高中數(shù)學競賽知識點

不等式塊

1.排序不等式（又稱排序原理）

設(shè)有兩個有序數(shù)組a<a<-<a及6<b<-<b,

I2n12n

則+.?.+〃/?（同序和）

1I22nn

>ahb+…+ah（舌L序和）

1/12j2njn

>ab+ab+…+（逆序和）

1n2n-1n1

其中j,j是1，2,…，n的任一排列.當且僅當a-a=■■?=a或

12n12n

b=b=---=b時等號（對任一排列j,j,■■■,］）成立.

I2nI2n

2.應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”：

設(shè)有n個正數(shù)a。的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是

I2n

止匕外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學及電路分析中要用到

和平方平均（在統(tǒng)計學及誤差分析中用到）

QEE三三這四個平均值有以下關(guān)系”<G<A<e.?

"V〃nnnn

3.應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)一一幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式.

柯西(Cavchy)不等式：設(shè)a、a、a,…，a是任意實數(shù)，則

I23n

等號當且僅當b=ka(k為常數(shù)，i=1,2,…，")時成立.

4.利用排序不等式還可證明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若a<a<?-<a，h<h<???</?，

12n12n

rn.iah+ab+-??+〃/?a+〃H--------\-ab+b+???+/?

則-J—J----2_2----------->—1---------------2------------------a.-—1-------2-----------a-.

nnn

例題講解

1?a,b,c>0,求證：ab(a4-/?)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abe.

2.a,b,c>0>求證：a^bhec>(abc)3

.c./〃2+Z72/?24-C2C2+Q2。3。3

o?a,/?,cwR+,+。+cW---------+---------+----------?—+—+—.

2c2a2bbecaab

4.設(shè)a,a,…,aeN*，且各不相同,

I2n

會［正.t111/aaa

23n12232〃2

5.利用基本不等式證明+。2+c22ab+be+ca.

6.已矢口。+。=1,“/20,求證：04+/>4>1.

8

7.利用排序不等式證明G44

8.證明：對于任意正整數(shù)R,有（1+1）,,<（I+_L）.+L

nn+1

9.n為正整數(shù)，證明：4（1+?）^-11<1+-+-+-1）?^.

23n

例題答案：

1.證明：ab（a4-/?）+bc（b+c）+ca（c+?）-6ahc

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在

因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明02+。2+。22必+兒+四時，可將

Q2+。2

-（Q〃+/?C+CQ）配方為1［（〃一份2+（b—C）2+（C-Q）2］，亦可利用〃2+人2>2ab,

2

h2+c2>2hc.c2^a2>2ca,3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.

2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.

不等式關(guān)于對稱，不妨〃2。2c,則a-瓦匕-CM-c￡R+,且2,生

bc

2都大于等于1.

C

評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定〃個字母的大小順序，可方便解題.

（2）本題可作如下推廣:若a>0（i=1,2,…則a4。4.N

/12n

a,+a-i-Fa

（67a…a）'n

12n

（3）本題還可用其他方法得證。因a“4Na魴”，同理bbcc>bccb,cca(t>c^ac9

另aabbCc>QabbCc,4式相乘即得證.

（4）設(shè)〃NbNcNO,則igaNigbNigc.例3等價于alga+big62algb+Mga,類似例4可

證alga+blgb+cigc2algb+blgc+ciga2algc+blgb+ciga.事實上，一般地有排序

不等式（排序原理）：

設(shè)有兩個有序數(shù)組a<a<--<a,b<b<???</?，則a/?+abH---------\-ab（順序

I2n12nII22itn

和）

>ab+ab+???+?b（舌L序和）

1A2j2〃jn

>ab+ahd--------ab（逆序和）

1n1〃-1n1

其中j,j,…，j是1,2,…，兒的任一^排列.當且僅當a=a=…=a或匕=b='??=/?

12n12n12n

時等號成立.

排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為

兩個有序數(shù)組的積的形式.如

,,4262c2、，1,111,11

>a2〃+/72-C+C2?%——H-------+—>a+Z?+C=Q21-/?2FC2?一之〃2卜b2FC2.一?

bcabcaabc

3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證

明.

不妨設(shè)Q282C,則Q22/?22c2,1212,則Q2.1+/?2.J_+C2.1（亂序和）

cbacab

2〃2.J_+02.J_+C2.1（逆序和），同理Q2.2+。2.J_+C2._L（亂序和）

abccab

>a2-L+b2.L+ci-L（逆序和）兩式相加再除以2,即得原式中第一個不等式.再考

慮數(shù)組03>加>C3及之±>±,仿上可證第二個不等式.

beacab

4.分析：不等式右邊各項幺._1；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.

設(shè)，…，b是a,a，…,a的重新排列，￥兩足A<b<…<b,

又1>J_〉_L>…〉_L.

2232

所以a+4+M+...+L淮+幺+人+…+2_.由于,-b是互不相同的正整數(shù),

12232n12232〃212〃

故b之1力>2,???,/?從而？+幺+組+...+幺_21+1+...+1,原式得證.

12n19?2)7n

評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2>a-h+b-a,

5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用

塾談的方法.

a2+b2>2必同理加+c3N2bge2+a2>2ca;三式相加再除以2即得證.

評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等

技巧.

如或+合+...+￡"+X+…+X，可在不等式兩邊同時加上X+X+…+X+X.

XX

再如證（4+1）9+1）（0+'）33+。）3225642吠3（兄兒?！?）時，可連續(xù)使用基本不等

式.

（2）基本不等式有各種變式如（竺￡）24竺士竺等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的

22

次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,系數(shù)和為1.

6.思路分析：不等式左邊是a、方的4次式，右邊為常數(shù)1,如何也轉(zhuǎn)化為a、b

8

的4次式呢.

要證Q4+>\即證Q4+加之1（a+6）4.

88

評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知X+x+x=l,x20,求證：

123I

X3+X3

12

+心21右側(cè)的1可理解為l（x+x+x）3.再如已知X+X+X=0,求證：XX+XX

3-3,331231231223

+xx<0,此處可以把0理解為3（x+x+X”，當然本題另有簡使證法.

318123

（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于〃個正數(shù)

a,a，…a）

12n

調(diào)和平均“_

nil1

—+—+…+—

aaa

I2

幾何平均G=Ja-a????

“、12n

算術(shù)平均A”

n

平方平均Q…運

這四個平均值有以下關(guān)系：H<G<A<Q，其中等號當且僅當

nnnn

a-ci=?,?=〃時成乂?

12n

7.證明：令b==1,2,…則bb…b=1,故可取x,x,->?%>0，使得

i（~r12n12n

b-=巴>，…/?/=匕■由排序不等式有:

1x2xxnx

23n1

=土_+'+..?+匕一（亂序和）

X