2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷三（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高三（上）段考

數(shù)學(xué)試卷（三）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.直線I與平面a不平行，則（）

A./與a相交B.Iua

，與a相交或ZuaD.以上結(jié)論都不對平行于同一個平面

2.如圖，anA=(,力，B€a,CG/?,且CC/,直線SBCl=M,

過4B,。三點的平面記作y,則y與/?的交線必通過（）

A.點A

B.點、B

C.點C但不過點M

D.點。和點M

3.平面a與平面夕平行的充分條件可以是（）

A.a內(nèi)有無窮多條直線都與0平行

B.直線aua,直線bu/?,且"/a,a///?

直線a〃a,a///?,且直線a不在a內(nèi)，也不在夕內(nèi)

D.a內(nèi)的任何一條直線都與6平行.

4.在正方體48。。一41/6。1中，E為棱CCi的中點，則異面直線4E與CD所成角的正切值為

)

A與B.?D.?

5.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為

古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺,現(xiàn)有一龍洗盆

高18cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深

為6cm時，則盆內(nèi)水的體積為（）

A.655;rcm3B.666ncm3C.677ncm3D.688ncm3

6.下列結(jié)論中正確是（）

A.若直線a,b為異面直線，則過直線a與直線b平行的平面有無數(shù)多個

B.若直線TH與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則直線m與平面a平行

C.若平面a〃平面口，直線aua,點Me/?,則過點M有且只有一條直線與a平行

D.若直線11平面a,則過直線，與平面a垂直的平面有且只有一個

7.在正四棱臺4BCD-A1B1GD1中，AB=2AXBX=4,側(cè)棱441=口,若P為81cl的中點，

則過B,D,P三點截面的面積為（）

A.B.4\T^>C.5>/3D.6V2

8.如圖，在長方體4BCD-43傳1。1中，AB=AAr=2,BC=4,E為4。中點，則三棱錐

4一CDE外接球的表面積為（）

A.87rB.247rC.327rD.447r

二、多選題（本大題共4小題，共20.（）分。在每小題有多項符合題目要求）

9.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論

正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為2兀W

B.圓錐的側(cè)面積為小石兀/?2

C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等

D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2

10.如圖，多面體EABCDF的所有棱長均為2,則（）

A.BE//DFB.平面EAB1平面F48

C.直線E4與平面4BCD所成的角為*D.點E到平面BCF的距離為殍

11.如圖，已知正方體4BC。一4勺口歷的棱長為1,。為底面

ABCD的中心，力G交平面4/D于點E,點尸為棱CD的中點，則

（）

A.4，E,。三點共線

B.異面直線BD與4G所成的角為60。

C.點G到平面&BD的距離為浮

D.過點公,B,F的平面截該正方體所得截面的面積為:

O

12.已知正方體力BC。-4避16。1的棱長為4,點E,F,G,M分別是8C,44口口劣，的

中點則（）

A.直線&G,E尸是異面直線

B.平面OMQ截正方體所得截面的面積為1242

C.三棱錐A-"GA的體積為當(dāng)

D.三棱錐為一BOG的內(nèi)切球的體積為哆57r

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知空間中兩個角乙4OB,乙41。出1，且。4〃。14，OB“O\B[,若N/4OB=60。，貝4

Z-A1O1B1=.

14.在正三棱錐A-BCD中，側(cè)棱長為3,底面邊長為2,則點4到平面BCD的距離為

4B與面ACD所成角的余弦值為

15.已知腰長為2C的等腰直角△ABC,現(xiàn)沿斜邊BC上的高AD翻折，使得二面角B-AD-C

的大小為60。，則點8到4C的距離為；異面直線AB與C。所成角的余弦值為

16.如圖，已知四面體4BCD中，△ABC和△BCD都是等腰直角三

角形，AB=^BAD=乙CBD=今若四面體4BCD外接球的表

面積為8兀，則此時二面角A-BD-C的大小為；若二面角

A-BD-C為狎寸,點M為線段CD上一點，則AM的最小值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.（）分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

一副三角板（△力BC為等腰直角三角形，△BCD為一個銳角為30。的直角三角形）按如圖所示的

方式拼接，現(xiàn)將AABC沿BC邊折起，使得平面ABC_L平面BCD.

（1）求證：AB_L平面4CD；

（2）求直線BO與平面4CD所成角的余弦值.

18.（本小題12.0分）

已知異面直線ME,NF所成角為。，MEua,ME///3,NFu0,NF//a,MN1ME,MN1NF,

且MN=d,ME=m,NF=n.

(1)求證:a//0；

(2)求證：EF=y/d2+m2+n2+2mncos6-

ME

19.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=C，AD=2,PA=PD=

(I)證明：EF〃平面PAB；

(II)若二面角P-AD-B為60。，

。)證明：平面PBC1平面ABCD；

(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

如圖，在長方體力BCD-AiBiGCi中，AD=44i=l,AB=2,點E是AB的中點.

(1)證明：O1E14D；

(2)在棱DD］上是否存在一點P,使得4P〃平面DiEC,若存在，求會若不存在，說明理由;

(3)求。到平面5EC的距離.

EB

21.(本小題12.0分)

如圖，已知斜三棱柱48。一48停1中，平面4CCi&，平面&B1G，4當(dāng)與平面4CC1公所成角

的正切值為手，所有側(cè)棱與底面邊長均為2,。是邊AC中點.

(1)求證：力/〃平面BDG；

(2)求異面直線BBi與&G所成的角;

(3)戶是邊CQ一點，且CF=；lCCi，若ZBil&F,求A的值.

22.(本小題12.0分)

三棱臺4BC-4出6中，若，平面ABC,ABLAC,AB=AC=AAX=2,41cl=1,M,

N分別是8C,BA中點.

(1)求證：&N〃平面GAL4；

(2)求平面GM4與平面4CC1占所成夾角的余弦值;

(3)求點C到平面GAM的距離.

B

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：因為空間中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平面相交及

直線在平面內(nèi)，

因直線I與平面a不平行，所以直線I與平面a的位置關(guān)系是：直線/與平面a相交或1Ua.

故選：C.

由直線與平面之間的位置關(guān)系即可求解.

本題考查了空間中的直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ).

直線=過4,B,C三點的平面記作y,可得0ny=MC,即可得出結(jié)論.

【解答】

解：???直線=過4B,。三點的平面記作y,

二。ny=MC,

y與0的交線必通過點C和點M,

故選：D.

3.【答案】D

【解析】解：對于4,a內(nèi)有無窮多條直線都與夕平行，推不出平面a與平面夕平行，平面a與平面口

可以相交，A錯誤；

對于8,推不出平面a與平面￡平行，平面a與平面口也可以相交，B錯誤；

對于C,推不出平面a與平面￡平行，平面a與平面0也可以相交，C錯誤；

對于D,由面面平行的定義知能推出平面a與平面。平行，。正確.

故選：D.

由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件的概念依次判斷即可.

本題考查了直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查異面直線所成角的正切值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

作出異面直線所成的角，然后求出其正切值即可.

【解答】

解：如下圖，取。5的中點尸，連接E尸，AF,

因為E,F為C￡,D￡)i的中點，ABCD為正方體,

所以EF〃CD,

所以乙4EF為異面直線AE與CD所成角或其補角，

由正方體可得EF平面

所以EF_LAF,

設(shè)正方體的棱長為1,

1C

+=

則EF=1,AF=-42

所以tan乙4EF=?，

所以異面直線4E與CD所成角的正切值為警.

故選：C.

5.【答案】B

【解析】解：如圖所示，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長EC與F。交于點G.

G

根據(jù)題意，AB—18cm,CD—9cm,AC-18cm,EC-6cm,

設(shè)CG=;cc?n,EF=ycm,

所以2=2=出，

771218x+18'9x

解得x=18,y=12,

所以V=1(TT-122+7r-92+7T-12-9)-6=6667r(cm3),

故選：B.

根據(jù)軸截面和相似關(guān)系，以及圓臺體積即可求解.

本題考查圓臺的體積的求解，屬中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：若直線a,b為異面直線，則過直線a與直線b平行的平面有且僅有一個，故A錯誤;

若直線僅與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則直線徵與平面a平行或mua,故8錯誤；

若平面a〃平面￡,直線aua,點MC0,則過直線a與點M可確定平面y,設(shè)yC0=b,

則b為過點M的唯一一條與直線a平行的直線，故C正確；

若直線21平面a,則過直線，與平面a垂直的平面有無數(shù)個，故。錯誤.

故選：C.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】力

【解析】解：取CW1的中點Q,連接PQ,晶。1，則

PQ//B1D1IPQ=^B1D1,

又BD“B\D[,則PQ〃BD,又根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)得

DQ=BP,

則BDQP為等腰梯形，即過8,D,P三點截面為等腰梯形

BDQP.

取8c的中點M,連接MP,

在等腰梯形BiGCB中，々Ci=2,BC=4,BrB=C>,BM=2,

222

則PM=IBXB-甘（BC一當(dāng)6）］2=7-5，DQ=BP=VBM+PM=3,

在等腰梯形BDQP中，PQ=3BiD\=C，BD=4<7,

則梯形的高為IBP2--PQr')]2=巧工，

所以等腰梯形BDQP的面積S=；x(「+4gx?=母

故選：力.

取CiDi的中點Q,貝iJPQ〃&Di，又BD〃B】Di，則PQ〃BD,可得過8,D,P三點截面為等腰梯形

BDQP,利用題中數(shù)據(jù)及正四棱臺的性質(zhì)計算即可.

本題主要考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4式0,0,2),C(2,4,0),0(0,4,0),E(0,2,0),

設(shè)三棱錐&-CCE外接球的球心為O(x,y,z),

所以。&=OC=OD=OE,

由。D—OE=y/%2+(y—4)2+z2=Jx2+(y—2)2+z2=y=3，

由OC=。。=yj(x—2)2+(y-4)2+z2=yjx2+(y-4)2+z20x=1,

由04=OC=7x2+y2+(z-2Y=(%-2)2+(y-4)2+z2

22

=JJ+32+(z-2.=7(i-2)2+(3-4)+z=z=3，

所以。(1,3,3),因此三棱錐兒一CDE外接球的半徑為J12+(3-4尸+3?=d，

故該外接球的表面積為4兀?(CI/=44兀，

故選：D.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用球的性質(zhì)，結(jié)合空間兩點間距離公式、球的表面積公式進行求解即可.

本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題.

9.【答案】BCD

【解析】解：球半徑為R,圓柱側(cè)面積為2兀/?-2/?=4兀7?2,A錯誤;

圓錐側(cè)面積為兀/?-V_5/?=KTIR2,B正確；

球的表面積為4TTR2,C正確；

%1柱=,2R=2TTR3,H圓錐=/7rR2.2R=|兀7?3,1/球=g7rR3,￡）正確.

故選：BCD.

通過求解圓柱的側(cè)面積判斷4求圓錐的側(cè)面積判斷B；求球的表面積判斷C；求出體積的比判斷D.

本題考查空間幾何體的體積以及表面積的求法，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4如圖，由題意得△BAE,△BEC,LBCF,AB凡4為正三角形，

則四邊形AEC尸為正方形，故AE//CF,故A正確；

對于8：取4B中點為M,在ABAE,△BAF^,

又EM1AB,FM1AB,平面ABEn平面ABF=4B,EMu平面ABE,FMu平面A8F,

則NEM尸為二面角E-AB-F的平面角，

又EM=FM=，3,EF=2/7,則4EMF聲90。，故B錯誤；

對于C：由題意得四棱錐E—力BCD、四棱錐尸―4BCD均為正四棱柱，

連接EF,4C交點為正方形4BCD的中心，則EF1平面4BCD,

即NEAC為直線E4與平面4BCD所成的角，

又E4=EC=2,AC=2V-2，

則/EM尸=45。，故C正確；

對,于。：連接BD,則BDJL4C,

EF1平面ABCD,BDu平面ABCD,

二EFIB。，「EF與4c相交，S.EF,ACu平面4EF,

???BDL平面4EF,即齊。為三棱錐B-4EF的高，

設(shè)點E到平面48r的距離為人則=

x

???S^AEF=2XIX\T_2Xyl~2=2,SAABF=12X\/~3=y/~3，

111

又VB-AEF~^E-ABF9:，5sMEF《BD-]S&ABF,兒

代入數(shù)據(jù)解得九=弓￡故。正確.

故選:ACD.

根據(jù)多面體4BCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷4選項，取4B

中點，連接E、F,根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面4BCD的垂線，根據(jù)線

面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷。選項.

本題考查八面體的幾何性質(zhì)，二面角的概念，線面角的概念，等體積法求解點面距，考查化歸轉(zhuǎn)

化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為。為底面4BC。的中心，

所以。為8。和AC的中點，則。0eAC,

因為BDu平面AiBD,力Cu平面ACCiAi，

所以。€平面&BD,06平面ACG41，

所以點。是平面4BD與平面4CG4的公共點；

顯然&是平面&BD與平面4CC14的公共點；

因為4G交平面&BD于點E,4Qu平面ACG41，

所以E也是平面4BD與平面ACG4的公共點，

所以E,。三點都在平面4BD與平面4CC141的交線上，

即Ai，E,。三點共線，故A正確；

因為GC1平面4BCD,BDu平面ABCD,

所以BD1GC,

又BOJ.4C,4(?nCiC=C,AC,C】Cu平面

所以B。i平面

又"1u平面4CC14,

所以BD14G，即異面直線8。與4G所成的角為90。，故8不正確；

根據(jù)證明BD14cl的方法，同理可得4GlArB,

因為B￡)n4iB=B,BD,&Bu平面4聞，

所以4Gl平面4$。，

則C1E的長度就是點G到平面&BD的距離，

顯然E為正三角形&B。的中心，

因為正方體4BCD-A/iGCi的棱長為1,

所以正三角形&BD的邊長為，訝，

所以&E=|x?x/7=￥，

又&G=y/~2,

所以C1E=VA^-ArE2=J2一=殍，

即點G到平面4BD的距離為殍，故C正確；

取。1。的中點G,連FG,G4,BF,ArB,

因為尸G〃C￡"/4B

所以等腰梯形&BFG就是過點&,B,F的平面截該正方體所得截面，如圖:

因為=FG=?，AiG=BF=?，

所以等腰梯形4BFG的高為九=Jn停2(%7)2=,:弓苧;=牛，

所以等腰梯形4BFG的面積為+")?h=；?攵+9x牛=看，

即過點兒，B,尸的平面截該正方體所得截面的面積為看故。正確.

故選：ACD.

通過證明力1，E,0三點都是平面4BD與平面4CQ4的公共點，可知A正確；利用線面垂直的判

定與性質(zhì)可證異面直線8。與4G所成的角為90。，可知B不正確；通過證明力G1平面&BD,得C】E

的長度就是點G到平面&BD的距離，計算GE的長度可知C正確；取以。的中點G,可得等腰梯

形力1BFG就是過點B,F的平面截該正方體所得截面，計算等腰梯形為BFG的面積可知，。正

確.

本題考查立體兒何知識的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于4如圖，取BiG的中點P,連接PE,取PE的中點Q,連接&Q,

則4F〃EQ,ArF=EQ,

所以四邊形為FEQ是平行四邊形，所以EF〃AiQ,

又因AiGC&Q=&,所以直線為G,EF是異面直線，故A正確；

對于B,如圖，延長GM,CB交于點H,連接HD交48點N,連接MN,力

因為881/CG，M為的中點，則=

所以B為HC的中點,

因為力B〃CC,所以N為ZB的中點，則

因為4。〃8傳1，AD=BQ,

所以4B1GD為平行四邊形，所以4BJ/DG，

所以MN〃DC「

則平面DMC1截正方體所得截面為等腰梯形“NOG,

在等腰梯形MNDG中，

DC】=4yJ~2,MN=2yJ~2,DN=AfQ=2，T，

則梯形的高為V20-2=3，五，

所以等腰梯形M/VDG的面積為（4C+2F）x3Q=18,故B錯誤;

對于C,連接BCi，BC則BGJ.B1C,

因為4B1平面BCQBi，8也u平面BCCiB],

所以AB1B1C,

又ABnBq=B,AB,B”平面ABGDi，所以々C1平面的。必,

又因為M為BBi的中點，

所以三棱錐M-4GD1的高為381c=y/~2,

SAAQDI=2*4，"^X4=8y/~2,

所以匕-MCWi='M-ACM=§XS^J~2X>/~2=—,故C正確；

三棱錐&-BOQ為正四面體，且棱長為4/父，

每個側(cè)面的面積為gx(4V-2)2x?=8門，

11

443

X-X-X=643

三棱錐&-BOQ的體積為4332

設(shè)三棱錐&-80Q的內(nèi)切球的半徑為r,

則4x|x8/3xr=y,解得r=月，

所以三棱錐&-B0C1的內(nèi)切球的體積為g/rN=等兀，故。正確.

故選：ACD.

對于4取B1C1的中點P,連接PE,取PE的中點Q,連接&Q,證明EF〃4Q,即可判斷；對于B,

延長GM,CB交于點H,連接HD交4B點N,連接MN,ABX,說明平面DMG截正方體所得截面為

四邊形MNDG，從而可以判斷；對于C,連接BG，&C,證明&C工平面ABGDi，再根據(jù)%.MC［氏=

匕fTCQ］即可判斷；對于。，利用等體積法可求三棱錐&-8。6的內(nèi)切球的半徑，進而可求體積.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查異面直線，考查截面面積，考查內(nèi)切球的體積的求法，屬中檔

題.

13.【答案】60°或120。

【解析】解：???空間中兩個角乙4。8,乙410/1，且。4〃。141，。8〃。1當(dāng)，4408=60。,

若角乙4OB和乙41。1位方向相同，貝IJ乙41。$1=乙4OB=60°；

若角乙4OB和乙區(qū)。/1方向相反,則乙％。隹1=7T-Z.AOB=120°.

故答案為：60°或120°.

由題意，利用兩條直線所成的角的定義，空間兩直線平行的性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查兩條直線成的角的定義，空間兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】

~12~

【解析】解：在正三棱錐A-BCD中，設(shè)頂點4在底面BCD

上的射影為0,則4。平面BCD,且。為底面△BCD的中

心，

連結(jié)。。并延長，與BC交于點E,貝IJE為5c的中點，

因為底面邊長為2,所以O(shè)E=?x2=C，

故EO=g°E=?,00=|/)E=等，

又側(cè)棱長4D=3,所以A。=VAD2-OD2=

卜一(亨)2=萼,

故點4到平面BCD的距離為萼;

以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則4（0,0,萼）,B-1,0）,C（?,1,0）,。（一亨,0,0）.

所以四=（?,一1,一等），玩=（yTl,1,0）,DA=（亨，0,萼），

設(shè)平面ACO的法向量為有=(x,y,z),

Cn-DC=y/-3x+y=0

則有-RT2C」9二

n-DA=—xH———z=0

令％=1,則y=_，yz=一^^,故五=(1,_15,一普0,

則|cos＜四，元＞|=牖=耨'

所以4B與面ACC所成角的正弦值為律，

故AB與面ACD所成角的余弦值為I1-煞=岑.

\9x9612

故答案為：等；Z￡2.

利用正三棱錐的幾何性質(zhì)，設(shè)頂點4在底面BCO上的射影為。，則4。即為點4到平面BCD的距離,

利用三角形的邊角關(guān)系求解4。即可；建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)，求出直線

48的方向向量和平面ACO的法向量，然后利用向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

本題考查了點到平面距離的求解以及線面角的求解，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空

間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

15.【答案】??

【解析】解：如圖，

圖①圖②

圖①中，由題意ZB=4B=2<7，^BAC=90°,ABC=2BD=CD=4,

vBDLAD,CD1AD,二N8DC為二面角B-4D-C的平面角，

即Z_BDC=60。，圖②中，BC=2,設(shè)點4c的距離為八，

由三角形面積可知AB與CD所成角為。，

■：AB=AD+'DB，AD1DB,AD1DC,

.-.ABCD=(AD+DB)-CD=DB-'CD=2x2xcosl20。=-2.

?_?福司_2一￡

"C°SU~\AB\-\CD\一2<2x2一4,

故答案為：?；￡2.

根據(jù)折前折后不變的數(shù)量關(guān)系，二面角的平面角,利用等面積法求高，根據(jù)向量法求異面直線所

成角的余弦即可.

本題考查二面角的平面角的定義、等面積法求高、折前折后不變的數(shù)量關(guān)系、點到直線的距離、

異面直線所成角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,是中檔題.

16.【答案】三0

乙4

【解析】解：分別取BD,CD中點E,F,連接EF,AE,AF,

由448。和4BCO都是等腰直角三角形，^BAD=乙CBD=宏

可得AEJ.BD,EF1BD,貝此AEF為二面角力一B0—C的平面角，

又由AABD和ABC。都是等腰直角三角形，AB=>J~2,^BAD=/.CBD=p

BD=BC=2,AE=EF=1,BF=CF=DF=V_2,

若四面體ABC。外接球的表面積為8兀，可得四面體ABCD外接球的半徑為C，

由CD=和NCBD=*可知△BCD在四面體外接球的大圓上，

則F為四面體力BCD外接球的球心，則4F=「，

△4EF中，AE=EF=1,AF=門,則有力E?+EF2=力/2,

則乙4EF=p則此時二面角A-BD-C的大小為*

若二面角A-BD-C為亨時，則乙4EF=*

又4E=EF=1,則4F=1,

點M為線段CD上一點，則AM的最小值即為△ADF的邊。尸上的高，

Ar\r->r-4-lAPXL2+2-13

△4DF中，cos乙ADF=-~~—

???o<^ADF<n,Sin/ADF=J1-(1)2=?，

：,△4。尸的邊。尸上的高為ADsin4/WF=Cx[=孕，

???4M的最小值為華.

4

故答案為：梟孕.

乙4

首先找到四面體ABCC外接球的球心，再作出二面角A-BD-C的平面角，即可求得二面角Z-

BD-C的大??；首先確定AM的最小值即為A/WF的邊DF上的高，再利用余弦定理即可求得的

最小值.

本題考查四面體的外接球、球的大圓、球的表面積、二面角的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：因為BC1C。，平面4BC_L平面BCD,平面力BCn平面BC。=BC,

所以CD1平面ABC,

又48u平面4BC,

所以CD1AB,

5LAB1AC,AC1AB,CDC\AC=C,

所以力BIffi/ICD.

(2)由(1)知4B_1_面4c0,

所以BD在平面ACO內(nèi)的射影為4。，

所以直線BD與平面ACD所成角的為4BZM,

因為力B1面4mADu面4c0,

所以4B1AD,

所以在RMB/IO中，cosZ_BZM=緣，

DD

設(shè)CO=x,

因為在心△BCD中，/LCBD=30°,

所以BD=2x,BC=VBD2-CD2=yj(2x)2-x2=Gx,

因為在RSBAC中，Z-ABC=Z.ACB=45°,

所以AB=AC=BCsin45°=?號=?x，

所以AD=VBD2—AB2-J(2x)2—(^^x)2-

所以COSNBD4=^=^=空，

BD2x4

所以直線BD與平面AC。所成角的余弦值為H

4

【解析】（1）根據(jù)題意可得BC1CD,平面平面BCD,又面面垂直的性質(zhì)定理可得CD1平面

ABC,進而可得CD1AB,乂ABIAC,由線面垂直的判定定理，即可得出答案.

（2）根據(jù)題意可得直線BD與平面4CD所成角的為4BZM,在Rt△4BD中，cos/BDA=祟計算AD,

DD

BD,即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

18.【答案】證明：（1）由題知M,N,E三點可確定一個平面MNE,

N6平面MNE,N€B，MEu平面MNE,

可設(shè)平面MNE與平面0的交線為NA,因為ME〃0,所以ME〃M4,

又MEca,NA<t-a,故N4〃a,

又同理NF〃a,NFuB，NAu0,NACNF=N,

a〃八

(2)在直線N4取點C,使NC=ME=m,連接EC,

由(1)知NC〃ME,得四邊形MECN為平行四邊形,

MN//EC,

由MN1ME,可得MN_LNC,

又MNJ.NF,NCCNF=N,NCu￡,NFu0,

所以MN14，則EC_L平面氏

又FCu/?,所以EC1FC,

在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2=d2+FC2,

因為ME,NF所成角為0,NC//ME,所以NC,NF夾角也為。,

所以在ANCF中，乙CNF=◎或乙CNF=T[-9,

根據(jù)余弦定理知：FC2=NC2+NF2±2NC-NF-cos。=m2+n2±2mncos6,

所以EF=-Jd2+m2+n2+2mncos9■

【解析】（1）根據(jù)線面平行得出線線平行，再由面面平行的判定定理得證；

（2）通過作輔助線得RtAECF,在△NCF中，再根據(jù)余弦定理即可得證.

本題考查面面平行的證明，空間兩點的距離求法，屬中檔題.

19.【答案】（I）證明：連接4C,ACQBD=H,

??,底面4BCD是平行四邊形，

為BD中點,

???E是棱力。的中點.

.?.在△ABD中，EH//AB,

又：ABu平面P4B,EH仁平面PAB,

EH〃平面P4B.

同理可證，F(xiàn)H〃平面PAB.

又；EHCFH=H,EH,FHu面EFH,

平面EFH〃平面R4B,

???EFu平面EFH,

???EF//^PAB,

（口）證明：（i）如圖,連接PE,BE.

BA=BD=。，AD=2,PA=PD=C，

BE=1,PE=2.

又E為4c的中點，

BE1AD,PE14。，

NPEB即為二面角P-AD-B的平面角,

即"EB=60°,PB=V-3.

??,△PBD中，BD2+PB2=PD2,

：.PB1.BD,同理

而4BCBD=B,且ZB,BDu平面力BCD,

PB1平面ABC。，

vPBu平面PBC,

.,?平面PBC?1平面ABC。；

(ii)解：由(i)知，PB1BD,PB1BA,

■:BA=BD=C，AD=2,

???BD1BA,

BD,BA,BP兩兩垂直，

以B為坐標(biāo)原點，分別以8。，BA,BP為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-DAP,

則有4(0,，^,0)，B(0,0,0),(?(。,一。,0),

D(C,0,0),P(0,0,C)，

BC=-々0)，前=(0,0,43)，

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x,y,z),

..伊.阿=0,

'〔記.麗=0,

.(yf~2x-/~2y=0

?'lCz=0

令x=1,則y=1,z=0,

故元=(1,1,0),

E,F分別是棱力D,PC的中點,

cC'Tzc、,y/~2-T2口、

???EQ，”-，o），c

■.EF=憐，

設(shè)直線EF與平面PBC所成角為0,

Asin0=|cos<n,EF>|

\n\\EF\

_|-<2|2<n

Fx空一11，

即直線EF與平面PBC所成角的正弦值為竺H.

11

【解析】本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相

關(guān)的判定定理，屬于拔高題.

(I)要證明EF〃平面PAB,可以先證明平面EFH〃平面PAB,而要證明面面平行則可用面面平行

的判定定理來證：

(H)(i)要證明平面PBC1平面4BCD,可用面面垂直的判定定理，即只需證PB_L平面ABC。即可;

(五)由。)知，BD,BA,BP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系B-D4P,得到請與平面PBC法向量，

其夾角的余弦值的絕對值即為所成角的正弦值.

20.【答案】解：(1)證明：如圖所示：連接4劣交4D于點。，則。為A%的中點.

A/、..I/。

EB

由題意可知，四邊形40D1&是正方形，

所以&01401.

因為481平面40。送1，&Du平面4叫&,

所以4B

又因為ABu平面40亞，ADru平面也E,AB(}AD1=A,

所以為。J_平面4。出，

又。iEu平面4?；?，

所以4D1D1E,即DiEl&D

np1

(2)存在一點P滿足西=5時，使得力P〃平面ED1C,

r)pi

當(dāng)點P滿足贏=即P為CDi的中點，

取C"的中點Q,連接PQ,EQ,

在ACCiC中，PQ//QCS.PQ=\DC,

因為E是4B的中點，長方體AG，

所以4E〃DC且4E=加，

所以AE〃PQ且4E=PQ,

所以在/1EPQ,AP//EQ,

又EQu平面DiEC,AP仁平面D[EC,

所以AP〃平面DiEC.

(3)連接DE,設(shè)D到平面QEC所成的距離為九,

根據(jù)題意可得_L平面4BCD,

因為矩形ABC。，點E是AB的中點，

所以SADCE=；S矩形ABCD=；X1X2=1,

所以V^I-DCE=5S4DCE■DDI=§X]X1=W，

222

在RT△中，DXC=-JDD^+DC=Vl+2=V~~5>

在RTAADE中，DE=VAD2+AE2=

因為叫_L平面4BCD,DEu平面4BCD,

所以1DE,

在RT^OiOE中,=yjDD^+DE2=JI2+(V-2)2=y/~3<

在RT△BCE中，EC=VBC2+BE2=V_7，

所以D1E2+EC2=CD2,

所以ED11CE,

所以SA/CE=xEC=1xV~3xV-2=?,

KD-D]CE=%-DCE，

所以§SA°IECXh=E'

所以/!=?，

所以。到平面DiEC所成的距離為?.

【解析】(1)連接4劣交占。于點。，則。為4名的中點，由幾何體的特征結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理

可得力再由線面垂直的判定定理可得1平面ADiE,即可得出答案.

r)p1

(2)當(dāng)點P滿足西=5，即P為。么的中點，取CD]的中點Q,連接PQ,EQ,由三角形中位線定理

可得PQ〃QC且PQ=^DC,AE//DCS.AE=\DC,進而可得4E〃PQ且4E=PQ,再由線面平行

的判定定理，即可得出答案.

1-1

(3)連接CE,設(shè)。到平面5EC所成的距離為八，可得另曲=尹矩形ABCD=5*1x2=1,也一阻=

“ADCEDDI=1x1x1=j,由DO】_L平面4BCD,得DDi1DE,ED11CE,推出SA%CE=1D1FX

EC=；XV-3Xy/~2=~Y',又%>-DiCE=^Dj-DCE>即可得出答案.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，點到直線的距離，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：如圖，連接/C與BC1交于點0,連D。，

在斜三棱柱ABC-AiBiG中，

四邊形BCQB1是菱形，

則。是81c的中點，乂。是AC中點，

即。。為△4B]C的中位線，

所以ABJ/。。，

又核《平面BDG，DOu平面BDG，

可證得：AB1〃平面BDG；

(2)取41cl的中點E,連4E,斜三棱柱4BC-&B1C1底面△4B1G邊長均為2,

則/E14C「

平面ACC14_L平面4$1的，平面ACC14n平面=A^,BrEu平面&BiG，

則&E_L平面力CG&,所以ZB/E即為AB1與平面ZCC14所成角,

RtABiAE中，B、E=C，tan/BiAE=茅=^，則力E=「，又AA】=2,&E=2,

則在△44E中，乙441G=120°,則乙41AG=60°,

由三棱柱中，AA//BB],41c"/