河北省保定市唐縣第一中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題

河北省保定市唐縣第一中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A=(0,4),B=[l,5],全集U=R,則(4.A)c3=()

A.[4,51B.(0,1]C.[1,4)D.(0,5]

2.已知復(fù)數(shù)z=93(aeR)(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,

4-31

則實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

3.已知鈍角“滿足sina=正，則cos(：+a

514

AVioR3屈

410

4.已知向量a=(l,2)/=(4,Z),若a與方垂直，則a與a+b夾角的余弦值為()

3

A6Rn1

5435

5.某班級(jí)選出甲、乙、丙等六人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門

學(xué)科的課代表，已知甲只能擔(dān)任語(yǔ)文或英語(yǔ)課代表，乙不能擔(dān)任生物或化學(xué)課代表，且

乙、丙兩人中必有一人要擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式有()

A.56種B.64種C.72種D.86種

6.已知函數(shù)f(x)=(x2+2x-l)e'的圖象在x=0處的切線與g(x)=alnx-l的圖象交于

A(X1,yJ,8(孫丫2)兩點(diǎn)，且々=2芯，則〃=()

7.已知某圓錐的的底面半徑為2,側(cè)面積是底面積的3倍.將該圓錐切割成一個(gè)正四棱

錐，且四棱錐的頂點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)重合，四棱錐的底面是圓錐底面的內(nèi)接正方形，則該

四棱錐的體積為()

A165/2?20夜「28四C32>/2

3333

￡+g=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：

尸I，尸2,離心率為4,雙曲線G：與一1=1(，">(),〃>0)的離心率為0,且橢圓G與

tnn

雙曲線G的焦點(diǎn)相同.過(guò)的直線/與橢圓G交于A8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與雙曲

線C2的右支交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P在線段A8上.若，4P8與aAB鳥的周長(zhǎng)之比為3:10,則

F的值為()

A.-B.-C.-D.-

5533

二、多選題

22

9.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為s“=m產(chǎn)，公差為乩則()

A.%=1B.d=l

C.S2/1=2a~+2anD.2s“-a”=1+3+5++(2〃-1)

10.已知函數(shù)f(x)=ln(e2"-ae-，)-gx,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的

是()

A.若a=l,則/")為奇函數(shù)

B.若。=一1,則/(x)為偶函數(shù)

C.若f(x)具備奇偶性，則a=—1或。=0

D.若f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為［-1,”)

11.已知圓O:V+y2=4,過(guò)點(diǎn)加9-2)?/0)作直線/,與圓。相交于A,B兩點(diǎn).若存

在直線/,使得M4+M8=4,則f的可能取值為()

A.41B.-1C.3D.-26

12.已知函數(shù)/(x)=tan(sinx)+tan(cosx),則()

A.2兀是“X)的周期

B.f(x)的圖象有對(duì)稱中心，沒(méi)有對(duì)稱軸

C.當(dāng)寸，F(xiàn)(x)<tan(sinx+cosx)

D.對(duì)任意ZeZ,〃x)在(也-寺桁)上單調(diào)

三、填空題

13.若函數(shù)f(x)=(a-l)x-：在(0,+e)上單調(diào)遞增，aeR,則〃的取值范圍為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線/：》-2)+3/=0(F0),定點(diǎn)尸(〃?,0)與定

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

直線4：x=-m(m>0),過(guò)戶向直線4作垂線，垂足為若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

為曲線c,且直線/與曲線c相切，則機(jī)=.

15.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)共有4個(gè)，其中位數(shù)，平均數(shù)，方差均等于4,則這組數(shù)

據(jù)的極差為.

16.如圖，在正三棱臺(tái)48C-AMG中，已知AB=2A與=4,點(diǎn)p是側(cè)棱8片上的動(dòng)點(diǎn)

(含端點(diǎn)).記二面角P-AC-A為a,二面角P—AC—B為夕，若存在點(diǎn)尸,使得a=(3,

則側(cè)樓84的最小值為.

四、解答題

17.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，且2%-%=2,S5=30.

(1)求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b"=(zTi-l)a'求數(shù)列也，｝的前"項(xiàng)和7”,

18.在ABC中，角A&C所對(duì)的邊分別為“、4c,A=與,AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)

已知AD=2,b=2c.

(1)求AfiC的面積S；

(2)若BC的中點(diǎn)為E,求DE的長(zhǎng).

19.如圖，在三棱臺(tái)ABC-3EF中，側(cè)面ABEC與ACF。均為梯形，AB〃QE,AC〃。凡

ABLBE,且平面ABE。_L平面ABC,ACLDE.已知AB=2E=AC=1,DE=DF=2.

(1)證明：平面ABE￡)J_平面ACF￡?；

(2)求平面BEFC與平面尸C4O的夾角的大小.

20.在某個(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺(tái)球.四人約定游戲規(guī)則：①每輪游

戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對(duì)一對(duì)打；②第一輪甲乙對(duì)打、丙丁對(duì)打；③每輪游

戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對(duì)打，同樣的，兩名失敗者組成敗者

組在下一輪游戲中對(duì)打；④每輪比賽均無(wú)平局出現(xiàn).已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概

率均為3，甲勝丙、乙勝丁的概率均為：，甲勝丁的概率為彳.

(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對(duì)打的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)求在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率.

21.已知函數(shù)/(力=(彳+2k'+/+依，其中常數(shù)“eR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若。=一3,求/(x)的最小值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2cosx恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓G：』+匯=1("＞應(yīng))與橢圓C：一+t=1,

a222

且橢圓C?過(guò)橢圓的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)p(O/)(fe(0,應(yīng)))且不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線/與

橢圓G交于A,B兩點(diǎn)，與橢圓G交于C,。兩點(diǎn).

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若存在直線/,使得|48|=6|8|,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】先根據(jù)補(bǔ)集的計(jì)算求得q,A,再根據(jù)交集的運(yùn)算求得(q；A)c3即可.

【詳解】易知，，A=(-8,01[4,+8),所以(q,A)B=[4,5].

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到z=+,再由復(fù)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于a的不

等式組，即可求得〃的取值范圍.

a+2i_（〃+2i）（4+3i）_4o-6+（3a+8）i_4々一63a+8.

【詳解】z=-1,

4-3i-（4-3i）（4+3i）252525'

4。一6<083

由題意可知3〃+8>。'解得：一3<"5.

故選：D.

3.B

【分析】已知sin2,根據(jù)平方關(guān)系求出cosa,再利用兩角和的余弦公式展開cos[：+a

代入求解.

-2石

【詳解】由a為鈍角，可知cosacO,所以cosa=—

5

所以cos[w+aj=3(cosa_sma)=3x[-------1=--—.

故選：B.

4.A

【分析】利用垂直向量的坐標(biāo)表示求解％,進(jìn)而得到“+)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表

示求解夾角的余弦值即可.

【詳解】解：因?yàn)榘着c〃垂直，故a/=lx4+2k=0，解得左=-2,則6=(4,-2),

八Q?(a+h)5V5

?=(5,。)，設(shè)a與小夾角為氏則cos*麗丁蘇方京=7.

故選：A.

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

5.C

【分析】分類討論數(shù)學(xué)課代表的人選：若乙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，再安排甲擔(dān)任語(yǔ)文或英語(yǔ)課代

表，最后再安排剩余的四人；若丙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，再安排甲擔(dān)任語(yǔ)文或英語(yǔ)課代表，接著

安排乙，最后再安排剩余的三人，將兩種所有安排方式相加即可.

【詳解】若乙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式共有C；?A：=48利J

若丙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式共有C；=24種，

所以不同的安排方式共有48+24=72種.

故選:C.

6.B

【分析】先求出/(x)在x=0處的切線方程，再將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)即可求得.

【詳解】因?yàn)?(x)=(x2+4x+l)e1所以f'(O)=l,/(0)=-1,所以切線方程為y=x-l,

由題意可知，alnX|-l=XI-l,aln(2xj-1=2七一1,

2

兩式相減，解得X=aln2,所以〃In%=〃ln2,即玉=2,所以。=——.

In2

故選：B.

7.D

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長(zhǎng)為/.利用側(cè)面積是底面積的3倍求出/=3r=6,再

求出正四棱錐的高OP=4夜，和底面積SABCD，即可求出該四棱錐的體積.

【詳解】如圖示，設(shè)圓錐的底面半徑為，，母線長(zhǎng)為/.

。為底面圓的圓心，A8C。為底面的一個(gè)圓內(nèi)接正方形，0P為圓錐的高.

由題意可得：冗『1=3兀戶，解得：l=3r=6,所以O(shè)P=JI?一/一展=4亞.

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

而SABCD=ABxBC=（2何=8.

所以該四棱錐的體積為V」九°XOP」X8X4^=^L

3ABCD33

故選：D

8.A

【分析】根據(jù)已知條件及橢圓和雙曲線的離心率公式，利用橢圓和雙曲線的定義及三角形周

長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】設(shè)焦距為2c,則《=￡,/=￡,且=%，

ame2a

由橢圓的定義知，|明|+|州|=2a,忸&+忸閭=勿,

所以AAB用的周長(zhǎng)為|陰+|但|+|%|=|明|+|然|+|班|+忸用=4,

由雙曲線的定義知，\PFt\-\PF2\=2m,

所以APK的周長(zhǎng)恒閭+|陰+歸閭=|然|+|明+|尸國(guó)+|尸用_歸制=2“一2〃?，

又因?yàn)槿簦珹尸鳥與△AB"的周長(zhǎng)之比為3:10

所以幺衿=義，整理得加=5〃?，

4a10

e.m2

所以」=一=r

e2a5

故選：A.

9.ABD

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式分別檢驗(yàn)各項(xiàng)即可判斷.

【詳解】解：由題意得：

對(duì)于選項(xiàng)A：取〃=1,則弓=歿1,解得4=1,即A正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)B：由A可知，S“=U1,貝IJ”=S2-2《=3-2=1,即B正確；

2

丫+干味幣「m?。?n）2+2n,,即「他、口

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閟0〃=i—L-----=2n~+n=2a~+an?即C錮慶；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?S,且1+3++⑵即D正確.

故選：ABD.

10.BCD

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)依次判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)f(x)=lne2-ae2,結(jié)合復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性得g(x)=伊在(°，+8)上單調(diào)遞增，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】若4=1，〃x)=ln(e2*—?jiǎng)te-*>0,解得x>0,故/⑶的定義域

為(0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即A錯(cuò)誤；

1￡<3\

若a=—1,/(x)=In(e21+e-)--X=In(e21+)-Ine2=In]+”*,定義域?yàn)镽,滿足

z\>

3W、

/(-x)=/(x),故/(x)=lne?'+e?，為偶函數(shù)，即B正確；

\7

當(dāng)a=—1時(shí)，由B可知/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)。=0時(shí)，易知=為奇函數(shù)，即C正確；

由題知，f(x)=ln[e2-ae2J,若f3在(0,+8)上單調(diào)遞增，則函數(shù)8⑶二耳_優(yōu)丁在

a2r

(0,+8)上單調(diào)遞增，則g，(x)=ga?卜3,+小0在(0,+8)恒成立，即e3，+“20在(0,+8)恒

成立，解得aN—1,即D正確.

故選：BCD

11.AB

【分析】利用垂徑定理建立M4,A"與MH,"4關(guān)系，然后利用勾股定理得使

用基本不等式即可求出f的范圍，逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.

【詳解】設(shè)A8的中點(diǎn)為兄MAvMB,則=+=

又MH?=OM?-OH?=t2+4-OH2,HA"=4-OH2,所以m-〃8=產(chǎn)，

因?yàn)镸4+MB22JM4?MB，又MA<MB,所以+，即4>2”，

所以-2<r<2.

故選：AB

12.ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)函數(shù)周期的定義令X=X+2TT,即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)函

數(shù)對(duì)稱性的定義分別令》=勺-》和x=1-x,即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)正、余弦函數(shù)

22

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

的圖象和性質(zhì)得到sinx<]-cosx,再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性得到tan(sinx)<tan《-cosxj

最后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)式子，即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)A選項(xiàng)函數(shù)的周期得到只

需考慮&=0,%=1即可，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?/p>

/(X+2TT)=tan(sin(x+27t))+tan(cos(x+27t)j=tan(sinx)+tan(cosx)=/(x),

則2兀是/(x)的周期，所以A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榱?/p>

所以〃x)+噌-"=°,"上嗚-4

則/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(￥，。]成中心對(duì)稱，關(guān)于直線工=:成軸對(duì)稱，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)無(wú)小時(shí)，易知sinx,cosXG(0,1),

^,sinx+cosx=>/2sinx+—<V2<—,B[Jsinx<--cosx,

(、sin--cosx

cos(cosx)1

貝ijtan(sinx)<tan——cosx=----彳-----------4-

')cos——cosxsin(cosx)tan(cosx)

U)

所以0<10!1(§汕工,01*05同<1,

tan(sinx)+tan(cosx)

貝ijtan(sinx)+tan(cosx)<=tan(sinx+cosx),所以C選項(xiàng)正確;

1-tan(sinx)?tan(cosx)

對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知：2兀是/(x)的周期，所以只需考慮左=0,左=1即可，

當(dāng)％=0時(shí)，所以Sinx和COSX均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)&=1時(shí)，所以sinx和cosx均單調(diào)遞減，所以/(x)單調(diào)遞減，所以D選項(xiàng)正

確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的判斷常用定義去驗(yàn)證；

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

(2)要證明周期函數(shù)的單調(diào)性往往只需證明函數(shù)的一個(gè)周期的單調(diào)性，復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性

判斷優(yōu)先嘗試?yán)脧?fù)合函數(shù)的“同增異減”.

13.［l.+oo)

【分析［若要“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，只需其導(dǎo)函數(shù)恒成立即可，進(jìn)而通過(guò)運(yùn)

算即可求得。的取值范圍.

【詳解】對(duì)〃x)求導(dǎo)得/(x)="l+}0在(0,+時(shí)上恒成立，即只需羥1-5恒成立,

17

設(shè)g(x)=i-7(x>。)，則g'(x)=y>o,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，注意到當(dāng)X趨于正無(wú)窮時(shí)，g(x)無(wú)限接近于1,綜上〃的

取值范圍為

故答案為：［1,+°0)

3

14.-/0.75

4

【分析】根據(jù)拋物線的定義得到曲線C：丁=4,冰，聯(lián)立直線/和C消去x化簡(jiǎn)得到

y2-Smty+12int2=0,令△=(),即可求解.

【詳解】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以尸為焦點(diǎn)，以4為準(zhǔn)線的拋物線c,

即曲線C的方程為：丁=4〃優(yōu)，

將直線/與拋物線方程聯(lián)立得：

2/1+3’°,消去x化簡(jiǎn)得：^2-8mty+\2mt2=0(f/0),

y=4mx

因?yàn)橹本€/與曲線c相切，

3

所以2\=64m，2一48祖產(chǎn)=0(，w0,m>0),解得：

4

3

故答案為：—.

4

15.4

【分析】設(shè)出這四個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)題意列出方程組，結(jié)合這四個(gè)數(shù)是正整數(shù)進(jìn)行求解.

【詳解】不妨設(shè)四個(gè)數(shù)為玉4七4七4匕，則9+占=8,內(nèi)+.：三+為=4,即％+Z=8,

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

又(％-4)+(/-4)-+(人-4)+?4),]

4

，(內(nèi)―4)+(%—4)+(p—4)+(%4-4)=16,因?yàn)槔潆姡?，”4是正整數(shù)，且人|+工4=8,

：二；不符合題意，否貝IJ(玉-4)2+(x4-4)2=(1-4)2+(7-4)2=18>16,

：二：，可得(為一4)2+(用一4)2=8,結(jié)合Xz+w=8,可以解得x2=2

若

x3=6

若；一5，故(玉一可^+仁一葉+仁一4+^-4y=16可化簡(jiǎn)成：伍-4)2+($-4)2=14

但3494X,45,這是不可能的，

若,結(jié)合44%4工344,得到X]=X?==七=4,

[々=4

2222

這與(%,-4)+(X2-4)+(X,-4)+(X4-4)=16矛盾.

所以%=々=2,七=%=6,極差為6-2=4.

故答案為：4

16.2

【分析】根據(jù)題意，設(shè)AC,AG的中點(diǎn)分別為E,F,由NBEBZNBiEF可得EFZBF，

即可得到結(jié)果.

設(shè)AC,AC的中點(diǎn)分別為E,F,連接EF,FB,,EB,EP,EBt,

由三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知，ACJLEF,AC1EP,ACA.EB,

則NPEF=a,NPEB=0,若a=/?,則NqEBWNB聲尸，即

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

所以EFNBF=6,所以A4t2,（石『+1=2.

故答案為：2

17.⑴4,=2〃

（2）7；=-^-

2n+2

【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于4與d的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為人

由題意可得"解得[：'=；，

[5q+10d=30[d=2

/.an=q+（〃一l）d=2〃.

,—71If111

（2）由（1）可知/-----77-

【分析】（1）利用余弦定理求出cosB,再利用正弦定理結(jié)合角平分線求出邊c即可計(jì)算作

答.

（2）利用（1）的結(jié)論直接計(jì)算作答.

【詳解】（1）在.43C中，h=2c,A=與，由余弦定理得：

a2-b2+<?-2feccosA=4c）+c?-2x2c2cos夸=7/,即a=-Jlc,

a2+c2—b"2arj|.|.心r.二V2T

cos8=---------=----,W'JsinB=Vl-cosB=----,

2ac77

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

ADs,\n—2x—

在△ABD中，ZBAD=；,由正弦定理得：BD=.3=—^-=77,

3sin8V21

7

11

ncAD-BDsinZADBcAD-ABsinZDAB,

又吧=」__________________=—=2_____________=￡=1,

CDADCDsin(it-ZADB)S-^i)|ADACsinZDACb2

則CO=2BD=2>/7,即有a=3BD=3V7,c=3,

所以ABC的面積S=1bcsinA=1x2/sin生=2工.

2232

(2)由(1)知，BE^-BC=-a=-y/l,所以DE=BE-BD=".

2222

19.（1）證明見解析

嗎

【分析】（1）由A3""：,ACA.DE,得ACJ_A8,由平面ABE。J_平面ABC,結(jié)合面面

垂直的性質(zhì)定理可得AC_L平面ABED,即可得出答案；

（2）作。E中點(diǎn)M,連接AM,易知4B,AM,AC兩兩垂直，以AB,AM，AC為工，

）,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACED的法向量為加=（%，必，4）,平面CBEF的

法向量為n=（Z,乃,馬），設(shè)平面BEFC與平面FC4。的夾角為0,則cos0=即可得

出答案.

【詳解】（1）證明：因?yàn)锳B/ADE,ACLDE,所以ACLAB,

又ACu平面ABC,平面ABE。_L平面ABC,平面ABEZJc平面ABC=AB,

所以AC_L平面ABED,

又ACu平面ACFD,

所以平面A3EO,平面ACFD.

（2）如圖，作OE中點(diǎn)M,連接AM,易知AB,AM,4c兩兩垂直，

以"，AM，AC為x，九z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

則8(1,0,0),C(OQ1),F(-l,l,2),

所以CB(1,O,T),CA=(O,O,-1),CF=(-1,1,1)

設(shè)平面ACFD的法向量為加=(%,月，4),

m-CA=-z,=0[z.=0

則=>_,取X=l,則凹=1,4=0,

mCF=一%+必+4=0[xi=y

所以m二(1,1,0),

,〃C3=x,-z)=0=z.

設(shè)平面CBEF的法向量為"=(&,%,zz)，貝iJ一一=>'?

n-CF=-x2+y2+z2=O1%=°

取x?=1,貝U%=0，z?=1,

所以”=(1,O,D,

設(shè)平面BEFC與平面FCAD的夾角為。(夕右[o,]1),

\tn-n\_1_1

則cos0=

|m||/i|Jl+lxJl+12

所以e=1,

所以平面BEFC與平面FC4D的角y.

20.(1)—

100

⑵四

512

【分析】（1）根據(jù)游戲規(guī)則得到甲乙在第一輪對(duì)打，且在第二輪不對(duì)打，第三輪有可能對(duì)打，

從而得到X的可能值為1或2,其中第三輪對(duì)打?yàn)榧滓覄僬呓M對(duì)打或甲乙敗者組對(duì)打，再結(jié)

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

合條件即可求解；

(2)設(shè)在第〃輪中，甲乙對(duì)打的概率為4，甲丙對(duì)打的概率為“，甲丁對(duì)打的概率為%,

根據(jù)題目條件求得4,々和再分類討論甲丙在勝者組對(duì)打或甲丙在敗者組對(duì)打，從而求

得"再由%+4+4=1結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，求得打，即可求出狐.

【詳解】(1)由題可知，甲乙在第一輪對(duì)打，且在第二輪不對(duì)打，所以X的可取值為1,2,

1113151

尸(X=2)=C；?+—x—-----1—=-----

川眇(訃明快32504100

49

貝|JP(X=1)=1—P(X=2)=而，

4951151

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lxf^+2x2-=Bl

「100100100

(2)設(shè)在第九輪中，甲乙對(duì)打的概率為瑪，甲丙對(duì)打的概率為打，甲丁對(duì)打的概率為g,

易知〃22,4=1,4=G=0,

且心

又4+2+[=]，所以b“+i=；a,+,

整理得4+i-；="+；c“=,

則數(shù)列卜,-1｝是以么-g=-g為首項(xiàng)，以-;為公比的等比數(shù)列,

]_""1

即a_，x，所以

"33

/、9

故在第I。輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率為=慧=3

21.(1)2

(2)a=-3

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)得尸(X),令Mx)=/'(x),然后分XM-3與x>-3討論，即可

得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由條件可得0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造Mx)=g〈x),分3+a<0,

答案第II頁(yè)，共14頁(yè)

3+。>0以及3+a=0討論，再結(jié)合(1)中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)a=—3時(shí)，/(x)=(x+2)ev+x2-3x,則f'(x)=(x+3)e，+2x_3,/'(O)=O,

記h(x)=/(x),則￡(x)=(x+4)e+2,

①當(dāng)xM-3時(shí)，(x+3)e”0,2x-3<-9,可得/'(x)<0,可知函數(shù)/(力在區(qū)間上

單調(diào)遞減；

②當(dāng)x>-3時(shí),(x+4)ev>0,〃(x)>0,可知函數(shù)/i(x)單調(diào)遞增,又由力(0)=0,可知當(dāng)

-3<x<0時(shí)，/z(x)<0；

當(dāng)x>0時(shí)，〃(x)>?？芍瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

由①②知函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8),故有/="0)=2；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-2cosx恰有一個(gè)零點(diǎn)，

且g(0)=0,0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，又短(x)=(x+3)e*+2x+a+2sinx,

不妨設(shè)Mx)=g'。)，函數(shù)定義域?yàn)镽，則左'(x)=(x+4)e*+2+2cosx,

當(dāng)x>~4時(shí)，x+4>0,又e*>0，2+2cosx>0,

所以(x+4)e*+2+28sx>0在(-4,+8)恒成立，

則函數(shù)％(》)在(T,?)上單調(diào)遞增,即函數(shù)g。)在(1鐘)上單調(diào)遞增，

又g'(0)=3+a,

當(dāng)3+a<0時(shí)，可得g'(0)<0,且xr+8時(shí)，g'(x)>0,

則存在a?0,+oo),使得/(a)=0,此時(shí)在(0,a)上,有g(shù)，(a)<0,

在3+00)上，g'(e)>。，故g(x)在(O,a)上為減函數(shù)，在(a,4<o)上為增函數(shù)，

故當(dāng)xe(O,a)時(shí)，g(x)<g(O)=O,而x->+8時(shí),g(x)f+a?,

故g(x)在(0,+")上存在一個(gè)零點(diǎn),

則此時(shí)函數(shù)g(x)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；

當(dāng)3+a>0時(shí)，可得g'(0)>0,又g'(-4)=_e7_8_a_2sin4<0,

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

所以在區(qū)間（-4，。）上存在一點(diǎn)P，使得g'（夕）=0,

故當(dāng)在（尸,0）上,有g(shù)'（x）＞0,在（-4,0上，有g(shù)'（x）＜0,

故且⑴在（尸,0）上為增函數(shù)，在（＜閉上為減函數(shù)，

故當(dāng)xe（/7,o）時(shí)，g（x）＜0,而當(dāng)x-＞-8時(shí)，g（x）f+8,

故此時(shí)函數(shù)g（x）在（-8,。）上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?是函數(shù)g（x）的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；

當(dāng)3+。=0時(shí)，即。=一3時(shí)，由（1）知，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，

最小值g（0）=/（0）—2cos0=0,

當(dāng)x*0時(shí)，因?yàn)間（x）＞2-2cosx＞0,符合題意.

綜上，滿足條件的。值為-3.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：知道函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，要求參數(shù)的取值范圍，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)

的單調(diào)性來(lái)