2023-2024學年山東省青島市高一年級上冊期中數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東省青島市高一上學期期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知全集0=1?,集合/={My=/+3,xeR},B={x\-2<x<4},則圖中陰影部分表

示的集合為()

A.[-2,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.[-2,3)

【正確答案】B

【分析】首先求得集合A,結合圖象求得正確結論.

【詳解】y=V+3*3,所以/=口,+8),

圖象表示集合為(“S)c8,

3=(.3),何加8=(-2,3).

故選：B

2.若a,b,ceR,則下列不等式成立的是().

A.若。>6,則/B.^a>b,則ac>/?c

C.若a>b,貝D.若則/>//

ba

【正確答案】D

利用特殊值、排除法進行判斷即可.

【詳解】對于A：當〃=0/=-1時，顯然〃>6,但/<〃，因此本選項不符合題意；

對于B：當。=0時，顯然ac=6c,因此本選項不符合題意；

對于C：當a=0,6=-l時，顯然,沒有意義，因此本選項不符合題意；

a

故選：D

3.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命

名的“高斯函數(shù)''為：設xeR,用［可表示不超過x的最大整數(shù)，則卜=卜］稱為高斯函數(shù)，也

稱取整函數(shù)，如：卜2』=-3,［3』=3,已知/(萬)=言之，則函數(shù)y=［〃x)］的值域為

()

A.{0,-3}B.{0,-1}C.{0,-1-2}D.{1,0,-1,-2)

【正確答案】C

【分析】結合指數(shù)函數(shù)性質求得"X)的值域，然后再根據(jù)新定義求y=［/(x)］的值域.

x17

【詳解】一)一3、-「7,顯然37+1>1,

八"1+3川3向+133(3*1)3(3+1)3

所以/⑴的值域是(-2$),

當時，［/(x)］=-2,

-14x<0時，［/?］=-1,當04/(》)<；時"(刈］=0,

所以所求值域是{-2,-1,0}.

故選：C.

4.若a=3°3,Z)=log30.3,。=唾；3,貝九。，兒c的大小關系為()

A.b<c<aB.c<a<bC.a<h<cD.h<a<c

【正確答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷即可.

【詳解】c=bg|3=-l,°>0,

33

/.h<c<a.

故選：A

5.函數(shù)/(幻=田嗎國的圖象大致為()

【分析】由解析式判斷/(X)奇偶性及的符號，即可確定圖象.

【詳解】由/(-x)=-xk)g2|-x|=-xlog2|x|=-f(x)且定義域為{X|XHO},

所以/(x)為奇函數(shù)，排除C、D；

X/(1)=|log2|||=-1</(l)=0,排除B.

故選：A.

6.^a=log23-log34??…log20182019,則。的范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(10,11)D.(11,12)

【正確答案】C

【分析】利用換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調性求解.

【詳解】a=log23-log34??…log201!i2019=MM.?…x甯*與詈噫2019,

lg2lg3lg2018lg2

10

V2'°=1024,2"=2048.log22<log22019<log22",.*.06(10,11),

故選：C.

7.5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農公式.。:力船員1+左)它表示：在受高斯白噪

聲擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬力、信道內所傳信號的平均功率S、信道

內部的高斯噪聲功率N的大小，其中?叫做信噪比按照香農公式，在不改變少的情況下，

N

將信噪比?從1999提升至原來的10倍，則。大約變?yōu)樵瓉淼膸妆?)(參考數(shù)據(jù)：

N

lg2?0.3,lgl9991?4.3)

A.2.5B.1.3C.10D.5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意先表示出三=1999,鼻=19990所對應的CC，然后求解今的值即可

NNA

【詳解】解：由題意得GmWlog2（l+1999）=%log22000,

C2=Wlog2(I+19990)=Wlog219991,

rri>lC,JFlog,19991Ig1999143..

rC、Wlog,2000lg2+30.3+3

故選：B

log,x(x>0)

8.設函數(shù)/(x)=J,、/c、，若則實數(shù)。的取值范圍是

-log,(-x)(x<0)

2

A.B.(0,1)C.(-8,0)7(0,g]D.0

【正確答案】B

【詳解】畫出函數(shù)〃x)的圖象，如圖：

函數(shù)在（-8,0）和（0,+8）上單調遞減，若a<a-l<0或0<a<a-l都不符合題意

當a-l<0<a時，T°g|0-a）<bg|“可得」一>a恒成立，可得0<a<l,故0<a<l

22\-a

故選B

二、多選題

9.下列命題中是假命題的是（）.

33

A.VxeR,x>0B.3x0eR,x0=3

33

C.Vxeg,X>1D.士（>eN,x0=3

【正確答案】ACD

舉反例即可判斷選項A、C,解方程與3=3即可判斷選項B、D.

【詳解】取工=-<，x3=-1<0,所以選項A,C不正確；

28

由x03=3得與=百是無理數(shù)，所以選項B正確，選項D不正確,

故選：ACD

10.下列函數(shù)在定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A./(x)=JB-〃x)=-2x

x[x2,x<0、1

C./(x)=2、nD-〃x)=x+-

1—x，%>0x

【正確答案】BC

利用基本初等函數(shù)的基本性質可判斷AB選項中函數(shù)的單調性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性

的定義可判斷CD選項中函數(shù)的奇偶性，利用二次函數(shù)的基本性質可判斷C選項中函數(shù)的單

調性，利用特殊值法可判斷D選項中的函數(shù)不單調.

【詳解】對于A選項，函數(shù)/(x)=L為奇函數(shù)，且該函數(shù)在定義域上不單調，A選項中的

X

函數(shù)不合乎要求；

對于B選項，函數(shù)/(力=-2》為奇函數(shù)，且該函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，B選項中的函數(shù)

合乎要求；

對于C選項，當x<0時，-x>0,則/(-x)=-(-x)2=--=-/(x),

當x>0時，-x<0,則/(-x)=(-x)2=x?=-/(x),

ft<0

又“0)=0,所以，函數(shù)/(x)=；-c為奇函數(shù)，

[-X,x>0

當x40時，函數(shù)〃x)=V單調遞減；當》>0時，函數(shù)_/'(耳=-/單調遞減.

由于函數(shù)/(x)在R上連續(xù)，所以，函數(shù)/(x)在R上為減函數(shù)，C選項中的函數(shù)合乎要求；

對于D選項，函數(shù)/(x)=x+1的定義域為{x|xw0},/(r)=-x+」=-，+m=-/(x),

函數(shù)/(x)=x++為奇函數(shù)，

?.?/(2)=|=/^J(所以函數(shù)/(x)=x+：不是減函數(shù)，D選項中的函數(shù)不合乎要求.

故選：BC.

11.下列結論正確的是().

A.若x<0,則y=x+1的最大值為-2

X

B.若a>0,b>0,則融

C.若a>0,b>0,且。+46=1,則工+工的最大值為9

ab

D.若xe[0,2],則y='的最大值為2

【正確答案】ABD

利用基本不等式，逐項判斷，即可得出結果.

【詳解】A選項，由x<0可得y=x+g=_(一*=2,當且僅當

即x=-l時，等號成立；即y=x+1的最大值為一2；A正確；

XX

B選項，由a>0,b>0,可得(qJ_o=?+,-2岫=J00,即學J,

故B正確；

C選項，若。>0,b>0,且。+46=1,

11(1/\.4)a4a

則mil一+—=-H—(ci+A4lb)=1HH—+425+2/——二cG,

ah[ah)x7ab\ab

1

ci——

當且僅當竺=:,即:時，等號成立；即，+工的最小值為9,故C錯；

abb=Lab

-6

D選項，因為X€[0,2],所以y=J+(「)=2,當且僅當》=〃？了，即x=&

時，等號成立，故D正確.

故選：ABD.

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值,

則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

12.若4*-4><5-，-尸，則下列關系正確的是()

A.x<yB.C.4x<4yD.(；)<3-*

【正確答案】AD

【分析】先由4'-4,<''-5■，變形為4，一5T<4「-5->,構造函數(shù)/(力=4、-5—,利用其單

調性，得到x,y的大小關系，再逐項判斷.

【詳解】由4'-4W-5f得4'-5r<4,-5一，，令/")=4'一5一、，則/(x)</(y),

因為尸=4”=-5-、在R上都是增函數(shù)，所以/(x)在R上是增，所以*<九故A正確；

當x=-2，尸-1時,尸3<婷,故B錯誤;

當x>0,y>0時，，當x<0,y<0時，五<4不成立，故C錯誤；

因為y=在R上遞減，且-x>-y,所以［］<(；)',即［］<3-"故正確;

故選：AD

三、填空題

13.一種體育用品的售價為25元，因為原材料供應緊張，上漲20%后，經過一段時間，原

材料恢復正常供應，又下降20%,則該商品的最終售價是原來的倍.

【正確答案】0.96

根據(jù)價格變化，求出該商品的最終售價，進而可求出答案.

【詳解】由題意，該商品的最終售價為25x(l+20%)x(l-20%)元，

25x(l+20%)x(l-20%)

則nl——-------口-------二12x0.8=0.96.

25

所以該商品的最終售價是原來的0.96倍.

故答案為.0.96

Jx—3

14.函數(shù)〃冷=產廠的定義域為

|x+l|-5------------

【正確答案】［3,4)U(4,+8)

利用被開方數(shù)為非負數(shù)、分式分母不為零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.

x-3>0

【詳解】要使函數(shù)有意義，則卜+1|-5*。,解得短3且I.

故［3,4）U（4,+oo）

本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎題.

15.依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依據(jù)《中華人民共和國個人所得稅

法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）.2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應納稅所得額、

稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：個稅稅額=應納稅所得額x稅率一速算扣除數(shù)，應納

稅所得額的計算公式為：應納稅所得額=綜合所得收入額一基本減除費用一專項扣除一專項

附加扣除一依法確定的其他扣除.其中，基本減除費用為每年60000元，稅率與速算扣除數(shù)

見下表：

級數(shù)全年應納稅所得額所在區(qū)間稅率（％）速算扣除數(shù)

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,-Ko)45

李華全年綜合所得收入額為元，假定繳納的專項扣除基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保

險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%,2%,1%,9%,專項附

加扣除是52800元,依法確定其他扣除是4560元,則他全年應繳納的綜合所得個稅是

元.

【正確答案】5712

先根據(jù)已知求出專項扣除總額，然后再求出應納稅所得額，進而可以求出個稅稅額.

【詳解】解：專項扣除總額為：249600x（8%+2%+1%+9%）=49920元，

應納稅所得額為：249600-60000-52800-4560-49920=82320元，

個稅稅額為：82320xl0%-2520=5712元，

故5712.

16.函數(shù)y=i°g』2x2-x-i）的單調遞減區(qū)間為

2

【正確答案】（1,”）

【分析】先由求得函數(shù)的定義域，然后令f=2/_x-l,由復合函數(shù)的單調

性求解.

【詳解】由2/7_1>0,解得x<-g或x>l,

所以函數(shù)y=l°g|（2--x-l）的定義域為｛x|x<-g或x>l｝,

22

因為f=2/-x-1在上遞減，在。,e）上單調遞增

好題]在（0,+巧遞減，

所以函數(shù)y=i°g|（2/-xT）的單調遞減區(qū)間為（1,田）.

2

故（1,+8）

四、解答題

17.在①xeR,x2+2ax+2-a=Q,②存在區(qū)間工=（2,4）,B=（a,3a）,使得/c8=0這

兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解問題.

2

問題：求實數(shù)“滿足的條件，使得命題P：Vxe[l,2],x-a>0,命題q：，都是真

命題.

【正確答案】選擇條件①：｛小4-2或a=l｝；選擇條件②：1a0<a<||

【分析】對命題P：Vxe[l,2],轉化為不等式在xe[l,2]上恒成立，求解/的最小值即

可得

選擇條件①：根據(jù)判別式大于等于0求解命題q為真時。的取值范圍結合。41求解即可；

選擇條件②：根據(jù)區(qū)間端點滿足的不等式求解命題4為真時。的取值范圍結合a41求解即

可；

【詳解】選擇條件①.

由命題p為真，可得不等式/2a在xe[l,2]上恒成立.

因為xe[l,2],所以14/44,所以

若命題g為真，則方程/+2ax+2-a=0有解，

所以△=（2a『-4（2-a）20,解得“21或a4-2.

又p,夕都是真命題，所以。4-2或。=1,

所以實數(shù)a的取值范圍是{a[a<-2或。=1}.

選擇條件②，

由命題p為真，可得不等式——aW0在xe[1,2]上恒成立.

困為xe[l,2],所以14/44,所以a41.

因為區(qū)間8=（4,3“），則。<34,故“>0,

2

由4c8=0,得或3aW2,即0<aW—或aN4.

3

[a<l

2

又p，夕都是真命題，所以八得

一或心43

3

所以實數(shù)°的取值范圍是k0<04|]

18.計算下列各式:

⑴七_(如+2)。_,9_4百+期

(2)(lg2>+1g2-1g50+1g25+(log32+log92)-(log43+log83)

【正確答案】（1）19

【分析】（1）、利用指數(shù)慕的運算性質求解即可;

（2）、利用對數(shù)的運算性質求解.

【詳解】(1)

，——(石+2)。_1-4正+讓=/L￡?L-r]-7^~+22-2X2#+81

V5-2(V5-2)(A/5+2)

=75+2-1-(75-2)+16=19.

(2)(1g2尸+1g2?1g50+1g25+(log32+log92)-(log43+log83)

=(lg2)2+Ig2(lg5+1)+21g5dlog2.loglog3-4log3

35

=(lg2)2+Ig21g5+lg2+21g5+-log,2x-log3

262

=lg2(lg2+lg5)+lg2+21g5+1

=21g2+21g5+-

4

19.某公司為改善營運環(huán)境，年初以50萬元的價格購進一輛豪華客車.已知該客車每年的

營運總收入為30萬元，使用x年(xeN,)所需的各種費用總計為2x2+6K萬元.

(1)該車營運第幾年開始贏利(總收入超過總支出，今年為第一年)；

(2)該車若干年后有兩種處理方案：

①當贏利總額達到最大值時，以10萬元價格賣出；

②當年平均贏利總額達到最大值時，以12萬元的價格賣出.

問：哪一種方案較為合算？并說明理由.

【正確答案】(1)第3年開始贏利；(2)方案②合算.理由見解析.

(1)設該車x年開始盈利，可構造不等關系，結合xeN,可求得解集，由此得到結果；

(2)由二次函數(shù)最值和基本不等式求最值分別求得兩種方案的盈利總額，通過比較盈利總

額和所需時長，得到方案②合算.

【詳解】(1)???客車每年的營運總收入為30萬元，使用x年(xeN.)所需的各種費用總計為

2—+6x萬元,若該車x年開始贏利，則30X>2X2+6X+50,

2

BPX-12X+25<0,,?,xeN+,.-.3<x<9,

,該車營運第3年開始贏利.

(2)方案①匾利總額必=30X-(2X2+6X+50)=-2X2+24x-50=-2(x-6)2+22,

:.x=6時，贏利總額達到最大值為22萬元.

.--6年后賣出客車，可獲利潤總額為22+10=32萬元.

方案②年平均贏利總額%=~2?+24X~50+24=24-2(科耳44(當且僅當

xx\X)

x=5時取等號).

.?“=5時年平均贏利總額達到最大值4萬元.

；.5年后賣出客車，可獲利潤總額為4x5+12=32萬元.

?.,兩種方案的利潤總額一樣，但方案②的時間短，，方案②合算.

關鍵點點睛：本題考查建立擬合函數(shù)模型求解實際問題，解題關鍵是能夠根據(jù)已知條件構造

出合適的函數(shù)模型，結合二次函數(shù)性質和基本不等式求得函數(shù)的最值.

XX

20.己知函數(shù)/(x)=log?『log?了

(1)求函數(shù)/(幻的值域；

(2)若對任意的xe[2,4],不等式/(2x)-aJog2X+420恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】(1)

(2)a<3.

【分析】(1)換元轉化為求二次函數(shù)值域；(2)換元，分離參變量，根據(jù)不等式求解恒成立

問題.

【詳解】(1)因為解[定義域為(0,+?>),

則f(X)=(log2X-1)(logzX-2)=(log?x)2-31og,x+2,

3ii

^log,x=/(/eR),plljy=t2-3t+2=(t--)2,

所以/(x)值域為

(2)@^j/(2x)-a-log2x+4>0,

所以log2X-(log2X-l)-alog2X+4N0,

設log2》=f,則

4

原問題化為對任意fe[1,2],/2—/+4—q/20,即a4fH-----1,

因為f+；一122/心一1=3(當且僅當￡=2即》=4時，取等號),

4

即f+—-I的最小值為3,所以。43.

t

21.已知函數(shù)/(幻="+1伍＞0,的圖像恒過定點A,且點A又在函數(shù)

g(x)=bgO(x+a)的圖像上.

⑴若求x的值；

(2)若關于x的不等式/(g(x))＞丘+1在xe［3,4］上恒成立，求實數(shù)力的取值范圍.

【正確答案】(l)x=l

(2)(/

【分析】(1)由題意得出。后解方程；

(2)題意為不等式恒成立，轉化為最值，討論二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的位置關系求解.

【詳解】(1)/(x)=a，+l(a＞0),

當x=0時，/(x)=2,

則函數(shù)了=/。)圖像恒過定點“(0,2),

又2)在函數(shù)y=g(x)圖像上，

則2=log〃，得a=2

由/(x)_〃_x)=5,則2、_2-=》

13

令2』＞0,則—=彳，

t2

即2『-3/-2=0,(2Z+1)(Z-2)=O,

,//＞0,:.t=2,

即2*=2，得x=l：

(2)/［g(x)］=2題9("2)+［=2臉MV+1=(*+2)2+1,

則(x+2)2+1＞丘+1在區(qū)間［3,4］上恒成立，

即3+(4-4拄+4＞0在區(qū)間［3,4］上恒成立,

令/!（X）=X2+（4-A）X+4,則/）（X）mM>0,

函數(shù)y="X）的對稱軸為x=y-2,

@1-2<3,即后410,y="x）在區(qū)間［3,4］上單調遞增，

幽心?=〃（3）=25-3左>0，