專題05 填空題之分類討論思想含答案-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練

備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練專題05填空題之分類討論思想【典型例題】1．(2022·江西九江·九年級期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BO上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△ACP為直角三角形時，則BP的長為______．【專題訓(xùn)練】一、填空題1．(2022·廣東澄海·八年級期末)若△ABC的邊AB=6cm，周長為16cm，當(dāng)邊________時，△ABC為等腰三角形．2．(2022·廣東花都·八年級期末)已知一個等腰三角形一腰與另一腰上高夾角為20°，則這個等腰三角形的頂角為_____°．3．(2021·重慶·八年級期中)在平行四邊形中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為___．4．(2021·廣東順德·九年級期末)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC邊上的黃金分割點(diǎn)，則△ABD的面積為_____．5．(2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級期末)等腰△ABC，AB＝AC，底角為70°，BD將△ABC分成兩個三角形，當(dāng)這兩個三角形有一個是以BD為腰的等腰三角形時，則∠ADB的度數(shù)是_____．6．(2021·廣東越秀·一模)如圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到△ADE，若點(diǎn)C落在△ADE的邊上，則α的度數(shù)是__________．7．(2022·廣東揭西·九年級期末)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，3)，以原點(diǎn)O為位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形與△ABC的相似比為3：1，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_____．8．(2022·廣東花都·九年級期末)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△AOB縮小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比為，已知點(diǎn)A(3，6)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．9．(2021·遼寧·建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC邊上一點(diǎn)，將ABE沿著直線AE折疊，得到AFE，當(dāng)點(diǎn)F落到矩形的對角線上時，線段BE的長為________．10．(2021·廣西·臺州市書生中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動點(diǎn)且不與，重合，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，連接，當(dāng)垂直于的直角邊時，的長為__．11．(2021·浙江·杭州市豐潭中學(xué)二模)如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，點(diǎn)E是AD上一個動點(diǎn)，把△CDE沿CE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時(∠DCD'為銳角)，則cos∠DCD'＝__________________．12．(2021·全國·九年級單元測試)如圖，在中，，將繞點(diǎn)B按逆時針旋轉(zhuǎn)度()到，邊和邊相交于點(diǎn)P，邊和邊相交與點(diǎn)Q，當(dāng)為等腰三角形時，則______．13．(2022·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期末)如圖，中，，是斜邊上一個動點(diǎn)，把沿直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的處，當(dāng)平行于的直角邊時，的長為______．14．(2022·浙江寧波·八年級期末)如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜邊AB上一點(diǎn)(與點(diǎn)A，B不重合)，將△BCD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°到△ACE，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，若△AFD是等腰三角形，則AF的長為_____．15．(2022·浙江余姚·八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在直線：上，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．16．(2020·廣東·深圳市福田區(qū)第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－2)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，如果以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______．17．(2022·河南淇縣·八年級期末)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(D不與B、C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是__．18．(2022·河南·鄭州外國語中學(xué)九年級期末)如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個動點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，連接，則當(dāng)是直角三角形時，F(xiàn)D的長是______．19．(2021·浙江諸暨·八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的函數(shù)解析式為，點(diǎn)A在線段上且滿足，B點(diǎn)是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)是以O(shè)A為腰的等腰三角形時，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為______．備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練專題05填空題之分類討論思想【典型例題】1．(2022·江西九江·九年級期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BO上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△ACP為直角三角形時，則BP的長為______．【答案】或或【解析】【分析】分三種情況：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且點(diǎn)P在BO延長線上，③若∠APC=90°，且點(diǎn)P在線段BO上時，分別根據(jù)圖形計(jì)算即可．【詳解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，∴AO=1，BO=，①若∠ACP=90°時，∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB，∴△OCP≌△OAB，∴OP=BO，∴BP=OP+BO=2；②若∠APC=90°，且點(diǎn)P在BO延長線上時，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OP=AC=1，∴BP=OP+BO=；③若∠APC=90°，且點(diǎn)P在線段BO上時，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OP=AC=1，∴BP=BO-OP=；綜上，線段BP的長為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，分類討論是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】一、填空題1．(2022·廣東澄?！ぐ四昙壠谀?若△ABC的邊AB=6cm，周長為16cm，當(dāng)邊________時，△ABC為等腰三角形．【答案】6或5或4【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得答案.【詳解】解：△ABC的邊AB=6cm，周長為16cm，當(dāng)時，則符合三角形的三邊關(guān)系，當(dāng)時，則符合三角形的三邊關(guān)系，當(dāng)時，符合三角形的三邊關(guān)系，所以為6cm或5cm或4cm.故答案為：6或5或4【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.2．(2022·廣東花都·八年級期末)已知一個等腰三角形一腰與另一腰上高夾角為20°，則這個等腰三角形的頂角為_____°．【答案】70或110【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析，畫出圖形分兩種情況討論即可解決問題．【詳解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．故答案為：70或110．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩個定理是解決問題的關(guān)鍵．3．(2021·重慶·八年級期中)在平行四邊形中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為___．【答案】或【解析】【分析】結(jié)合已知條件利用三角形的內(nèi)角和定理可得出或，又因?yàn)椋瞥龅亩葦?shù)即可．【詳解】解：情形一：當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖所示，是邊上的高，，，，；情形二：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖所示，是邊上的高，，，，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．4．(2021·廣東順德·九年級期末)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC邊上的黃金分割點(diǎn)，則△ABD的面積為_____．【答案】5﹣或3﹣5【解析】【分析】過作于，先由等腰三角形的性質(zhì)得，由勾股定理求出，再求出的面積，然后由黃金分割的定義得或，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：，，，的面積，是邊上的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)時，，，的面積；當(dāng)時，，，，的面積；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金分割的定義和等腰三角形的性質(zhì)．5．(2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級期末)等腰△ABC，AB＝AC，底角為70°，BD將△ABC分成兩個三角形，當(dāng)這兩個三角形有一個是以BD為腰的等腰三角形時，則∠ADB的度數(shù)是_____．【答案】110°或100°【解析】【分析】根據(jù)題意，分量種情況討論①當(dāng)時，②若時，根據(jù)等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)求得的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，①當(dāng)時，②若時，如圖，綜上所述，∠ADB的度數(shù)是110°或100°【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．6．(2021·廣東越秀·一模)如圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到△ADE，若點(diǎn)C落在△ADE的邊上，則α的度數(shù)是__________．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在邊AD上，當(dāng)點(diǎn)C在邊DE上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出答案．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在邊AD上，如圖1，∵，∴，∵將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在邊DE上，∵將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴，∴，∴．綜合以上可得α的度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．7．(2022·廣東揭西·九年級期末)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，3)，以原點(diǎn)O為位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形與△ABC的相似比為3：1，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_____．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或進(jìn)行解答．【詳解】解：以原點(diǎn)為位似中心，把放大，使放大后的三角形與的相似比為，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：位似圖形與坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．8．(2022·廣東花都·九年級期末)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△AOB縮小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比為，已知點(diǎn)A(3，6)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．【答案】或【解析】【分析】由位似知共有兩種情況：情況①：由知如圖，作，垂足分別為，有，，證明，可得，進(jìn)而可知點(diǎn)坐標(biāo)，情況②：由位似可知，在位似中心O的左側(cè)仍存在，且此時的C點(diǎn)與情況①中的C點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，進(jìn)而可知C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由位似知共有兩種情況：情況①：由知如圖，作，垂足分別為∵∴，又∵∴∴∴∴點(diǎn)坐標(biāo)為；情況②：由位似可知，在位似中心O的左側(cè)仍存在，且此時的C點(diǎn)與情況①中的C點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱∴此時C點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述C點(diǎn)坐標(biāo)為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的點(diǎn)坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于對位似知識的熟練掌握．9．(2021·遼寧·建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC邊上一點(diǎn)，將ABE沿著直線AE折疊，得到AFE，當(dāng)點(diǎn)F落到矩形的對角線上時，線段BE的長為________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)F落在BD上時；當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時，即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，由勾股定理得：，如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BD上時，則AE⊥BD，∴∠BAE+∠ABD=90°，∵∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴，∴，即，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時，則AF=AB=3，EF=BE，設(shè)，則，，∵AC=5，∴CF=AC-AF=2，在中，，即，解得：，即．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．(2021·廣西·臺州市書生中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動點(diǎn)且不與，重合，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，連接，當(dāng)垂直于的直角邊時，的長為__．【答案】1或3【解析】【分析】先利用三角函數(shù)值和勾股定理求出AB=5，BC=3，然后進(jìn)行討論當(dāng)和時，利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，∠C=90°，，①如圖1中，當(dāng)時，設(shè)直線交于，由軸對稱的性質(zhì)可知，直線平分，∴平分，，∵AC⊥BC，，，，，；②當(dāng)于時，同法可證，綜上所述，滿足條件的的值為1或3．故答案為：1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想進(jìn)行求解．11．(2021·浙江·杭州市豐潭中學(xué)二模)如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，點(diǎn)E是AD上一個動點(diǎn)，把△CDE沿CE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時(∠DCD'為銳角)，則cos∠DCD'＝__________________．【答案】或或或【解析】【分析】根據(jù)D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時，分四種情況，分別考慮，當(dāng)D'落在∠BCD的平分線上，則∠DCD'=45°即可；當(dāng)D'落在∠D的平分線上，則∠DCD'=90°，不符合題意；當(dāng)D'落在∠ABC的平分線上，則∠D'BC=45°，當(dāng)D'落在∠BAD的平分線上，則∠DAG=45°，都是在Rt△CD'H中，利用勾股定理列出方程，即可求出答案．【詳解】解：如圖1，當(dāng)D'落在∠BCD的平分線上，則∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；當(dāng)D'落在∠D的平分線上，則∠DCD'＝90°，不符合題意，舍去；如圖2，當(dāng)D'落在∠ABC的平分線上，則∠D'BC＝45°，連接BD'，作D'H⊥BC于H，設(shè)D'H＝t，則BH＝t，CH＝8﹣t，在Rt△CD'H中，由勾股定理得：t2+(8﹣t)2＝62，解得：t＝4±，∵D'H⊥BC，CD⊥BC，∴∠DCD'＝∠CD'H，∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；如圖3，當(dāng)D'落在∠BAD的平分線上，則∠DAG＝45°，連接AD'，過D'作D'H⊥BC于H，延長HD'交AD于G，設(shè)D'G＝t，則AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，在Rt△CD'H中，由勾股定理得：(6﹣t)2+(8﹣t)2＝62，解得t1＝7+(不合題意，舍去)，t2＝7﹣，∴D'H＝6﹣t＝﹣1，∵D'H⊥BC，CD⊥BC，∴∠DCD'＝∠CD'H，∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，綜上所述：cos∠DCD'＝或或或．故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形函數(shù)等知識，運(yùn)用分類討論思想，分別畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．12．(2021·全國·九年級單元測試)如圖，在中，，將繞點(diǎn)B按逆時針旋轉(zhuǎn)度()到，邊和邊相交于點(diǎn)P，邊和邊相交與點(diǎn)Q，當(dāng)為等腰三角形時，則______．【答案】或．【解析】【分析】由題意過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到BP平分∠A'PC，再根據(jù)∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝(180°﹣∠C'PQ)＝90°﹣θ，分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可得到關(guān)于θ的方程，進(jìn)而得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，∴∠A′EB=∠ADB，由旋轉(zhuǎn)可得，A′B=AB，∠A′=∠A，在△A′BE和△ABD中△A′BE≌△ABD(AAS)，∴BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，∴∠BPQ＝(180°﹣∠C'PQ)＝90°﹣θ，分三種情況：①如圖所示，當(dāng)PB＝PQ時，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝40°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，∴90°﹣θ+2×(40°+θ)＝180°，解得θ＝；②如圖所示，當(dāng)BP＝BQ時，∠BPQ＝∠BQP，即90°﹣θ＝40°+θ，解得θ＝；③當(dāng)QP＝QB時，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，又∵∠BQP＝40°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2(90°﹣θ)+40°+θ＝220°＞180°(不合題意)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)邊上高相等，得出BP平分∠A'PC，解題時注意分類思想的運(yùn)用．13．(2022·江蘇·無錫市江南中學(xué)八年級期末)如圖，中，，是斜邊上一個動點(diǎn)，把沿直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的處，當(dāng)平行于的直角邊時，的長為______．【答案】或【解析】【分析】在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如圖1，當(dāng)A′D∥BC，設(shè)AD＝x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到結(jié)果，②如圖2，當(dāng)A′D∥AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．【詳解】解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如圖1，當(dāng)A′D∥BC，設(shè)AD＝x，∵把△ACD沿直線CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A′處，∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB，∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，∴x＋x＋1＝2，∴x＝2-，∴AD＝2-；②如圖2，當(dāng)A′D∥AC，∵把△ACD沿直線CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A′處，∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∵∠A′DC＝∠ACD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝，綜上所述：AD的長為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換?折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(2022·浙江寧波·八年級期末)如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜邊AB上一點(diǎn)(與點(diǎn)A，B不重合)，將△BCD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°到△ACE，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，若△AFD是等腰三角形，則AF的長為_____．【答案】或【解析】【分析】Rt△ABC中，AC=BC=1，所以∠CAB=∠B=45°，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，分兩種情況討論①AF=FD時，AF=AC=×1=；②AF=AD時，AF=．【詳解】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，∴∠CAB=∠B=45°，∵△BCD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°到△ACE，∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，①AF=FD時，∠FDA=∠FAD=45°，∴∠AFD=90°，∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，∵EC=CD，∴四邊形ADCE是正方形，∴AD=DC，∴AF=AC=×1=；②AF=AD時，∠ADF=∠AFD=67.5°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，∴BD=CB=1，∴AD=AB-BD=，∴AF=AD=，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確利用旋轉(zhuǎn)原理和直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．15．(2022·浙江余姚·八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在直線：上，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】或【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，根據(jù)，列出二元一次方程組，解方程組求解即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，,,依題意，設(shè)，則,,，解得如圖，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時，過點(diǎn)作軸，垂足為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得則,,，解得或或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解二元一次方程組，分類討論是解題的關(guān)鍵．16．(2020·廣東·深圳市福田區(qū)第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－2)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，如果以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______．【答案】(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論，①OA為等腰三角形底邊，②OA為等腰三角形一條腰，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)，A(2，－2)如圖：①OA為等腰三角形底邊，即解得符合條件的動點(diǎn)P有一個，即(2，0)；②OA為等腰三角形一條腰，當(dāng)時，即解得當(dāng)時，解得或(舍去)符合符合條件的動點(diǎn)P有三個即(－2，0)，(2，0)，(4，0)．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)．故答案為：(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；利用等腰三角形的判定來解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．17．(2022·河南淇縣·八年級期末)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(D不與B、C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是__．【答案】110°或80°【解析】【分析】分為三種情況：①當(dāng)AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，根據(jù)∠AED＞∠C，得出此時不符合；②當(dāng)DA＝DE時，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；③當(dāng)EA＝ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①當(dāng)AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此時不符合；②當(dāng)DA＝DE時，即∠DAE＝∠DEA＝(180°﹣40°)＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③當(dāng)EA＝ED時，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)是110°或80°，故答案為：110°或80°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．18．(2022·河南·鄭州外國語中學(xué)九年級期末)如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個動點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，連接，則當(dāng)是直角三角形時，F(xiàn)D的長是______．【答案】或【解析】【分析】分∠DA'F=90°和∠A'FD=90°兩種情況，再根據(jù)折疊的性質(zhì)加以分析即可；【詳解】在矩形ABCD中，，，∵將沿EF所在直線翻折，得到，∴如圖①所示，當(dāng)∠DA'F=90°時，∴.E，A'，D在同一直線上，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴在中，，∴，∵，∴∴，即∴如圖②所示，當(dāng)∠A'FD=90°∴，∵折疊∴∴∴∴綜上所述：或；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．19．(2021·浙江諸暨·八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的函數(shù)解析式為，點(diǎn)A在線段上且滿足，B點(diǎn)是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)是以O(shè)A為腰的等腰三角形時，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】或或【解析】【分析】根據(jù)y=-x+3可求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，作AF⊥x軸于點(diǎn)F，由AN=2AM可得，段可得AF=2AE，設(shè)A(x，-x+3)，得-x+3=2x，求出x的值，得點(diǎn)A坐標(biāo)，求出AO的長，再根據(jù)是以O(shè)A為腰的等腰三角形可得點(diǎn)B坐標(biāo)．【詳解】解：由令當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=3，∴M(0，3)，N(3，0)∴OM=ON=3過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，作AF⊥x軸于點(diǎn)F，∵AN=2AM∴∴AF=2AE，設(shè)A(x，-x+3)，∴-x+3=2x，解得，x=1，-x+3=2∴A(1，2)∴∵是以O(shè)A為腰的等腰三角形∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：或或故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等妥三角形的判斷，求出點(diǎn)A坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練專題06全等三角形旋轉(zhuǎn)模型【典型例題】1．(2021·遼寧·蓋州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)(不與A、C重合)，連結(jié)BP，將BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點(diǎn)E，QP延長線與邊AD交于點(diǎn)F．(1)連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；(2)若正方形的邊長為4，且PC＝3AP，求線段PQ的長．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2021·全國·八年級專題練習(xí))如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°2．(2020·廣東·深圳市龍崗區(qū)布吉中學(xué)八年級期中)在Rt△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)．∠GDH=90°，∠GDH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四邊形CEDF=S△ABC；④△DEF始終為等腰直角三角形．其中正確的是()A．①②④ B．①②③C．①③④ D．①②③④二、填空題3．(2021·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模)如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=4，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長的最小值為_____4．(2021·江蘇·九年級專題練習(xí))兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)a(0α90°)，如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖3)時，則△ABC的面積為____．三、解答題5．(2022·全國·八年級)在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線BC上(線段BC之外)移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．6．(2021·重慶九龍坡·八年級期中)如圖1，已知△ABC、△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，F(xiàn)在直線AC上，且FE＝EA，DE與AB相交于點(diǎn)G，連接BD、EF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，①求證：∠BAE＝∠BDE；②求證：BD＋CF＝BC．(2)如圖2，如果點(diǎn)E在線段BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出線段BD、CF、BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．7．(2021·山東青島·八年級單元測試)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；(2)猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；(3)拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．8．(2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)八年級階段練習(xí))(1)如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；(2)如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；(3)在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．9．(2021·江西興國·九年級期末)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．(3)探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．10．(2021·遼寧·沈陽市南昌中學(xué)(含：西校區(qū)、光榮中學(xué))八年級期中)在ABC和CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，如圖1將CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α≤90°)．(1)連接AD，BE．求證：AD＝BE，AD⊥BE；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，點(diǎn)A，D，E在一條直線上，連接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，則BD=；(3)當(dāng)α＝90°時，如圖3，連接AD，BE，延長AD交BE于點(diǎn)F，連接CF，若DF＝1．EF＝．則CF＝．11．(2021·山東中區(qū)·九年級期末)ABC為等邊三角形，AB＝8，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，連接EF、CE，分別取EF、CE的中點(diǎn)M、N，連接MN、DN．(1)如圖1，MN與DN的數(shù)量關(guān)系是，∠DNM＝；(2)如圖2，將AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，①當(dāng)0°＜α＜90°時，(1)中的結(jié)論是否依然成立？說明理由；②連接BN，在AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時，求ADN的面積．12．(2021·山西朔州·八年級期末)綜合與實(shí)踐問題情境：一次數(shù)學(xué)課上，老師出示了課本中的一道復(fù)習(xí)題：如圖，和都是等邊三角形，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接、．初步探究：(1)試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：四邊形是平行四邊形；深入探究：(3)如圖2，四邊形和四邊形都是正方形，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；拓展延伸：(4)如圖3，四邊形和四邊形都是菱形，，，是上一點(diǎn)，連接、，延長交于，若四邊形是平行四邊形，請直接寫出的長．13．(2021·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末)如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．(1)如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；(2)如圖2，若A、D、E三點(diǎn)共線，AE與BC交于點(diǎn)F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；(3)如圖3，BE與AC的延長線交于點(diǎn)G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點(diǎn)N，在BC上有一點(diǎn)M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．14．(2021·內(nèi)蒙古固陽·八年級期末)在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時，連接與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是________；(2)當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．(請結(jié)合圖2的情況予以證明或說理．)(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，連接，若，求四邊形的面積．15．(2021·吉林·長春市第四十五中學(xué)九年級階段練習(xí))感知：如圖①，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連結(jié)AE、CG，易證．(不需要證明)探究：將圖①中正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖②．連結(jié)AE、CG，證明：AE=CG．應(yīng)用：如圖③，正方形ABCD中，AD=3，點(diǎn)E在CB的延長線上，BE=1，DE=DF，∠EDF=90°．直接寫出點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離．16．(2021·廣東·汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級開學(xué)考試)如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求證：AD＝BE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練專題06全等三角形旋轉(zhuǎn)模型【典型例題】1．(2021·遼寧·蓋州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)(不與A、C重合)，連結(jié)BP，將BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點(diǎn)E，QP延長線與邊AD交于點(diǎn)F．(1)連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；(2)若正方形的邊長為4，且PC＝3AP，求線段PQ的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形可得，，，由圖形旋轉(zhuǎn)可得，，，從而可證，故；(2)如圖所示，由四邊形ABCD是正方形可得，，故是等腰直角三角形且，由勾股定理可得，，故，進(jìn)而推斷出，由勾股定理得，，再由勾股定理可得．【詳解】(1)如圖所示，過點(diǎn)P作交于M，由題意得：，，四邊形ABCD是正方形，，，，在與中，，，；(2)由(1)知：，，在中，，，，，四邊形ABCD是正方形，，交于M，，，，，在中，，，，，，在中，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．(2021·全國·八年級專題練習(xí))如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合)，連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計(jì)算出∠BEF的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問題．2．(2020·廣東·深圳市龍崗區(qū)布吉中學(xué)八年級期中)在Rt△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)．∠GDH=90°，∠GDH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四邊形CEDF=S△ABC；④△DEF始終為等腰直角三角形．其中正確的是()A．①②④ B．①②③C．①③④ D．①②③④【答案】D【解析】【分析】連接CD根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，進(jìn)而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出結(jié)論．【詳解】連接CD，∵AC=BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．∴∠ADE+∠EDC=90°，∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．∵AC=BC，∴AC-AE=BC-CF，∴CE=BF．∵AC=AE+CE，∴AC=AE+BF=．∵DE=DF，∠GDH=90°，∴△DEF始終為等腰直角三角形．∵CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2．∵S四邊形CEDF=S△EDC+S△EDF，∴S四邊形CEDF=S△EDC+S△ADE=S△ABC．∴正確的有①②③④．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是證明△ADE≌△CDF．二、填空題3．(2021·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模)如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=4，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長的最小值為_____【答案】．【解析】【分析】連接DO，將線段DO繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，證明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝4，由條件可得OM＝，根據(jù)OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【詳解】解：如圖，連接DO，將線段DO繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM＝OE＝4，∵正方形ABCD中，AB＝，O是BC邊的中點(diǎn)，∴OC＝，∴OD＝＝10，∴OM＝＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥，∴線段OF長的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間距離，熟練掌握并準(zhǔn)確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．(2021·江蘇·九年級專題練習(xí))兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)a(0α90°)，如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖3)時，則△ABC的面積為____．【答案】30【解析】【分析】設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證△AOC≌△BOD，進(jìn)而得出△ABC是直角三角形，設(shè)AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計(jì)算△ABC的面積即可．【詳解】解：設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．三、解答題5．(2022·全國·八年級)在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線BC上(線段BC之外)移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)90；(2)，見解析；②或【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；(2)①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，，∵，∴，在和中∴，∴(2)或．理由：①∵，∴．即．在和中，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②如圖：∵，∴．即．在和中，∴．∴．∵，，，．綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動，α+β＝180°或α＝β．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是關(guān)鍵．6．(2021·重慶九龍坡·八年級期中)如圖1，已知△ABC、△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，F(xiàn)在直線AC上，且FE＝EA，DE與AB相交于點(diǎn)G，連接BD、EF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，①求證：∠BAE＝∠BDE；②求證：BD＋CF＝BC．(2)如圖2，如果點(diǎn)E在線段BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出線段BD、CF、BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)CF＝BC+BD，理由見解析【解析】【分析】(1)①先證明得到,得到，從而證得∠BAE＝∠BDE；②結(jié)合，得到，繼而證明，得到，結(jié)合圖形即可得到BD＋CF＝BC；(2)先證，得到，繼而證明，得到，結(jié)合圖形即可得到CF＝BC+BD；【詳解】解：①∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴=DE，,∴，∴，∴，∴，∵∴∠BAE＝∠BDE②∵,∴，∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60o+60o=120o,又∠ECF＝180o-∠ACB=180o-60o=120o,∴∠DBE=∠ECF∵FE＝EA∴∠EAC=∠EFA∴又，而∴∴∠EFA=∠BED又∵FE＝EA=DE∴∴,∴(2)，簡證如下：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，同理可得：，得到，，由，得到，又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴又，而，∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(2021·山東青島·八年級單元測試)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；(2)猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；(3)拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】(1)AB⊥BE，AB＝BD+BE；(2)圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；(3)72或2【解析】【分析】(1)首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；(2)仿照(1)中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(3)首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：(1)如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．(2)①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．(3)如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．8．(2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)八年級階段練習(xí))(1)如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；(2)如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；(3)在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，【解析】【分析】(1)延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．從而得出EF=GE；(2)思路和作輔助線的方法同(1)；(3)根據(jù)(1)的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【詳解】(1)延長至，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴≌，∴，∵，∴．故答案為：()()中的結(jié)論仍成立，證明：延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．()，證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.9．(2021·江西興國·九年級期末)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．(3)探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．【答案】(1)①60；②AD＝BE；(2)a2＋b2＝c2；(3)60°或120°【解析】【分析】(1)由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；(2)由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；(3)由(1)知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．【詳解】解：(1)①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案為：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；(2)∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；(3)如圖3，由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如圖4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．10．(2021·遼寧·沈陽市南昌中學(xué)(含：西校區(qū)、光榮中學(xué))八年級期中)在ABC和CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，如圖1將CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α≤90°)．(1)連接AD，BE．求證：AD＝BE，AD⊥BE；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，點(diǎn)A，D，E在一條直線上，連接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，則BD=；(3)當(dāng)α＝90°時，如圖3，連接AD，BE，延長AD交BE于點(diǎn)F，連接CF，若DF＝1．EF＝．則CF＝．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】【分析】(1)如圖1中，延長AD交BE的延長線于T，設(shè)AT交BC于J．證明△ACD≌△BCE(SAS)，推出AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，可得結(jié)論．(2)利用勾股定理求出DE，再根據(jù)BE＝AD＝2，AE⊥BE，利用勾股定理求出BD即可．(3)如圖3中，過點(diǎn)C作CP⊥BE于P，CQ⊥AF于Q．證明四邊形QCPF是正方形，求出PF的長，可得結(jié)論．【詳解】(1)證明：如圖1中，延長AD交BE的延長線于T，設(shè)AT交BC于J．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠CJA＝∠BJT，∴∠BTJ＝∠ACJ＝90°，∴AD⊥BE．(2)解：如圖2中，∵CD＝CE＝1，∠DCE＝90°，∴DE＝，∵AD＝BE＝2，∠AEB＝90°，∴BD＝．故答案為：．(3)如圖3中，過點(diǎn)C作CP⊥BE于P，CQ⊥AF于Q．∵△ACD≌△BCE，CQ⊥AD，CP⊥BE，∴CQ＝CP，∴CF平分∠AFE，∵∠AFE＝90°，∴∠CFP＝∠CFQ＝45°，∵∠CPF＝∠CQF＝90°，∴QC＝QF＝CP＝PF，∴四邊形QCPF是菱形，∵∠PFQ＝90°，∴四邊形QCPF是正方形，∵∠DCE＝∠QCP＝90°，∴∠QCD＝∠PCE，在Rt△CQD和Rt△CPE中，，∴Rt△CQD≌Rt△CPE(HL)，∴DQ＝PE，∴DF+EF＝FQ﹣DQ+PF+PE＝2PF＝1+，∴PF＝，∴CF＝PF＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)與幾何圖形綜合題，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識點(diǎn)，綜合的推理能力是解題的關(guān)鍵．11．(2021·山東中區(qū)·九年級期末)ABC為等邊三角形，AB＝8，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，連接EF、CE，分別取EF、CE的中點(diǎn)M、N，連接MN、DN．(1)如圖1，MN與DN的數(shù)量關(guān)系是，∠DNM＝；(2)如圖2，將AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，①當(dāng)0°＜α＜90°時，(1)中的結(jié)論是否依然成立？說明理由；②連接BN，在AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時，求ADN的面積．【答案】(1)MN＝DN，120°；(2)①成立，見解析；②4+6【解析】【分析】(1)利用三角形中位線定理以及等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．(2)①如圖2中，連接BE，CF，延長BE交CF的延長線于點(diǎn)T．證明△BAE≌△CAF(SAS)，可得結(jié)論．②當(dāng)點(diǎn)N在BJ的延長線上時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，設(shè)BJ交AD于K，連接AN．想辦法求出AD，NH即可解決問題．【詳解】解：(1)如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵EM＝MF，EN＝NC，BD＝DC，∴MN∥FC，DN∥BE，MN＝CF，DN＝BE，∵AE＝EB，AF＝CF，∴BE＝CF，EF＝BC＝AC＝CF，∴MN＝DN，∵CA＝CB，AE＝BE，∴CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×60°＝30°，∴∠CEB＝90°，∵DN∥BE，MN∥CF，∴∠END＝90°，∠ENM＝∠ECF＝30°，∴∠DNM＝90°+30°＝120°．故答案為：MN＝DN，120°．(2)①成立．理由：如圖2中，連接BE，CF，延長BE交CF的延長線于點(diǎn)T，設(shè)AF交BT于點(diǎn)O．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COT，∴∠T＝∠BAO＝60°，∴∠EBC+∠TCB＝120°，∵EM＝MF，EN＝NC，BD＝DC，∴MN∥FC，DN∥BE，MN＝CF，DN＝BE，∴MN＝DN，∠NDC＝∠EBC，∠ENM＝∠ECT，∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠DCN+∠ECF＝∠TBC+∠TCB＝120°．②(3)如圖3﹣1中，取AC的中點(diǎn)，連接BJ，BN．∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝AE＝，∵BJ＝AD＝2，∴BN≤BJ+JN，∴BN≤4+2，∴當(dāng)點(diǎn)N在BJ的延長線上時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，設(shè)BJ交AD于K，連接AN．∵KJ＝AJ?tan30°＝，JN＝2，∴KN＝+2，在Rt△HKN中，∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，∴HN＝NK?sin60°＝(+2)×＝2+，∴S△ADN＝?AD?NH＝×4×(2+)＝4+6．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．12．(2021·山西朔州·八年級期末)綜合與實(shí)踐問題情境：一次數(shù)學(xué)課上，老師出示了課本中的一道復(fù)習(xí)題：如圖，和都是等邊三角形，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接、．初步探究：(1)試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：四邊形是平行四邊形；深入探究：(3)如圖2，四邊形和四邊形都是正方形，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；拓展延伸：(4)如圖3，四邊形和四邊形都是菱形，，，是上一點(diǎn)，連接、，延長交于，若四邊形是平行四邊形，請直接寫出的長．【答案】(1)；見解析；(2)見解析；(3)平行四邊形，見解析；(4)【解析】【分析】(1)利用等邊三角形性質(zhì)證明即可得出結(jié)論；(2)全等三角形和等邊三角形性質(zhì)可證且，再根據(jù)一組對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形即可解答；(3)根據(jù)正方形性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，即可解答；(4)由，證明，進(jìn)而可證，從而可得是等腰直角三角形，從而求出．【詳解】解：(1)．理由如下：∵與均為等邊三角形，∴，．又∵，∴．∴．(2)由①知．∴，．又∵，，∴，．∴且．∴四邊形為平行四邊形．(3)四邊形為平行四邊形．理由如下：∵四邊形與四邊形均為正方形∴，．∵，∴．∴，．∵在中，，同理，，∴．∴．又∵，∴．∴四邊形為平行四邊形．(4)．過程如下：∵在菱形中，，∴，又∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，即：，又∵四邊形和四邊形都是菱形，∴，，∴∴，∴，，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)綜合題，主要考查了全等三角形判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、以及正三角形、正方形、菱形等圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是關(guān)鍵特殊多邊形性質(zhì)通過特殊角度的計(jì)算得出角相等，由此證明三角形全等．13．(2021·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末)如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．(1)如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；(2)如圖2，若A、D、E三點(diǎn)共線，AE與BC交于點(diǎn)F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；(3)如圖3，BE與AC的延長線交于點(diǎn)G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點(diǎn)N，在BC上有一點(diǎn)M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】(1)27；(2)；(3)BG=MN+CN，證明見解析．【解析】【分析】(1)證明△ACD≌△BCE得∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACD，由三角形內(nèi)角和定理可解決問題；(2)過C作CG⊥DE于點(diǎn)G，由()1)可證△ACD≌△BCE得BE=AD=3，證明△CGF≌△BEF得CG=3，EF=，根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出結(jié)果；(3)過點(diǎn)C作CF//AB交BG于點(diǎn)F，證明四邊形CNBF是平行四邊形得CN=BF，CF=BN，證明得GF=MN，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∵,∴△ACD≌△BCE∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28°∵∠DCB=10°∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-10°=80°∴∠BCE=80°∴∠CEB=180°-∠CBE-∠BCE=72°∴∠DEB=∠C