第03講實際問題與二元一次方程組（知識解讀達標檢測）（原卷版）

第03講實際問題與二元一次方程組【題型1二元一次方程應(yīng)用】【題型2二元一次方程組應(yīng)用雞兔同籠問題】【題型3二元一次方程組應(yīng)用幾何問題】【題型4二元一次方程組應(yīng)用球賽積分問題】【題型5二元一次方程組應(yīng)用配套問題】【題型6二元一次方程組應(yīng)用經(jīng)濟問題】【題型7二元一次方程組應(yīng)用方案問題】考點1：二元一次方程（組）應(yīng)用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100【題型1二元一次方程應(yīng)用】【典例1】（2023秋?河西區(qū)期末）有m輛客車及n個人，若每輛客車乘40人，則還有10人不能上車；若每輛客車乘43人，則最后一輛車有2個空位．給出下面五個等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；③；④；⑤43m＝n+2．其中正確的是（）A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④【變式11】（2023春?靖江市期末）《孫子算經(jīng)》中有個數(shù)學問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車；每二人乘一車，最終剩余9人無車可乘，問有多少人，多少輛車？在用二元一次方程組解決該問題時，若已經(jīng)列出的一個方程是y＝3（x﹣2），則符合題意的另一個方程是（）A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝【變式12】（2023春?賓陽縣期末）《緝古算經(jīng)》中記載：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有50只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可容納6頭鹿，若每個圈舍都住滿，求需要多少圈舍？設(shè)需要大圈舍y間，小圈舍x間，則x與y的方程可列為（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．【變式13】（2023春?海淀區(qū)期末）將一個長方形的長減少5cm，寬變成現(xiàn)在的2倍，就成為了一個正方形，設(shè)這個長方形的長為xcm，寬為ycm，則下列方程中正確的是（）A．x+5＝2y B．x+5＝y(tǒng)+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y(tǒng)+2【題型2二元一次方程組應(yīng)用雞兔同籠問題】【典例2】（2023?綠園區(qū)開學）飼養(yǎng)場有黑兔和白兔共150只，白兔比黑兔多30只，黑兔和白兔各有多少只？【變式21】（2023春?宜陽縣期中）我國古代數(shù)學典籍《孫子算經(jīng)》中有著名的“雞兔同籠”問題，其原文為“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”．其大意是“現(xiàn)有若干只雞和若干只兔放在一個籠子里，從上面數(shù)共有35個頭，從下面數(shù)共有94只腳，問籠子里雞和兔各有多少？請你用所學的知識進行解答．【變式22】（2022秋?牡丹區(qū)期末）七年級某班現(xiàn)有班費45元，計劃購買甲、乙兩種小禮品共10件作為班級主題班會學生活動的獎品，它們的單價分別為4元、5元．若45元班費正好用完，求甲、乙兩種小禮品各購買多少件．【題型3二元一次方程組應(yīng)用幾何問題】【典例3】（2023春?秦州區(qū)校級期中）小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個大的長方形，小紅看見了，說“我來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的正方形，中間還留了一個洞，恰好是邊長為2cm的小正方形！試求圖2這個正方形的面積．【變式31】（2023秋?東莞市期末）如圖，由七個完全一樣的小長方形組成的大長方形ABCD，CD＝7，求長方形ABCD的周長．【變式32】（2022秋?薛城區(qū)期末）列二元一次方程組解應(yīng)用題：某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設(shè)和諧家園．準備將一塊周長為76米的長方形空地，設(shè)計成長和寬分別相等的9塊小長方形，如圖所示．計劃在空地上種上各種花卉，經(jīng)市場預測，綠化每平方米空地造價210元，請計算，要完成這塊綠化工程，預計花費多少元？【變式33】（2022春?連山區(qū)期中）如圖，在大長方形ABCD中，放入六個相同的小長方形．（1）求小長方形的長和寬；（2）求陰影部分的面積．【題型4二元一次方程組應(yīng)用球賽積分問題】【典例4】（2022春?思明區(qū)校級期中）某次籃球聯(lián)賽積分榜如表所示：隊名比賽場次勝場負場積分前進1410424東方149523遠大147721恒大1441018藍天1401414（1）通過觀察積分表，填空：勝一場得分，負一場得分．（2）雄鷹隊也參加了本次籃球聯(lián)賽，獲得積分25分，問雄鷹隊的勝、負場次情況．（3）聯(lián)賽中還有一個隊伍，隊長向當?shù)亟M織者匯報，說隊伍在比賽中獲得勝場和負場的積分一樣多，請你通過數(shù)學計算判斷該隊長是否說謊．【變式41】（2020春?下陸區(qū)期末）有40支隊520名運動員參加籃球、足球比賽，其中每支籃球隊10人，每支足球隊18人，每名運動員只能參加一項比賽．籃球隊、足球隊各有多少支參賽？【變式42】（2023?皇姑區(qū)開學）甲、乙兩人進行射擊比賽，他們約定：每射中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)扣12分．兩個人各打10發(fā)，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙兩人各得多少分（2）求甲、乙兩人各射中多少發(fā)．【變式43】（2023秋?蘭州期末）在一次有12個隊參加的足球循環(huán)賽（每兩隊之間必須比賽一場）中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負一場記0分．某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場多兩場，結(jié)果積18分，問該隊戰(zhàn)平幾場？【題型5二元一次方程組應(yīng)用配套問題】【典例5】（2022春?沐川縣期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個長方形和1個正方形紙板做成，橫式紙盒由3個長方形和2個正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．（1）現(xiàn)有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個數(shù)．（2）紙板車間共有78名工人，每個工人一天能生產(chǎn)70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個豎式紙盒與一個橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？【變式51】（2023秋?南崗區(qū)校級月考）某機械廠加工車間平均每人每天加工甲種零件10個或乙種零件16個，已知3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，問怎樣安排人員才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套？、【變式52】（2022秋?會寧縣期末）紅星服裝廠要生產(chǎn)一批某種型號的學生服裝，已知3米長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用600米長的這種布料生產(chǎn)，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？【變式53】（2022秋?全椒縣期末）在手工制作課上，老師組織班級同學用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學每小時剪筒身40個或剪筒底120個．（1）求這個班男生、女生各有多少人？（2）原計劃男生負責剪筒底，女生負責剪筒身，若要求一個筒身配兩個筒底，請說明每小時剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套？【題型6二元一次方程組應(yīng)用經(jīng)濟問題】【典例6】（2023秋?敦煌市期末）如圖，A，B兩地由公路和鐵路相連，在這條路上有一家食品廠，它到B地的距離是到A地距離的2倍，現(xiàn)該食品廠從A地購買原料，全部制成食品（制作過程中有損耗）賣到B地，兩次運輸（第一次：A地→食品廠，第二次：食品廠→B地）共支出公路運費15600元，鐵路運費20600元．已知公路運費為1.5元/（千米?噸），鐵路運費為1元/（千米?噸）．（1）求該食品廠到A地，B地的鐵路距離分別是多少千米？（2）求該食品廠買進原料及賣出食品各多少噸？（3）若該食品廠此次買進的原料每噸花費5000元，要想該批食品銷售完后工廠共獲利863800元，求賣出的食品每噸售價是多少元？（利潤＝總售價﹣總成本﹣總運費）【變式61】（2023秋?光明區(qū)期末）足球是世界第一運動，2022年世界杯足球賽再一次點燃了人們對足球運動的熱情．世界杯期間光明區(qū)某文具店用14400元購進了甲、乙兩款足球，一共200個．兩款足球的進價和標價如下表：類別甲款足球乙款足球進價/（元/個）8060標價/（元/個）12090（1）求該文具店的甲、乙兩款足球分別購進多少個？（2）該文具店為了加快銷售，回籠資金，決定對甲款足球打8折銷售，乙款足球打9折銷售，若所購的足球全部售出，則該文具店能獲利多少元？【變式62】（2023秋?羅湖區(qū)期末）為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，有效開展“陽光體育”活動，某中學計劃從體育用品商場購買乒乓球拍和乒乓球用于學生社團活動．若購買2副球拍和3盒乒乓球則共需75元；若購買3副球拍和2盒乒乓球則共需100元．（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的價格．（2）學校計劃采購乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期間，商場搞促銷活動：甲商場全部商品打9折出售，乙商場買2副乒乓球拍送一盒乒乓球，請問在哪個商場采購合算？請說明理由．【變式63】（2022秋?阜新縣校級期末）某中學用1000元資金為全校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩兩種口罩共350個，該大型藥店的普通醫(yī)用口罩、N95口罩成本價和銷售價如表所示：類別/單價成本價（元/個）銷售價（元/個）普通醫(yī)用口罩0.82N95口罩48（1）該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩各多少個？（2）銷售完這350個普通醫(yī)用口罩、N95口罩，該大型藥店共獲得多少利潤？【題型7二元一次方程組應(yīng)用方案問題】【典例7】（2022秋?鄆城縣期末）2020年2月，“新冠“疫情日趨嚴重，“雷神山“醫(yī)院急需新型救護車，某企業(yè)為了向醫(yī)院捐獻救護車，派人到汽車銷售公司了解到，新型救護車共有A、B兩種型號，2輛A救護車、3輛B型救護車的進價共計80萬元；3輛A型救護車、2輛B型救護車的進價共計95萬元．（1）求A、B兩種型號的救護車每輛進價分別為多少萬元？（2）若該企業(yè)計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新型救護車（兩種型號的救護車均購買），該企業(yè)共有哪幾種購買方案？【變式71】（2022秋?新城區(qū)校級期末）已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸，某物流公司現(xiàn)有26噸貨物，計劃A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢車方案，并求出最少租車費．【變式72】（2023春?集美區(qū)校級期中）今年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；（3）若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【變式73】（2023秋?彰武縣期末）2023上海國際車展于2023年4月18日正式開幕，新能源汽車成為本次車展的亮點．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解1輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進價共計55萬元；4輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進價共計120萬元．（1）求A、B兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為多少萬元；（2）若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的新能源汽車均購買），請你通過計算幫該公司求出全部的購買方案．一．選擇題（共9小題）1．（2023春?遷安市期中）小明用20元錢去買筆，一支鋼筆5元錢，一支鉛筆1元錢，如果將這20元恰好花完，則購買方案共有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種2．（2023春?承德期末）《九章算術(shù)》中記載了一個問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人數(shù)及該物品的價格，小明用二元一次方程組解決此問題，若已經(jīng)列出一個方程8x﹣3＝y(tǒng)，則符合題意的另一個方程是（）A．7x﹣4＝y(tǒng) B．7x+4＝y(tǒng) C． D．3．（2023秋?梅縣區(qū)期末）“踐行垃圾分類?助力雙碳目標”主題班會結(jié)束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池數(shù)量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．4．（2023秋?禪城區(qū)期末）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？若設(shè)兔子有x只，雞有y只，則下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?馬關(guān)縣期末）《增刪算法統(tǒng)宗》是清代數(shù)學家梅玨成對明代數(shù)學家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》進行增刪修正后著成的珠算書，其中記載了一道“繩索量竿”的問題，大意是：有一根竿子和一根繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；將繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺，設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，可列方程組為（）A． B． C． D．6．（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，下列方程組正確的是（）A． B． C． D．7．（2023?海州區(qū)校級開學）已知□＝△+△+△+△，□﹣Δ＝4.8，則Δ＝（）A．7.2 B．6.4 C．5.4 D．1.68．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）某車間35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應(yīng)該分配（）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當天的螺栓和螺母剛好配套？A．13 B．14 C．15 D．169．（2023春?黔東南州期末）打折前，買60件A商品和30件B商品用了1080元，買50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，買500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（）A．200元 B．300元 C．400元 D．500元二．填空題（共4小題）10．（2023春?宿遷期末）若x的2倍與y的差是10，那么可用二元一次方程表示為．11．（2022春?硚口區(qū)期末）現(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚，從中共取出15枚，共值7元．則5角硬幣取出了枚．12．（2023?九龍坡區(qū)校級開學）從甲地到乙地有一段上坡與一段平路，如果保持上坡每小時騎行走30km，平路每小時騎40km，下坡每小時騎行走50km，那么從甲地到乙地53min，從乙地到甲地需41min．若設(shè)坡路長xkm，平路長ykm，根據(jù)題意，可列方程組為．13．（2023秋?前郭縣期末）一艘輪船在A、B兩地之間航行，順水航行需要3小時，逆水航行需要5小時．已知該輪船在靜水中的速度是12千米/時，A、B兩地之間的距離為千米．三．解答