高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件考點(diǎn)突破練8立體幾何中的證明與計(jì)算

考點(diǎn)突破練8立體幾何中的證明與計(jì)算1.(2023陜西寶雞二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB=2AD=2,PD=4,AD⊥CD,E為棱PD上一點(diǎn).(1)求證:無(wú)論點(diǎn)E在棱PD的任何位置,都有CD⊥AE;(2)若在PB上存在一點(diǎn)H,且PH=2HB,求三棱錐C-ABH的體積.(1)證明

因?yàn)镻D⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PD⊥CD.因?yàn)锳D⊥CD,AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)辄c(diǎn)E為棱PD上一點(diǎn),所以AE?平面PAD,所以CD⊥AE.2.(2023陜西渭南一模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)E為A1C1的中點(diǎn),AB=BC=2,C1F⊥AB.(1)求證:AB⊥BC;(2)若C1F∥平面ABE,且C1F=2,求點(diǎn)A到平面BCE的距離.(1)證明

在直三棱柱中,CC1⊥AB,又C1F⊥AB,且C1F,C1C?平面BCC1B1,CC1∩C1F=C1,∴AB⊥平面BCC1B1,又∵BC?平面BCC1B1,∴AB⊥BC.3.(2023貴州銅仁二模)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E為AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置,且PE⊥EB,M為PB的中點(diǎn),N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合).(1)證明:平面EMN⊥平面PBC;(2)設(shè)三棱錐B-EMN和四棱錐P-EBCD的體積分別為V1和V2,當(dāng)點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)時(shí),求

的值.(1)證明

∵PE⊥EB,PE⊥ED,EB∩ED=E,EB,ED?平面EBCD,∴PE⊥平面EBCD.又BC?平面EBCD,∴PE⊥BC.∵BC⊥EB,PE,BE?平面PEB,PE∩BE=E,∴BC⊥平面PEB.∵EM?平面PEB,∴EM⊥BC,由PE=EB,PM=MB知EM⊥PB.又BC,PB?平面PBC,BC∩PB=B,∴EM⊥平面PBC,又EM?平面EMN,∴平面EMN⊥平面PBC.4.(2023四川宜賓二模)在圓柱O1O2中,四邊形DEFG為過(guò)軸O1O2的截面,DG=4,DE=16,△ABC為底面圓O1的內(nèi)接正三角形,AB∥DE.(1)證明:CO2⊥平面ABFG;(2)求三棱錐G-BCF的體積.5.(2023江西九江十校聯(lián)考二)如圖,四邊形ABCD是正方形,ABEF是矩形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF=AB=2,點(diǎn)G是EF上一點(diǎn),且EG=m(0<m<4).(1)當(dāng)m=2時(shí),求證:平面ACG⊥平面BGC;(2)當(dāng)m=1時(shí),求直線AC與平面BCG所成角的余弦值.(1)證明

因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓O上,AB為直徑,則BC⊥AC.而CD⊥平面ABC,BC?平面ABC,于是CD⊥BC,又AC∩CD=C,AC,CD?平面ACD,則有BC⊥平面ACD.由CD∥BE知點(diǎn)B,C,D,E共面,又BC∥平面ADE,平面BCDE∩平面ADE=DE,BC?平面BCDE,因此BC∥DE,即有DE⊥平面ACD,又DE在平面ADE內(nèi),所以平面ADE⊥平面ACD.(2)解

由(1)知,CD⊥AC,因?yàn)镃D∥BE,則∠ADC或其補(bǔ)角為AD與BE所成的角,顯然∠ADC為銳角,所以∠ADC=45°,則CD=AC=1.由(1)知四邊形BCDE是平行四邊形.在平行四邊形BCDE中,BE=CD=1.因?yàn)镃D⊥平面ABC,則有AC?平面ABC.因?yàn)镃D⊥AC,又BC⊥AC,CD∩BC=C,CD,BC?平面BCDE,所以AC⊥平面BCDE,而CE?平面BCDE,從而AC⊥CE.因?yàn)镃D⊥平面ABC,CD∥BE,所以BE⊥平面ABC.因?yàn)锳B?平面ABC,所以BE⊥AB.取AE的中點(diǎn)M,連接CM,BM