2023-2024學(xué)年河北省定州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省定州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.拋物線丫=4必的焦點坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(-1,0)

C.(θ,-?)D.(0,—)

IoIo

【正確答案】D

【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其焦點坐標(biāo)

【詳解】解：由丫=4/，得χz=gy,

所以拋物線的焦點在)'軸的正半軸上，且2〃=9，

所以勺/

所以焦點坐標(biāo)為(OJ),

16

故選：D

2."4=±1"是“直線x+y=O和直線x-∕y=O垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)兩直線垂直與斜率之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】當(dāng)α=±ι時，兩條直線的方程為χ+y=o和χ-y=o,

斜率分別為-1］，則-Ixl=T,所以兩直線垂直，

當(dāng)直線x+y=O和直線X-Yy=O垂直時，一lx±=-l,解得α=±l,

a

所以“α=±1"是“直線x+y=。和直線x-∕y=O垂直”的充要條件，

故選:C.

3.數(shù)列｛αj,｝滿足4+I=I-T^("eN"),且a∣=2,則々022的值為()

A.2B.1C.?D.-1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到/叱=%，即可求解.

【詳解】解：由題意，數(shù)列白，”｝滿足《川=1-：(〃€曠)，且q=2,

可得見=；，4=T，4=2,4=g',

可得數(shù)列｛%｝是以2,g,-l三項為周期的周期數(shù)列，

所以?2022=?673x3+3=%=T.

故選：D.

4.圓(x+2f+(y-12)2=4關(guān)于直線x-y+4=0對稱的圓的方程為()

A.(x+6)2+(y+4)2=4B.(x+8)2+(y+2)2=4

C.(x-8)2+(y-2)2=4D.(x-6)2+(y-4)2=4

【正確答案】C

【分析】求圓心關(guān)于直線對稱得到的圓心，列方程組可求解，從而可確定對稱圓的方程.

【詳解】設(shè)圓(％+2)2+(尸12『=4的圓心(-2,12)

關(guān)于直線χ-y+4=o對稱的點為(。㈤，

b-?2,

-------=-1

a+^,整理得cι+b=10Q=8

則有，

a-2ft+124八h=2

-----------------+4=0

I22

因為關(guān)于直線對稱的兩個圓半徑相等，所以所求圓的半徑為2,

所以所求圓方程為(x-8y+(y-2)2=4,

故選:C.

5.2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計時，盡顯中國人之浪漫.倒計時依次

為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、

小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏

至的日影長等量減少，若冬至、立冬、秋分三個節(jié)氣的日影長之和為31.5寸，問大雪、寒

露的日影長之和為()

A.21寸B.20.5寸C.20寸D.19.5寸

【正確答案】A

【分析】由題意可得日影長可構(gòu)成等差數(shù)列｛q｝,且4+4+%=31?5可求出44,從而可求

出大雪、寒露的日影長之和為2+4=2。4.

【詳解】因為從冬至到夏至的日影長等量減少，

所以日影長可構(gòu)成等差數(shù)列｛%｝,

因為冬至、立冬、秋分三個節(jié)氣的日影長之和為31.5,

所以4+%+%=31.5,則3,=31.5,得g=10.5,

所以大雪、寒露的日影長之和為4+4=2%=2x10.5=21（寸），

故選：A

6.在以下命題中：

①三個非零向量α,b，C不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，C共面；

②若兩個非零向量",力與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則0,b共線；

ULUltillUUUUlUUUU

③對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,若OP=20A-2OB-2OC，則P，A,B,

C四點共面

④若α,h是兩個不共線的向量，且C=2α+"b（4"∈R,4"Hθ）,則｛“1,c｝構(gòu)成空間的一

個基底

⑤若｛4∕,c｝為空間的一個基底，則｛〃+附+c+20,c+α｝構(gòu)成空間的另一個基底；其中真命

題的個數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

【正確答案】D

【分析】直接利用空間基底，共面向量，共線向量的基礎(chǔ)知識的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底.

①根據(jù)空間基底的定義，三個非零向量”,b,C不能構(gòu)成空間的一個基底，則“，b,C共

面；故命題①正確.

②由空間基底的定義，若兩個非零向量α,人與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，

則α,6共線，若α,匕不共線，則α,b共面，一定有向量與4,6不共面；故命題②正確.

③對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,當(dāng)群=2〃-那-雕■時，若尸，A,

B,C四點共面，則4P=/MB+〃AC,OP-OA=λ(θB-OA^+μ(θC-OA),

'?-λ-μ=2

OP=(?-λ-μ)OA+λOB+μOC,?λ=-2,方程組無解，故P,A,B,C四點不共

、〃=-2

面；故命題③錯誤.

④若“，％是兩個不共線的向量，且c=/la+〃b(Z〃eR4〃H0),則向量C與α,b構(gòu)成共面

向量，｛α,"c｝不能構(gòu)成空間的一個基底；故命題④錯誤.

⑤利用反證法：若｛α+6,b+c,c+α｝不能構(gòu)成空間的一個基底，則這三個向量共面，

?*βy?-j?

設(shè)“+Z>=x(6+c)+y(c+α)(x,yeR),當(dāng)x+y=O,d與b共線，?x+y≠0,=—^-a+—^-b,

都有0,b,c共面，由于｛α,5,c｝為空間的一個基底,得出矛盾，所以｛α+A,6+c,c+α｝能夠成

空間的一個基底，故命題⑤正確.

真命題有3個.

故選：D

7.足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，"鞠''最早系外包皮革、內(nèi)

飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，已知某“鞠”的表面上有四個點

2

P,A,β,C,滿足以=2,24_1面48。，ACLBC,^VP,ABC=-,則該“鞠”的體積的最小

值為()

.4√28√2?9n9

A.------TiBd.-----7tC.—TtD.二"兀

3328

【正確答案】B

【分析】作出輔助線，找到球心的位置，得到PB為球的直徑，推導(dǎo)出要想該“鞠”的體積最

小，只需AB最小，由匕Y8C=：得到AC?3C=2,結(jié)合基本不等式，求出A8最小值，從而

得到直徑最小值，求出體積最小值.

【詳解】因為R4=2,P4_L面ABC,ACBC,

故AB為三角形AgC所在小圓的直徑，取A3中點O',過O'作O'O∕∕AP,交3P于點0,

則。即為球心，PB為球的直徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，由于昨占牙+6=〃+Μ，

故只需A8最小，其中AB=JAC?+BC?，

1I12

^VP-ABC=^-ABC?PA=-×-ACBC×2=-,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2≥2AC?BC=4,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=應(yīng)時，等號成立,

故AB最小值為2,此時直徑最小值為PB=√4+22=2√2，

所以該“鞠”的體積最小值為3兀(&『=半π.

解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注

意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂

點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角

三角形，利用勾股定理求得球的半徑.

8.如圖，F(xiàn)1,工分別是雙曲線，?-g=l(α>0,6>0)的左、右焦點，點P是雙曲線與圓

一1

f+y2=∕+b2在第二象限的一個交點，點。在雙曲線上，且耳p=]5Q,則雙曲線的離心

A.—B.√2C.√3D.—

23

【正確答案】D

【分析】連接PGQK,設(shè)Nw用=。,設(shè)IP4=〃，由題意推得可，尸占可得

n2=2b2-2an,根據(jù)-P=；乙。,可得I用Ql=2",在在中，由余弦定理推得

b2=2an-n2,從而求得。=]〃,b=瓜,可得C=姮〃，進而求得雙曲線離心率.

22

【詳解】由題意知陽周=知,C=JJ+1,連接PGQJ設(shè)NPKE=。,設(shè)IP用=〃，

由雙曲線的定義可得I尸國=2α+”,

點P是雙曲線與圓V+V=/+//在第二象限的一個交點，

22

可得PKjLP鳥,則〃2+（2。+〃）2=牝2,BPn=2b-2an,

Yl

在RfFIPK中，cosZPFF=cosθ-—,

122c

由耳尸=BK。,則I乃Ql=2”,由雙曲線的定義可得內(nèi)a=2a+2",

因為月P=g∕^Q,故4尸〃K。，所以NQEE=π-J,

n

在△匕居。中，CosNQgfj=-Cose=-----,

2c

由余弦定理可得：10"F=I。亮F+1FEF-21I?16亮ICOSZQF2F1,

即(2α+2")2=(2〃)2+Re)?-2?2〃?2c?(-g),所以從=2即—〃2,

2c

3

結(jié)合〃2=2〃-，可得a=^n,b=?[in,

所以<?=/+/=與2，故C=@1〃

42

所以雙曲線的離心率為e,則e=￡=V-=M'，

a，3

2

故選；D

方法點睛：求解雙曲線的離心率問題，一般是要推出C之間的關(guān)系式，即可求得離心率,

本題中，結(jié)合題意連接片,設(shè)NWE=O,設(shè)|P￡|=〃，利用圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦

定理，逐步求得，6=&〃，則問題得解.

9.如果AB>O,BC>O,那么直線4v+By+C=O經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】B

【分析】分A>0,8>0,C>0,A<0,B<0,C<0兩種情況，得到直線所過象限，得到答案.

【詳解】AB>0,BC>0,若A>O,B>O,C>O,則Ar+8y+C=。經(jīng)過第一、二、三象限:

若A<0,8<0,C<0,則Ar+3y+C=O經(jīng)過第二、三、四象限，

綜上：直線4?+3y+c=o一定經(jīng)過第二象限.

故選：B

二、多選題

10.等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S,,,若q>0,公差d<0,貝U()

A.若邑>\,則與<0B.若J=Sg,則Sf是S“中最大的項

C.若S，>S6，貝∣JS4>S5D.若S3>54,貝∣JS4>S5

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)S4>縱可推得％+%<。，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前〃項和公式，可判斷A；

由其=既可推出％+%=。，進而判斷%>0,α7<θ，則“<0，即可判斷B；由S5>S6可

得4<0,d<0,a5=ab-d,無法判斷％的正負(fù)，可判斷C；由S3>S4推出4<0,1<(),

則%=4+1<0,由此判斷D.

【詳解】由S,>Sii,得$8-54=%+%+%+4=2(4+%)<0，

所以4+%?。，

則兀=摟3；%)=6(4+%)<0,A正確;

因為邑=Sti,

所以Sli-S4=%+4+%+%=2(4+%)=O，即4+。7=0，

因為q>0,d≠0,

所以4>0,?7<0,則d<(),等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

則則臬是S“中最大的項，B正確；

若Ss>Sfi,則4-S5<O,即4<0，

因為4>0,d≠0,則d<0,故α5=4-d,無法判斷處的正負(fù)，

故邑=S4+%,不能判斷S4>反，C錯誤；

因為S3>S4,所以S4-S3=/<0,

因為“∣>0,d≠0,所以d<0,則為=%+d<0,

則S5=S4+a5<S4,D正確,

故選：ABD

11.如圖，正方體ABeQ-A由G。的棱長為1,則下列四個命題正確的是()

TrTT

A.兩條異面直線DTC和BC1所成的角為:B.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于;

34

C.點。到面ACQ的距離為GD.三棱柱AAA-BBC外接球半徑為走

2

【正確答案】ABD

【分析】證明BG//AR,求出ARC即可判斷A項；可證80，平面4BG"，則直線BC與

平面48G，所成的角為NC8G，即可判斷B項：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換=%ic"，即可求

點。到面AC。的距離，進而判斷C項；三棱柱A4,R-B3C∣的外接球即為正方體

ABCD-ABCR的外接球，直接求正方體外接球的半徑即可判斷D項.

【詳解】對于A項，如圖1,連接AC、CD1

因為A3〃GA且/W=GA,則四邊形ABGR為平行四邊形，BC1MD1,

所以異面直線RC和Ba所成的角的大小即等于直線D1C和AD1所成的角ZAD1C的大小.

又AC=AD?=D∣C=O,則AACR為正三角形，即NAz)C=故A正確；

對于B項，如圖2,連接B∣C.在正方形BBCC中，SC1IB1C.

因為AB/平面BgCC,BcU平面BBeC,所以

又ABlBG=B,ABU平面ABCa,86匚平面480口，

所以8C，平面A8G2?

所以，直線BC與平面ABCa所成的角為NCBG=故B正確;

對于C項，如圖1,設(shè)點。到面ACR的距離為從因為ZXACR為正三角形，所以

Sv,S=LXACXARSiT=且又S"CD=∣×AD×CD=1.根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：

23222

^D-ACDi~^Di-Λcυ>即Qx〃xS.口=QXDAXSAC0,即'x〃x=JXIXL所以〃=亭,故C

3?3232

項錯誤；

對于D項，三棱柱AAa-88G的外接球即為正方體ABC。-ABCQ的外接球，

則外接球的半徑即為正方體ABCO-AAGD體對角線的一半，即R=*,故D項正確.

故選：ABD.

12.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號"，從此我國開

始了人造衛(wèi)星的新篇章，人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律.衛(wèi)星在以地球

為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，

即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是[α-c,α+c]

B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間

C.衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小

D.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越圓

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)橢圓的定義以及兒何性質(zhì)，結(jié)合題意依次判斷每個選項，可得答案.

【詳解】A選項：根據(jù)橢圓的定義可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點到右焦點的距離，

所以最小值為α^^c,最大值為α+c,所以A正確；

B選項：因為運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，

所以衛(wèi)星運行速度在近地點時向徑越小，在遠地點時向徑越大，

衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間，內(nèi)掃過的面積相等，

則向徑越大，速度越小，衛(wèi)星在左半橢圓弧運動時向徑大于在右半橢圓弧運動時的向徑,

所以衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，故B正確；

C選項：因為衛(wèi)星運行速度是變化的，所以衛(wèi)星運行速度在近地點時向徑越小，

在遠地點時向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等,

根據(jù)面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，

在遠地點時向徑最大，故速度最小，故C正確；

D選項：設(shè)e為橢圓得離心率，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，

即一-=—=—越小，則e越大，橢圓越扁，故D不正確，

a+c?+eι+e

故選：ABC.

三、填空題

13.在三棱錐O-A8C中，OA,0B,OC兩兩垂直，OA=3,03=4,OC=5,。是A8的

中點，E為OC的中點，則OE與平面OAB所成的角的正切值為.

【正確答案】1

【分析】利用空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和直線的方向向量，求線面夾角的正弦值即

可求解.

因為。4,0B,。C兩兩垂直，所以以04,08,0C為X，％z軸建系如圖,

所以。(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),0(：,2,0),E(0,0,|),

22

OE=(-g,-2,2),因為OCJ■平面OA8,

22

所以O(shè)C=(0,0,5)為平面OAB的一個法向量，

設(shè)Z）E與平面所成的角為0,

25

DEOC2______λ∕2

所以Sine=∣cos<DE,OC>|=

DE^OC∣9.25J2

'-+4+——×5

44

TrTr

因為e∈0,7,所以。=:，所以ta∏e=l,

故答案為:1.

14.數(shù)列｛4｝中,若4=1,4+ι=〃;萬4，貝!∣4o=-

【正確答案】?

【分析】利用累乘法求得｛%｝的通項公式即可求解.

Qzn

【詳解】由q田=Tn4可得=R,

n+2ann+2

ιa2a,a.an123n-?1×22

“4a2a3an_1345∕ι+ln(n+1)n(n+1)*

L?23n-?1×22

Wrpl-=-×-×-××-----=---------=---------.

4345w+1n(n+1)∕ι(n+1)

221

因為4=1,所以4=/，所以4。=ICIl=W

∏(∏+1)IOxll55

故答案為:

22

15.已知橢圓C:二+±=1的左焦點為F,A,8是C上關(guān)于原點對稱的兩點，且

259

NAf8=90。，則三角形A3尸的周長為.

【正確答案】18

【分析】設(shè)橢圓右焦點為F',連接AF',根據(jù)橢圓的對稱性可得18FI=IA尸'1,由ZAF3=90。可

得∣A8∣=2c=8,結(jié)合橢圓定義，即可求得答案。

【詳解】由題意C:工+匕=1的半長軸4=5,半焦距c=0ΓW=4,

259

如圖示，設(shè)橢圓右焦點為F',連接4尸'，

由于AB是C上關(guān)于原點對稱的兩點，則IBFI=IA臼，

因為NAAB=90。，。為A8的中點，故IABl=2c=8,

而IA尸I+∣BFI=IAF∣+∣AF'I=2a=10,

故三角形ABF的周長為IAFI+∣BF∣+IAB1=10+8=18,

故18

16.已知函數(shù)/(χ)=二Ξ[+2的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線y=l的對稱點

在y=-丘+1的圖象上，則實數(shù)&的取值范圍是.

【正確答案】

【分析】變形后得到y(tǒng)=M二班+2表示的圖象為以M(2,2)為圓心，1為半徑的上半圓,

則y=球+2關(guān)于直線V=I的對稱圖象也是一個半圓，圓心為N(2,0),半徑1,畫

出圖象，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)直線斜率位于直線A8與直線AC之間(含原8,不含心C)時，

滿足要求，求出的B，3c，得到不等式，求出實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】y=y∣?-(x-2^+2≥2,變形得到(x-2)2+(y-2)2=l,

故y=Jl_(x_2『+2表示的圖象為以M(2,2)為圓心,1為半徑的上半圓，

則y=Ji石工尸+2關(guān)于直線V=I的對稱圖象也是一個半圓，圓心為N(2,0),半徑為1,

且該圓與X軸交于3(l,0),Q(3,0)兩點，

如圖所示：直線y=-丘+1恒過點4(0,1),

設(shè)直線y=-履+1與半圓N相切時，切點為C,

故當(dāng)直線斜率位于直線A8與直線AC之間(含心"，不含砥C)時，滿足函數(shù)

〃x)=Jl-(X-2)2+2的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線y=ι的對稱點在

y=—丘+1的圖象上，

1-0∣2m+l∣

其中％AB=H=T,設(shè)直線AC:y=mx+l,則鼻」=1,

0—1√^n^^+1

4

解得：加=-§或0(舍去)，

故一左∈(-*-l,解得：?∈L：)，

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且$8=100,々=5,設(shè)數(shù)列低｝的前〃項和為

n+

Pιι=2'-2.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

(2)設(shè)％=anbn,數(shù)歹!|｛%｝的前,項和為7；.

【正確答案】⑴％=3〃-1,2=2"；

(2)7；,=(3Λ-4)72n+l8.

【分析】(1)求得數(shù)列也｝的公差，由此求得凡.利用H=K-Ii求得力；

(2)由(1)可求得c,,=(3/7)?2",寫出Trl與2],作差化簡即可求得7；.

【詳解】(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d?

8x7

I-用?=8a+——t/=8a+28^=100…fq=2

由已知可得＜，2I，解得〈j?,

JUd=3

a2=a1+a=51

所以q,=4+(n-l)t∕=3n-l.

由g=2"'-2,令〃=1得4=22-2=2,

P=2向-2

當(dāng)〃22時，尸'=2"-2'兩式相減得"=2"，

顯然々=2'=2也符合上式，

所以a=2".

(2)解：由⑴知q=αΛ,=(3"T)?2".

7；,=2-2'+5-22+?+(3n-l)?2?

27；,=2-22+5-23++(3n-l)?2,,+l,

兩式作差得：

23

-^=4+3×2+3×2++3x2"-(3"-l)?2"T=z∣I3X2?x(l-2"')二向

1-2`,

=(4-3n)?2,,+1-8,

所以，7；,=(3n-4)72n+l8.

18.己知ABC的頂點B(3,2),AB邊上的高所在的直線方程為x-2y-5=0.

(1)求直線A8的方程；

(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中.

①角A的平分線所在直線方程為x+2y-13=O

②BC邊上的中線所在的直線方程為2x-y-I2=0

,求直線AC的方程.

【正確答案】(l)2x+y-8=0

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)AB邊上的高所在的直線方程，可求得直線AB的斜率，可得答案；

(2)選①，先求出點4坐標(biāo)，再求得點B關(guān)于角A的平分線的對稱點坐標(biāo)，該對稱點一定

在直線AC上，由此可求得直線AC的方程；

選②，聯(lián)立方程，先求出點A坐標(biāo)，根據(jù)BC邊上的中線所在的直線方程，求出點C坐標(biāo)滿

足2x-y-20=0,聯(lián)立方程求出C點坐標(biāo)，即可求得直線AC的方程.

【詳解】(1)因為AB邊上的高所在的直線方程為x-2y-5=0,

所以直線AB的斜率為Z=-2,

又因為ABC的頂點B(3,2),

所以直線AB的方程為：y-2=-2(x-3),即2x+y-8=0；

(2)若選①，角A的平分線所在直線方程為x+2y-13=0,

2x+y-8=0,解得廠=1,所以點A坐標(biāo)為A(l,6),

x+2y-13=0Iy=6

設(shè)點B關(guān)于x+2y-13=0的對稱點為Zr(Xo,%),

AZ2=2

27一

?-5

則IXI)-3,解得.

弘

%-一

?±212×At2-i3=05

I2+2

2734

即？坐標(biāo)為(丁,二)，

34乙

——-()

又點8'(3鄉(xiāng)在直線AC上，所以L=2―一，

55--\11

5

2

所以直線AC的方程為y—6=1(x-l),即2x-lly+64=0.

若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為2x-)-12=0,

2x-y-12=0’='，所以點A(5,-2),

由2f。,解得

7=-2

設(shè)點C(5,y),則BC的中點在直線2x-y-12=0上,

所以2x券一空40,

即2%-%-20=0,所以點C在直線2x-y—20=0上,

2x-y-20=0

又點C在直線x-2y-5=0上,聯(lián)立

x-2y-5=0

35

X---

解得1θ,即得烤,學(xué)，

lθ÷244

所以砥C=噌一=￡，所以直線AC的方程為y+2=^(x-5),

--5??

3

即直線AC的方程為4x-5y-30=0.

19.已知圓C1:廠+V=1()與圓Q：尸+y2+2x+2y-7=0

(1)求證：圓Cl與圓C?相交；

(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；

(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵2x+2y+3=O

(3)X2+√-6X-6>'-19=0

【分析】(1)根據(jù)圓G與圓G圓心距與兩半徑關(guān)系證明；

(2)兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程；

(3)設(shè)出經(jīng)過兩圓交點的圓系方程，圓心坐標(biāo)代入所在直線即可求解.

【詳解】(1)圓G4+y2=ιo,圓心坐標(biāo)為G(0,0),半徑/=，而，

圓。2：/+y2+2》+2丫-7=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(犬+1)2+()，+1)2=9,圓心坐標(biāo)為Cz(T,T),

半徑々=3,

圓心距IeGl=Jl2+『=夜,IL引<m<A+u所以圓G與圓Cz相交.

(2)兩圓方程相減，得2x+2y+3=0,所以兩圓公共弦所在直線的方程為2x+2y+3=0.

(3)設(shè)所求圓的方程為χ2+y2+2x+2y-7+4(χ2+y2-10)=0(4*-l),即

(1+Λ)X2+(1+Λ)y2+2x+2y-7-10λ=0,圓心坐標(biāo)為代入直線

I1+Λ1+Λ/

114

x+y-6=0可得一匕_匕_6=0,解得/l=_g,所求圓的方程為d+y2_6x_6y_19=0

?+Λ1÷?3

20.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，4=4,S“—〃=gm+2),(“eN)

⑴求數(shù)列｛4,｝的通項公式4和前〃項和S,■

(2)設(shè)a=(s“+；)%JZeN)數(shù)歹IJ｛?ι｝的前〃項和記為7；,證明：7；,<!,(neN*)

4,∕ι=2?-l

【正確答案】⑴%=α∈N*);Λ∈N*.

—2,n=2kS=；'二2k-?

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推式S,,-"=g(q,+l),可得Sm-("+I)=]”向+l),("eN"),兩

式相減推出/+∣+α.=2,即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律，可得數(shù)列通項公式，繼而分〃為奇數(shù)和偶數(shù),

討論求得5.；

(2)利用(1)的結(jié)論，求出“=(k∈N")的表達式，利用裂項求和法，即可

(邑《+2)$2*+1

求得答案.

,

【詳解】(1)由-〃=；(4+1),WS,,+1-｛n+?)=∣(?+1+1),(neN),

兩式相減可得EIM-("+1)-5〃+〃=；3,向+2)-；&+2),即。向+%=2

因為4=4,則4=一2,

數(shù)列｛叫為4,—2,4,—2,4,—2,

4,n=2?-l

-2,〃=2%'八"

當(dāng)〃為偶數(shù)時，S?=-[4+(-2)]=?,

M—1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，SZT=W-[4+(-2)]+4=〃+3,

n,n=2k*

故SL,Z∈N.

〃+3,〃=2%—1

(2)由4=7----------------,(ZWN)

⑵田(S2,÷2)S2,+1)，

1111I

?bt=-----------------=----------------------=—(----------------)x

寸〃

(S2M+2)52,,+1(2"+2)?(2∕Z+4)4n+?〃+2

所以W一111111

—+——++-----M--)=Wq一)<—

334n+1/7+28

21.如圖，直三棱柱ABC-AI及G的體積為4,點O,E分別為AC,AA的中點，Ecg的

面積為2&?

(1)求點A到平面EBC的距離；

(2)AAt=2AB,平面EBC，平面A網(wǎng)A,求平面DBE與平面BECI所成角的余弦值.

【正確答案】(1)交；

2

z9λ5√33

⑷-----

33

【分析】(1)利用三棱錐體積公式，根據(jù)三棱錐的等體積法，即可求得答案.

(2)根據(jù)題意證明BC,8A,兩兩垂直，求得相關(guān)線段的長，建立空間直角坐標(biāo)系，求得

相關(guān)點坐標(biāo)，求得平面DBE與平面BEG的法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式，求得答案.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-ABC中，設(shè)點A到平面EBC的距離為/?,

點E為4A的中點，所以AE=JA41,

而直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,

1112

所以三棱錐E-ABC的體積為LYBC=-S'ΛE=-S=

3ABCOo3

又，ECB的面積為2加，

故三棱錐A-EBC的體積V-EBC=;SEBC?h=當(dāng)h=V-C=j，

EΛB

解得〃=正，所以點A到平面EBe的距離為變.

22

(2)取項的中點F,連接AF,如圖,

由題意知例=248,故AE=A8,所以AF_LEB,

又平面￡BC_L平面ABB1A1,平面EBCc平面ABB1A1=EB,

且AFU平面ABBl4，所以AF_L平面EBC,

由BCU平面E8C,故ABC,

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BBtl平面ABC,

BCU平面ABC,可得88∣LBC,

又AF,u平面ABBM且AF,B4為相交直線，

否則若4尸〃8B∣,則F點在落在AAl上，AA與SE不垂直，則與AZ7LEB矛盾,

所以BC工平面ABBM,氏4,881<=平面485小，

故BC±BA,BC1BBt,

所以8C,8A,8BJ兩兩垂直，以B為原點，以BC,8A,Bg為％y,z軸，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

由于AF_L平面EBC,故點A到平面EBC的距離即為AF,由(1)知4尸=",

2

??BE=√2,.?.AB=AE=I,AA1=2,

因為BC工平面ABB1A1,BEU平面ABBtAl,所以BC，BE,

由￡ECB的面積為2&，則?BC×BE=2√2,.?.BC=4,

則B(0,0,0),E(0,1,1),。(2,g,0),C(4,0,2),

則3。=(2,1O),BE=(0,1,1),

ZBD=O

設(shè)平面BOE的法向量為〃=α,y,z),則，,

JbBE=O

2Jv+]V—0

即<2',令χ=l,則>=-4,2=4,故〃=(1,-4,4)；

7+2=0

5C1=(4,0,2),設(shè)平面BEG的法向量為加=(。也C)，

m?BE=0b+c=O

則和

m?BCl=04。+2c=0

令α=l,JH∣JC=-2,6=2,可得心=(1,2,-2),

-155而

故CoS(〃,ni)=""

?n??m?√33×3^33

由原圖可知平面DBE與平面BEG所成角為銳角，

故平面QBE與平面BEG所成角的余弦值為?.

關(guān)鍵點點睛：求解二面角時，要根據(jù)條件利用面面垂直的性質(zhì)推得線線和線面垂直，從而推

出8C,8A,88J兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，關(guān)鍵點時要注意到利用(1)中結(jié)論,

求出三棱錐的相關(guān)棱長，從而確定坐標(biāo)系中各點坐標(biāo)，利用向量法求解二面角的余弦值.

22.在一張紙上有一圓C:(x+G『+y2=8,定點何(6,0),折疊紙片使圓C上某一點Ml

恰好與點M重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕EF,設(shè)折痕EF與直線MC的交點

F

（1）求證：I∣7Cl-ITMll為定值，并求出點7的軌跡C'方程；

⑵已知點A（2,l）,直線/交C'于P,Q兩點,直線ARAQ的斜率之和為0.若tanZPAQ=2√2,

求的面積.

【正確答案】（1）證明過程見解析，—-/=1

2

⑵雇

9

【分析】（I）根據(jù)雙