高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件高考增分大題五增分2圓錐曲線中的定點定值證明問題

高考增分大題五圓錐曲線的綜合問題增分2

圓錐曲線中的定點、定值、證明問題

考點一圓錐曲線中的證明問題(1)求橢圓C的方程和離心率;(2)設(shè)P,Q為橢圓C上不同的兩個點,直線AP與y軸交于點E,直線AQ與y軸交于點F,若點M(1,0)滿足MF⊥ME,求證:P,O,Q三點共線.當(dāng)n=2k時,直線PQ的方程y=k(x+2),不符合題意.當(dāng)n=0時,P,O,Q三點共線.綜上,P,O,Q三點共線.即點(-x0,-y0)在直線AF上,因為點P(x0,y0)在橢圓上,由橢圓的對稱性知點(-x0,-y0)也在橢圓上,即點(-x0,-y0)是直線AF與橢圓的交點Q,所以P,O,Q三點共線.(方法三)由題意得A(-2,0),不妨令點E在x軸上方.因為MF⊥ME,所以△EMF為直角三角形,所以|OE|·|OF|=|OM|2=1.規(guī)律方法常見解析幾何證明問題轉(zhuǎn)化策略

對點訓(xùn)練1(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,點P到x軸的距離等于點P到點(0,)的距離,記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上,證明:矩形ABCD的周長大于

.(2)(方法一)設(shè)矩形ABCD的頂點A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如圖所示,設(shè)直線AB的斜率為k(k>0).不妨將A,B固定在y軸及y軸右側(cè).A,B坐標(biāo)滿足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐標(biāo)滿足∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.即(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.顯然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.此時,|b+a|·|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.考點二與圓錐曲線有關(guān)的定點問題為C,PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點.(2)證明

(方法一)如圖所示,由(1)知A(-3,0),B(3,0),設(shè)P(6,m).直線PA的方程為規(guī)律方法1.圓錐曲線中定點問題的常見解法(1)要證明直線或曲線過定點,可以根據(jù)已知條件直接求直線或曲線的方程,方程一旦求出,即能找到直線或曲線過的定點,也就證明了過定點;(2)對于直線或曲線是否過定點問題,一般先假定過定點,并假設(shè)出定點坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組,以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即所求定點;(3)從特殊位置入手,找出定點,再證明該點符合題意.C上.(1)求C的方程;(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.∵直線AP,AQ分別與y軸交于M,N兩點,且過A(-2,0),∴設(shè)直線AP的方程為y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,設(shè)直線AQ的方程為y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,=2k+(-2k+3)=3,∴T(0,3).綜上,線段MN的中點為定點(0,3).考點三與圓錐曲線有關(guān)的定值問題例3在平面直角坐標(biāo)系中,A1,A2兩點的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線A1M,A2M相交于點M且它們的斜率之積是,記動點M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點F(1,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點,且點P位于x軸上方,記直線A1Q,A2P的斜率分別為k1,k2,證明:為定值.若直線l斜率存在,設(shè)直線l為y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),解題技巧1.求或證明某個量為定值的常見方法(1)從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.以F2為圓心,2為半徑的圓相交,且交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過橢圓C的右焦點F2的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1k2=-2,直線l1交橢圓C于M,N兩點,直線l2交橢圓C于G,H兩點,線段MN,GH的中點分別為R,S,直線RS與橢圓C交于P,Q兩點,A,B是橢圓C的左、右頂點,記△PQA與△PQB的面積分別為S1,S2,證明:為定值.解

(1)因為兩圓的交點在橢圓上,所以6+2=2a,則a=4.考點四圓錐曲線中定點、定值的探究問題例4(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,S(t,4)為C上一點,直線l交C于M,N兩點(與點S不重合).(1)若l過點F且傾斜角為60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.(2)若p=2,直線SM,SN分別與y軸交于A,B兩點,且

=8,判斷直線l是否恒過定點?若是,求出該定點;若否,請說明理由.【教師講評—觸類旁通】分析1:在(1)中,聯(lián)立直線與拋物線的方程后得出方程兩個根,由M在第一象限得出M的橫坐標(biāo),再根據(jù)條件|FM|=4求出p的值,從而得出拋物線C的方程.分析2:在(2)中,采取設(shè)而不求的方法,設(shè)出直線方程并聯(lián)立直線與拋物線方程得出兩交點M,N的縱坐標(biāo)與直線系數(shù)的關(guān)系式(*),再用M,N的