向量數(shù)量積的坐標運算第1課時高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第三冊

向量數(shù)量積的坐標運算第1課時新知探究問題1

平面向量除了幾何表示外，還可以用坐標表示，向量的坐標表示在解決向量的加、減、數(shù)乘和向量共線等問題上為我們帶來了很大的便利．那么如何用向量的坐標來表示向量數(shù)量積的運算呢？新知探究向量的坐標表示與向量的數(shù)量積在平面直角坐標系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后，如果對于平面內(nèi)的向量，有，則（x，y）就是向量的坐標，記作

＝（x，y）．而且，是單位正交基底，這就是說，ya·e2xa·e1e1e2O因此，類似的，有，即也就是說，在單位正交基底下的坐標為新知探究問題2設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標表示出？由向量坐標的定義可知，存在單位正交基底使得因此，從而，新知探究在平面直角坐標系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），則問題2設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標表示出？特別的從而因此新知探究1．在平面直角坐標系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后，如果對于平面內(nèi)的向量，有，則（x，y）就是向量的坐標，記作2．設(shè)則3．在平面直角坐標系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），則新知探究問題3設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標表示出？解答：因為的充要條件是，因此新知探究問題3設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標表示出？這就是說，利用向量的坐標與向量的數(shù)量積，可以方便地表達出向量垂直的條件．設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），則?x1x2＋y1y2＝0．初步應(yīng)用例1

已知

＝（3，－1），＝（1，－2），求解答：由題意可知：又因為，所以初步應(yīng)用利用向量的數(shù)量積求兩個非零向量夾角的步驟：利用兩個向量數(shù)量積的坐標公式求出兩個向量的數(shù)量積；求出兩個向量的模；由求出兩個向量夾角的余弦值；在[0，π]范圍內(nèi)根據(jù)的值確定兩個非零向量的夾角初步應(yīng)用例2

已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），求（a＋2b）·（a－3b）．解答：a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10．初步應(yīng)用進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關(guān)系：|a|2＝a·a；（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2；（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．初步應(yīng)用例3

已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的余弦值．解答：因為＝（3－1，4－2）＝（2，2），＝（5，－1，0－2）＝（4，－2），所以，

＝2×4＋2×（－2）＝4因此：初步應(yīng)用例4

已知點A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求證：證明：因為

＝（2，3）－（1，2）＝（1，1），＝（－2，5）－（1，2）＝（－3，3）所以：

＝（1，1）·（－3，3）＝1×（－3）＋1×3＝0因此初步應(yīng)用通過計算兩非零向量的數(shù)量積為0達到證明垂直的目的，即?x1x2＋y1y2＝0．練習練習：第85頁練習A1