文科數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二年級(jí)下冊(cè)期末試題及答案解析 二

數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二下學(xué)期期末試題

及答案解析

數(shù)學(xué)試題(文科)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選

擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合M=卜1/-3χ=θ},/V={x∣log2x<2},則Λ√uN=()

A.{-2}B.(0,4)C.(→o,4)D.[0,4)

【答案】D

【分析】分別解出集合M,N,即可求得MUN.

【詳解】解："={工，-3x=θ},.?.M={0,3},

/V={x∣log2x<2},N={x∣0<x<4},

.?.MuN=[0,4).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是集合的并集運(yùn)算，正確解出集合是解決本題的關(guān)鍵，是基

礎(chǔ)題.

2.若z=i(3-句，則IZI=

A.√5B.2√5C.5D.25

【答案】C

【分析】先利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閦=i(3-4i)=4+3i,所以IZI=J32+42=5.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部

的理解，掌握純虛數(shù)、共較復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法

運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，

防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

3.設(shè)函數(shù)F(X)=0,x=0,且/(X)為奇函數(shù)，貝IJgQ)=()

g(x),x>0

A.-B.—C.4D.—4

44

【答案】D

【分析】利用分段函數(shù)、奇函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)?(X)=0,x=0,所以f(2)=g(2),

g(χ),χ>o

又f(x)為奇函數(shù)，所以/(為=g(2)=—/以2),

所以g(2)=-g)-2=-4,故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

4.甲，乙，丙，丁四人在足球訓(xùn)練中進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地把球

傳給乙，丙，丁中的任何一個(gè)人，以此類推，則經(jīng)過(guò)3次傳球后乙恰接到I次球的概

率為()

A.—B.-C.黑D.—

2792727

【答案】C

【分析】將所有傳球的結(jié)果列出，再利用古典概型求結(jié)果.

【詳解】傳球的結(jié)果可以分為：

分別傳給3人時(shí)：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；

若傳給2人時(shí)：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；

再傳給甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙

甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15種；

共27種，只傳乙一次的有16種，所以所求概率為尸=￡

故選：C

5.“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出

2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的

數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來(lái)，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后

面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素

數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為

A.130B.132C.134D.141

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素?cái)?shù)的定義即可求解.

【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為E=史上地=209,

2

2至IJ20的全部素?cái)?shù)和為S2=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為209-77=132.

故選：B.

6.已知函數(shù)"x)=l-2cos2(0x+m?>o)的最小正周期為τ,且=<τ<=,若

kθ√43

F(X)的圖象關(guān)于直線X=?對(duì)稱,則噌卜()

【答案】A

【分析】運(yùn)用二倍角公式化簡(jiǎn)/(X),結(jié)合:<τ<g與/(X)的對(duì)稱性求得。的值，進(jìn)

而求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=l-2cos2(0x+[]=-COS(2OX+M,

所以T=F=

又因?yàn)?T<

所以上<K<Wπ,即?<@<4,①

4。32

又因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于直線X=F對(duì)稱，

O

TTTT

所以20x?7+?=?π,keZ.

所以。=3Z—1,ZeZ,②

所以由①②得力=2,

所以/(X)=-CoS(4x+g

故選：A.

7.在“5C中，角A,B9C所對(duì)的邊分別為〃，b,C9若α=4,b=5fc=√61,則角C

=()

A.120oB.90oC.60oD.45°

【答案】A

【分析】利用余弦定理求出CoSC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角。的值.

【詳解】由余弦定理可得CoSC="+"c=-L,

Iab2

0o<C<180o,C=120°.

故選：A.

8.在“ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，且BD=2OC，則()

A.AD=AB+2ACB.AD=2AB+AC

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

3333

【答案】D

【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.

2

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊BC匕且瓦5=2。。，所以8O=18C,

??1?

所以4O=AB+BO=AB+-8C=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

331,33

故選：D

9.貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾

隆時(shí)期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個(gè)幾何

體的組合體，上面的幾何體I是直棱柱，中間的幾何體II是棱臺(tái)，下面的幾何體In也

是棱臺(tái)，幾何體HI的下底面與幾何體I的底面是全等的六邊形，幾何體In的上底面面

積是下底面面積的4倍，若幾何體I、H、In的高之比分別為3:3:5,則幾何體I、

II、In的體積之比為()

II

III

A.3:6:10B.3:9:25C.3:21:35D.9:21:35

【答案】D

【分析】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S,高為3〃?，根據(jù)棱柱和棱臺(tái)的體積公式直接

計(jì)算，然后求比可得.

【詳解】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S,高為3加，由上到下的三個(gè)幾何體體積分別

記為匕匕,匕，

則=3nιS,

=l(s+4S+√4F)×3w=ImS,

^=l(s+4S+√4Sr)×5∕n=yw5,

35

所以K:匕:匕=3"S7mS:半MS=9:21:35

故選：D

10.已知過(guò)雙曲線C：-S=l(q>0,6>0)的右焦點(diǎn)F(Go)作X軸的垂線與兩條漸

近線交于A,B,-OA8的面積為叵，則該雙曲線的離心率為()

3

A.—B.-C.2D,-

323

【答案】A

7Ar

【分析】先結(jié)合雙曲線的漸近線方程求出IABI=亍，再根據(jù)三角形面積公式得到

2=立即可.

a3

得A卜總，β?c,_bc_

a

???Si=*硝ABl=如今=4

故選：A.

11.已知直線/“+y-3=0上的兩點(diǎn)A,B,且IABl=I,點(diǎn)P為圓￡>:f+>2+2%-3=0

上任一點(diǎn)，則，始8的面積的最大值為()

A.√2+lB.2正+2C.y∣2-?D.2√2-2

【答案】A

【分析】找到圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值作為二BAB的高，再由面積公式求解即可.

【詳解】把圓。：/+/+2》-3=0變形為O+a+/=%

則圓心。(一1,0),半徑r=2,

+3

圓心。到直線/：χ+y—3=0的距離d=j?∣=20,

√12+12

則圓。上的點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為d+『=2&+2，又IABl=1,

,./AS的面積的最大值為:*9點(diǎn)+2卜1=&+1.

故選：A.

17

12.a=1÷siπθ.1?b=e01>C=--,則〃也C的大小美系為().

16

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)證明e'>x+l,(x>0)與x>sinx,(x>0),利用這兩個(gè)不等式可判

構(gòu)造函數(shù)MX)=Sinx--x?0<x<-可證得sin%>-x即可判斷”>c,從

8168

而得出答案.

【詳解】令F(X)=e*-(x+l),(x>0),則f'(x)=e*-l>O,

則/3在(0,+8)上單調(diào)遞增,?/(X)>/(0)=0,則e*>x+l,(x>0).

令g(x)=x-sinx,(x>O),貝∣Jg'(x)=I-CoSXNO,

則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(O)=O,則x>sinx,α>O).

所以e°ι>l+O.l>l+sinO.l,即…；

令MX)=Sinx--x0<x<^,貝∣J/(尤)=COSX-*,

8I68

因?yàn)镺<x<g,所以正<cosκ<l,貝IJCOSX>立>*,

?∕∕(x)>0,

6228

所以MX)在(O%上單調(diào)遞增，則MX)>"(())=(),即SinX>-x

8

易知OJwfθ,4,所以SinO.l>2χO.l=L則l+sinO.l>l+-L=",即a>c；

?6√8161616

綜上：h>a>c.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.平面向量α,b滿足α=(T2),0=(2,3),則α?(α-b)=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)棣?(T,2),1=(2,3),則"b=(-3,-1),

所以a-(q_q=(_l)x(—3)+2x(-l)=l.

故答案為：1

X<2

14.如果X,y滿足,γ≥-l,則2y-x的最小值為.

x-y≥0

【答案】-4

【解析】

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.

'x≤2

【詳解】作出不等式組，y≥-l表示的平面區(qū)域，如圖中陰影一ABC(含邊界)，其中

?-J>0

A(2,-1),B(2,2),C(-1,-1),

第7頁(yè)/共20頁(yè)

IZ17

令z=2y—x,即y=—尤+—表示斜率為:，縱截距為一的平行直線系,

2222

畫直線=平移直線4到直線4,當(dāng)直線4過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線4的縱截距最小，Z

最小,

即zmi∏=2×(-l)-2=-4,所以2y-x的最小值為-4.

故答案為：-4

15.某玩具廠計(jì)劃設(shè)計(jì)一款玩具，準(zhǔn)備將一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正四面體（所有棱長(zhǎng)都相等的

三棱錐）密封在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)，并且這個(gè)正四面體在該圓柱形容器內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

則該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為cm.

【答案】2氓

【解析】

【分析】依題意該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，圓柱形容器內(nèi)壁高的最小，則正四

面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，求出正四面體外接球的半徑，即可得解.

【詳解】依題意該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以

任意轉(zhuǎn)動(dòng)，

則該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，圓柱形容器內(nèi)壁高最小，

則正四面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，

如圖正四面體P-ABC,設(shè)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)的射影為“，即吊上面ABC,

則球心。PH上，A"=2AB?COS30=當(dāng)，

33

4√6

所以PH=y∣PA2-AH2=

亍

第8頁(yè)/共20頁(yè)

設(shè)外接圓的半徑為R，OP=OA=R,所以O(shè)H=PH—OP=還一R，

3

f4√6Yf4√3Y

在Rt4Q4∕/中，042=OH2+A"2,即R2+

I3J3)

解得R=?/e，

所以該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為2jdcm?

故答案為：2瓜

16.已知A是曲線y=e，上的點(diǎn)，8是曲線y=lnx上的點(diǎn)，∣AB∣≥a恒成立，則實(shí)數(shù)α的

取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】要IABINa恒成立即求IA用的最小值，因?yàn)榍€y=e'與曲線y=lnx互為反函

數(shù)，關(guān)于直線V=X對(duì)稱，故IA網(wǎng)的最小值為曲線y=e*上的點(diǎn)到于直線y=X的距離的兩

倍，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出即可.

【詳解】要IABl≥α恒成立即求IABl的最小值，

因?yàn)榍€y=e'與曲線y=Inx互為反函數(shù)，

所以圖像關(guān)于直線＞=X對(duì)稱，

又A是曲線y=e，上的點(diǎn)，8是曲線y=lnx上的點(diǎn)，

所以IA6∣的最小值為曲線y=et上的點(diǎn)到于直線〉=%的距離的兩倍，

第9頁(yè)/共20頁(yè)

由y=ev=>y'=ev,

設(shè)與直線V=X的平行且在y=ev上的切點(diǎn)為：(Xo，e*),

則y'Lκ0=e*=1，即Xo=0，

所以曲線y=e'上切點(diǎn)為(0』)，

所以A到直線y=X的距離的最小值即為點(diǎn)(0,1)到直線y=X的距離的最小值,

d=J°T√2

即,

√ι2+(-ι)2^2^

所以4n,in=3,所以正？G

即實(shí)數(shù)”的取值范圍是：(-∞,3].

故答案為：(-∞,√2]

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

(-)必考題：共60分.

4

17.在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,B=2A<cosA=-.

(1)求COSB和COSC的值；

(2)若ABC的面積為普，求α+Z?的值.

744

【答案】(1)cosB=一,cosC=---；

25125

(2)13.

【解析】

【分析】(1)在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.

(2)由(1)中信息，結(jié)合三角形的面積求出α匕，再由正弦定理求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

4,4,7

在ASC中，cosA=—,B-2A>則858=(：0$24=2<：0$~4-1=2*(—)~-1=—,

5525

第10頁(yè)/共20頁(yè)

而OVAVπ,則SinA=JI-COS2A=

3丁5

sin3=sin2A=2sinAcosA=2×-×-=—,

5525

因此COSC=CoS[萬(wàn)一(A+B)]——cos(A+∕?)=—cosAcosB+sinAsinB

4732444

=×----F—x——=-----

525525125

【小問(wèn)2詳解】

44

在.ABC中，由（1）知CoSC=—,而0＜。＜兀，則

125

sinC=Vl-cos2C

于是.√WC的面積S"c=JαbsinC=Jα8χU?=當(dāng)，解得出?=40,

2212525

3

QA-

即-5

-==-,因此

由正弦定理得——=——力Rα=5,b=8,

sinAsinB248

25

所以α+b=13?

18.某地區(qū)新高考要求語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科H，考生還要從物理、化學(xué)、生

物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.現(xiàn)從該地區(qū)已選科的學(xué)生

中隨機(jī)選出200人，對(duì)其選科情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，選考物理的占60%,選考政治的占75%,

物理和政治都選的有80人.

（1）完成選考物理和政治的人數(shù)的2x2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)

0.1%的前提下，認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān)？

選考政治的人數(shù)沒(méi)選考政治的人數(shù)合計(jì)

選考物理的人數(shù)

沒(méi)選考物理的人數(shù)

合計(jì)

（2）若甲、乙、丙三人選考的是物理、化學(xué)和生物，A,8兩人選考的是歷史、地理和政

治，從這5人中隨機(jī)選出2人，求這兩人中選考物理和政治的各一人的概率.

第11頁(yè)/共20頁(yè)

附參考數(shù)據(jù)和公式:

2

P(κ≥ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

3841

k。2.0722.7065.0246.6357.87910.828

n(ad-bCy

K2,其中〃=α+8+c+d.

(α+∕)(c+d)(α+c)(b+d)

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以

⑵3

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意完成2x2列聯(lián)表，再計(jì)算出K?與10?828比較即可得出判斷；

（2）列舉出從5人中抽取2人包含基本事件，再分析出選考物理和政治的各一人的基本

事件，根據(jù)古典概型計(jì)算公式，計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題意，選考物理的考生有200x0.6=120人，

選考政治的考生有200x0.75=150人，2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：

選考政治的人數(shù)沒(méi)選考政治的人數(shù)合計(jì)

選考物理的人數(shù)8040120

沒(méi)選考物理的人數(shù)701080

合計(jì)15050200

2200×(80×10-40×70)2100

∣5∣79K~=-----------------------------------=------≈ll.lll>10.828.

150×50×120×809

所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，可以認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

從5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲4、甲8、乙A、乙B、丙A、

丙B、AB,

共10個(gè)，其中選考物理和政治的各一人的基本事件有、甲4甲B、乙A、乙B、丙A、

丙8,共6個(gè)，

第12頁(yè)/共20頁(yè)

所以所求概率p=g=3.

105

TT

19.已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且/84。=一,

3

PA=PC,PD±AD,E為PB中點(diǎn)、.

P

(2)若PD=2,求三棱錐P-Az)E的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

3

【解析】

【分析】(1)連接AC,B0,ACcBO=O,證明AelBD與PoIAC可得，Ae_L平面

PBD,利用線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)求出％W=班，結(jié)合E為PB中點(diǎn)，可得VEABD=—,利用

r-Λt>U3C,-Λι5L∕3

VP-AoE=P-AHD~VE-ABD可得答案.

【小問(wèn)I詳解】

連接AC,BD,ACr?BD=O,

因?yàn)榈酌鍭BCo是邊長(zhǎng)為2的菱形，

所以ACl8。，且。是Ae的中點(diǎn)，

因?yàn)楱M?=PC,所以Po_LAC,

又因?yàn)镻OCBD=O,PO,BDU平面PBD,

所以ACJ_平面PBD,因?yàn)椤U平面P3Z)，

所以ACj_DE

第13頁(yè)/共20頁(yè)

P

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镻AD=PCD,所以NPZM=NPDC,

Tl

又因?yàn)镻oJ_A￡>,所以NPD4=NPDC=-,即POLCD,

2

因?yàn)锳O8=。,4。,。0(=平面/188,所以PO_L平面ABCn

Tr

因?yàn)榈酌鍭BCO是邊長(zhǎng)為2的菱形，且N6AD=§,PD=2,

所以XPo=；x；x2x2x告x2=手,

因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以VEr皿=JVPY皿=日，

所以VZ-VV_漢|百一百

所以Vp-ADE=vP-ABD~VE-ABD=-------------------=~

20.已知A(%,%)(yo>°)是拋物線E：y2=2px(p>0)上的點(diǎn).當(dāng)Xo=9時(shí),

No=6.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)F是E的焦點(diǎn)，直線AF與E的另一交點(diǎn)為B,∣AF∣=5,求I研的值.

【答案】(1)y2=4x,

(2)4.

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)(9,6)代入拋物線方程求解作答.

(2)設(shè)出直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的

橫坐標(biāo)作答.

【小問(wèn)1詳解】

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依題意，拋物線脫產(chǎn)=22％過(guò)點(diǎn)(9,6),則6?=2px9,解得〃=2,

所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4χ.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，拋物線E的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為X=-I,

顯然直線AF不垂直于，軸且斜率不為0,

設(shè)直線A尸的方程為：X=∕y+l,點(diǎn)A(Xl,凹),3(工2，丁2)，

X「°：1消去X并整理得：y2-4ty-4=0,則乂為=-4,

由,

y=4x

W_(Xy2>—

——----------------1

416

而IAFl=Xl+1=5,解得內(nèi)=4,于是％2=；,ISFI=x2+1=,

所以IA扇FI=4.

21.已知函數(shù)/(x)=0re'(a∈R).

13

⑴若同≤e,函數(shù)g(x)=∕(x)-5*2—X的極大值為5,求”的值;

(2)若/(x)+120在［-2,2］上恒成立，求α的取值范圍.

【答案】(Oa=一e

1

⑵H

【解析】

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分。=0,-e≤α<0和0<α≤e三種情況求函數(shù)的極大

第15頁(yè)供20頁(yè)

3

值，使其極大值等于不，從而可求出α的值；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為61+120在［-2,2］上恒成立，當(dāng)。=0時(shí)，上式恒成立，當(dāng)α≠0時(shí)，構(gòu)

造函數(shù)∕z(X)=Ore'+1(XGI-2,2］),然后利用求出其最小值大于等于零，從而可求出。的

取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由g(x)=/(X)—X=αxejr一；%2_彳，得

g'(x)=aex+axex-x-l=(tzev-I)(X+1),

①當(dāng)α=0時(shí)，g,(x)=-x-l.

當(dāng)x<-l時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)x>-l時(shí)，g'(x)<O,

1、,1

所以當(dāng)戶一1時(shí)，g(χ)取得極大值g(—1)=—］X(—1)—-(―1)=5,不合題意，

②當(dāng)-e≤α<O時(shí)，令g'(x)=O,則X=-1

當(dāng)x<-l時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)χ>-l時(shí)，g'(x)<O,

1］3

所以當(dāng)戶一1時(shí)，g(x)取得極大值8(-1)=一流7-5*(—1)2—(—1)=5-恁7=］,

解得α=-e,

③當(dāng)O<α≤e時(shí)，令g'(x)=O,則X=-I或X=-Inα,

當(dāng)“=e時(shí)，g,(x)>O,則g(χ)在R上遞增，所以g(χ)無(wú)極值，所以α=e不合題意，

當(dāng)O<α<e時(shí)，-Ina>—1,

當(dāng)x<-l或x>—Ina時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)一l<χ<-ln0時(shí).，g'(x)<O,

所以g(χ)在(一8,-1)和(-∕o∏,+∞)上遞增，在(T,Tn?)上遞減，

I13

所以當(dāng)戶一1時(shí)，g(χ)取得極大值g(—1)=-四7-5乂(一1)2-(-1)=5-恁7=2，

解得α=-e(舍去)，

綜上α=-e,

【小問(wèn)2詳解】

由/(x)+1NO在［-2,2］上恒成立，得以e`+1≥O在［-2,2］上恒成立，

第16頁(yè)/共20頁(yè)

當(dāng)α=。時(shí)，上式恒成立,

當(dāng)α≠()時(shí)，令〃(x)=axex+I(X∈[-2,2J),

則h'(x)=aex+axex=aex(x+IXX∈[-2,2]),

①當(dāng)α>0時(shí)，當(dāng)一2≤x<-l時(shí)，h'(x)<O,當(dāng)一l<χ≤2時(shí)，/(x)>0,

所以/?(%)在(-2,-1)上遞減，在(一1,2］上遞增,

所以當(dāng)X=—1時(shí)取得極小值，也是最小值〃(一l)=-αe-∣+1,

所以一αeT+l≥O,解得O<α≤e,

②當(dāng)“<0時(shí)，當(dāng)一2Wx<-l時(shí)，Λ,(%)>0,當(dāng)一l<χ≤2時(shí)，h'(x)<O,

所以Zz(X)在(-1,2］上遞減，?［-2,-l)上遞增,

所以〃mi〃(一

(x)m?=N2),〃(2)},

Λ(-2)=-26ze^2+l≥0

?1

所以V∕z(2)=2ae-÷1≥0,解得——~~—<α<0,

a<0一

3、1，

綜上，-22W〃We，

即0的取值范圍為-?,e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問(wèn)題和不等

式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，合理分類判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，考查數(shù)學(xué)分類思

想和計(jì)算能力，屬于較難題.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C的方程為(χ-3y+y2=4,直線/過(guò)點(diǎn)尸(3,1)且傾

斜角為ɑ.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)寫出直線/的參數(shù)方程(用P點(diǎn)坐標(biāo)與α表示)和曲線C的極坐標(biāo)方程；

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11

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,