）設(shè)直線P例的單位方向向量為“，則〃=:=在（11,0）=在，注,0

|?|2I22

由于PN=b=(—1,0,2),所以7=5,b-u=-拳,

所以點N到直線PM的距離d=

19.解：（1）設(shè)頂點。的坐標為（x,y）,由題意可得AB=OC,

4=3—尤%=-1

則(4,—2)=(3—x,4—y),解得《.?.點。的坐標是（—1,6）；

-2=4-yy-6

(2)???4(1,2),3(5,0),C(3,4),0(-1,6),

A\AB\=J(5-l)2+(0—2)2=275,\AD\=+(6-2)2=275,

則在ABCD'V\AB\=\AD\,：.ABC。是菱形.

20.解：（1）證明：如圖，連接BD交AC與點F,

則F為8。中點，又E為線段PO的中點，斯〃尸8,

又2平面ACE,EFu平面ACE,：.PBH平面4CE；

（2）設(shè)B到平面PCQ的距離為d,又45〃平面PCD,

：.B到平面PCD的距離等于A到平面PCD的距離，

由題意易知A到平面PC。的距離為AE=，AP=I,...d=A￡=l,

2

又PB=2垃,設(shè)PB與平面PC力所成角為。，貝iJsine=2-=」==也，

PB2724

J7

直線PB與平面PCD所成角的正弦值為—.

4

21.證明：(1)直線/：kx-y+2+k=0,即左(x+l)+(—y+2)=0,

x+1=0[x=-l、

聯(lián)立彳_,解得彳_,故直線/：立一y+2+R=0過定點(一1,2)；

y+202

(2)解：直線/：kx-y+2-^-k=09B|Jy=kx+2+k,

[k>Q

??,直線不經(jīng)過第四象限，???〈，解得女20,

[2+k>0

故女的取值范圍是[0,+8)；

(3)解：如圖，直線/交x軸負半軸于A,交)，軸正半軸于以則上〉0,

2+〃

直線/：Ax-y+2+左=0中，令y=0,解得冗=-----,令1=0,解得y=2+左，

11^.)?八川12+左/-+4-k+4k2[k"""2"

??S^AOB=-x|OA|x|OB|=-x——x(2+Ztr)=-----------=-+-+2>2J---+2=4,

乙乙K乙K乙KyZrK

k2

當(dāng)且僅當(dāng)二=*,即攵=2時等號成立.

2k

；.S的最小值為4,此時的直線方程為2x—y+4=0.

22.解：(1)證明：易知四邊形AACG是平行四邊形，又AC=A4,,

則「4ACG是菱形，連接AC，如圖，則有4C_LAG，

因A8J.AG，48u平面4BC,qcu平面ABC,

于是AG，平面ABC，而BCu平面ABC,則AGJ.BC,

由ZAC3=90°,得ACLBC,

又AC-AG=A,4。匚平面4人?！?40<=平面44。弓，

從而得6C_L平面4ACG，又BCu平