第一篇專(zhuān)題三第9講電場(chǎng)

第9講電場(chǎng)目標(biāo)要求1.理解電場(chǎng)的性質(zhì)，會(huì)比較場(chǎng)強(qiáng)大小，電勢(shì)高低，電勢(shì)能大小，會(huì)分析和計(jì)算靜電力做功。2.會(huì)通過(guò)電場(chǎng)中的圖像來(lái)分析問(wèn)題。3.會(huì)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)分析處理帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題?？键c(diǎn)一電場(chǎng)的性質(zhì)1．電場(chǎng)強(qiáng)度的分析與計(jì)算(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向是正電荷所受靜電力的方向，也是電場(chǎng)線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方向，電場(chǎng)的強(qiáng)弱(電場(chǎng)強(qiáng)度的大小)可根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)的疏密程度來(lái)進(jìn)行比較。(2)計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度常用的方法：公式法、平衡條件求解、疊加合成法、對(duì)稱(chēng)法、補(bǔ)償法、等效法。2．電勢(shì)高低的判斷判斷依據(jù)判斷方法電場(chǎng)線(xiàn)方向沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低場(chǎng)源電荷的正負(fù)取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，正電荷周?chē)妱?shì)為正值，負(fù)電荷周?chē)妱?shì)為負(fù)值；越靠近正電荷處電勢(shì)越高，越靠近負(fù)電荷處電勢(shì)越低電勢(shì)能的大小正電荷在電勢(shì)能大處電勢(shì)較高，負(fù)電荷在電勢(shì)能大處電勢(shì)較低靜電力做功根據(jù)UAB＝eq\f(WAB,q)，將WAB、q的正負(fù)號(hào)代入，由UAB的正負(fù)判斷φA、φB的高低3.電勢(shì)能大小的判斷(1)做功判斷法：由WAB＝EpA－EpB可知，靜電力做正功，電勢(shì)能減?。混o電力做負(fù)功，電勢(shì)能增大。(2)電荷電勢(shì)法：由Ep＝qφ可知，正電荷在電勢(shì)高的地方電勢(shì)能大，負(fù)電荷在電勢(shì)低的地方電勢(shì)能大。(3)能量守恒法：若只有靜電力做功，電荷的動(dòng)能和電勢(shì)能之和守恒，動(dòng)能增大時(shí)，電勢(shì)能減小，動(dòng)能減小時(shí)，電勢(shì)能增大。例1(多選)(2022·重慶卷·8)如圖為兩點(diǎn)電荷Q、Q′的電場(chǎng)等勢(shì)面分布示意圖，Q、Q′位于x軸上，相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差為3V。若x軸上的M點(diǎn)和N點(diǎn)位于0V等勢(shì)面上，P為某等勢(shì)面上一點(diǎn)，則()A．N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小比M點(diǎn)的大B．Q為正電荷C．M點(diǎn)的電場(chǎng)方向沿x軸負(fù)方向D．P點(diǎn)與M點(diǎn)的電勢(shì)差為12V答案AD解析等差等勢(shì)面的疏密程度反映電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，由題圖可知N點(diǎn)的等差等勢(shì)面比M點(diǎn)更密，則N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小比M點(diǎn)的大，故A正確；沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低，由題圖可知電場(chǎng)線(xiàn)由N指向Q，則Q為負(fù)電荷，故B錯(cuò)誤；沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低，結(jié)合各等勢(shì)面的電勢(shì)高低關(guān)系可知M點(diǎn)的電場(chǎng)方向沿x軸正方向，故C錯(cuò)誤；M點(diǎn)與N點(diǎn)電勢(shì)均為0V，P點(diǎn)與N點(diǎn)的等勢(shì)面間有四個(gè)等勢(shì)間隔，而相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差為3V，則P點(diǎn)與M點(diǎn)的電勢(shì)差為12V，故D正確。例2(多選)(2022·全國(guó)乙卷·19)如圖，兩對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上。L、N是該正方形兩條對(duì)角線(xiàn)與其內(nèi)切圓的交點(diǎn)，O為內(nèi)切圓的圓心，M為切點(diǎn)。則()A．L和N兩點(diǎn)處的電場(chǎng)方向相互垂直B．M點(diǎn)的電場(chǎng)方向平行于該點(diǎn)處的切線(xiàn)，方向向左C．將一帶正電的點(diǎn)電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到O點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功D．將一帶正電的點(diǎn)電荷從L點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為零解題指導(dǎo)關(guān)鍵表述解讀兩對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷可進(jìn)行兩兩組合固定于正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上對(duì)角線(xiàn)既是其中兩個(gè)電荷的連線(xiàn)，又是另外兩個(gè)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)推理論證A.L和N兩點(diǎn)處的電場(chǎng)方向相互垂直兩個(gè)－q一組，兩個(gè)＋q一組進(jìn)行場(chǎng)強(qiáng)疊加B.M點(diǎn)的電場(chǎng)方向平行于該點(diǎn)處的切線(xiàn)，方向向左水平＋q、－q為一組，變?yōu)閮山M等量的異種電荷，進(jìn)行疊加C.將一帶正電的點(diǎn)電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到O點(diǎn)，靜電力做正功D.將一帶正電的點(diǎn)電荷從L點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，靜電力做功為零兩個(gè)－q一組，兩個(gè)＋q一組進(jìn)行電勢(shì)疊加，N點(diǎn)電勢(shì)高于L點(diǎn)，靜電力做功不為零答案AB解析兩個(gè)正點(diǎn)電荷在N點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向由N指向O，N點(diǎn)處于兩負(fù)點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，則兩個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷在N點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向由N指向O，則N點(diǎn)的合電場(chǎng)強(qiáng)度方向由N指向O，同理可知，L處的合電場(chǎng)強(qiáng)度方向由O指向L。由于正方形兩對(duì)角線(xiàn)垂直平分，則L和N兩點(diǎn)處的電場(chǎng)方向相互垂直，故A正確；正方形底邊的一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷在M點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向向左，而正方形上方的一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷在M點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右，由于M點(diǎn)離上方一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷距離較遠(yuǎn)，則M點(diǎn)的合電場(chǎng)方向向左，故B正確；由題圖可知，M和O點(diǎn)位于兩對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)線(xiàn)上，即M和O點(diǎn)電勢(shì)相等，所以將一帶正電的點(diǎn)電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到O點(diǎn)，靜電力做功為零，故C錯(cuò)誤；由題圖結(jié)合等量異號(hào)點(diǎn)電荷模型可知，L點(diǎn)的電勢(shì)低于N點(diǎn)電勢(shì)，則將一帶正電的點(diǎn)電荷從L點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，靜電力做功不為零，故D錯(cuò)誤。例3(2022·河北卷·6)如圖，真空中電荷量為2q和－q(q>0)的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別位于M點(diǎn)與N點(diǎn)，形成一個(gè)以MN延長(zhǎng)線(xiàn)上O點(diǎn)為球心，電勢(shì)為零的等勢(shì)面(取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零)，P為MN連線(xiàn)上的一點(diǎn)，S為等勢(shì)面與直線(xiàn)MN的交點(diǎn)，T為等勢(shì)面上的一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．P點(diǎn)電勢(shì)低于S點(diǎn)電勢(shì)B．T點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向指向O點(diǎn)C．除無(wú)窮遠(yuǎn)處外，MN直線(xiàn)上還存在兩個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)D．將正試探電荷q0從T點(diǎn)移到P點(diǎn)，靜電力做正功答案B解析在直線(xiàn)MN上，正電荷在M點(diǎn)右側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度水平向右，負(fù)電荷在N點(diǎn)左側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度水平向右，根據(jù)電場(chǎng)的疊加可知MN間的電場(chǎng)強(qiáng)度水平向右，沿著電場(chǎng)線(xiàn)電勢(shì)逐漸降低，可知P點(diǎn)電勢(shì)高于等勢(shì)面與MN交點(diǎn)處電勢(shì)，則P點(diǎn)電勢(shì)高于S點(diǎn)電勢(shì)，故A錯(cuò)誤；由于正電荷的電荷量大于負(fù)電荷電荷量，可知在N點(diǎn)的左側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度不可能為零，設(shè)M、N之間的距離為L(zhǎng)，在N點(diǎn)右側(cè)與N點(diǎn)距離為d的點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，則有eq\f(k·2q,L＋d2)＝eq\f(k·q,d2)，可知除無(wú)窮遠(yuǎn)處外，直線(xiàn)MN上電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；由A選項(xiàng)分析可知：T點(diǎn)電勢(shì)低于P點(diǎn)電勢(shì)，則正電荷在T點(diǎn)的電勢(shì)能低于在P點(diǎn)的電勢(shì)能，將正試探電荷q0從T點(diǎn)移到P點(diǎn)，電勢(shì)能增加，靜電力做負(fù)功，故D錯(cuò)誤；由于電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于等勢(shì)面，可知T點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向所在直線(xiàn)必過(guò)等勢(shì)面的球心O，根據(jù)異種電荷的電場(chǎng)線(xiàn)分布情況可知，N、S間電場(chǎng)線(xiàn)方向由S指向N，則φS>φO，由于φT＝φS，則φT>φO，故T點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向指向O點(diǎn)，故B正確?？键c(diǎn)二電場(chǎng)中的圖像問(wèn)題電場(chǎng)中幾種常見(jiàn)的圖像v－t圖像當(dāng)帶電粒子只受靜電力時(shí)，從v－t圖像上能確定粒子運(yùn)動(dòng)的加速度方向、大小變化情況，進(jìn)而可判定粒子運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向、電場(chǎng)強(qiáng)度大小、電勢(shì)高低及電勢(shì)能的變化情況φ－x圖像(1)從φ－x圖像中可以直接判斷各點(diǎn)電勢(shì)的高低，進(jìn)而確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向及試探電荷電勢(shì)能的變化(2)φ－x圖線(xiàn)切線(xiàn)的斜率大小表示沿x軸方向電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小E－x圖像以電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸方向?yàn)槔?1)E>0表示電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸正方向，E<0表示電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸負(fù)方向(2)圖線(xiàn)與x軸圍成的“面積”大小表示電勢(shì)差大小，兩點(diǎn)的電勢(shì)高低需根據(jù)電場(chǎng)方向判定Ep－x圖像(1)圖像的切線(xiàn)斜率大小表示靜電力大小(2)可用于判斷電場(chǎng)強(qiáng)度、動(dòng)能、加速度等隨位移的變化情況例4(多選)(2023·云南麗江市一模)如圖甲所示，在x軸上固定兩個(gè)帶電荷量分別為＋4q、－q的點(diǎn)電荷，以其中的某一電荷為原點(diǎn)，兩電荷所形成的電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸正半軸上的分布如圖乙所示，下列說(shuō)法正確的是()A．正電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)，負(fù)電荷在x＝eq\f(x2,2)的位置B．負(fù)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)，正電荷在x＝－x2的位置C．在x軸上x(chóng)>x2區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸正方向D．一帶負(fù)電試探電荷從O處移到x2處，電勢(shì)能先減小后增加答案BC解析由φ－x圖像可知，原點(diǎn)附近的電勢(shì)為負(fù)且絕對(duì)值很大，可知負(fù)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)。φ－x圖像斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小，x＝x2位置電場(chǎng)強(qiáng)度為零，根據(jù)keq\f(4q,x2＋x32)＝keq\f(q,x22)，解得x3＝x2，正電荷在x＝－x2的位置，故A錯(cuò)誤，B正確；在x軸上x(chóng)>x2區(qū)域電勢(shì)一直減小，電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸正方向，故C正確；從O處移到x2處，電勢(shì)不斷增加，則帶負(fù)電試探電荷從O移到x2處電勢(shì)能不斷減小，故D錯(cuò)誤。例5(多選)(2023·湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)如圖所示，兩個(gè)等大、平行放置的均勻帶電圓環(huán)相距l(xiāng)0，所帶電荷量分別為＋Q、－Q，圓心A、B連線(xiàn)垂直于圓環(huán)平面。以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿AB方向建立x軸，將帶正電的粒子(重力不計(jì))從A點(diǎn)靜止釋放，無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，下列關(guān)于電勢(shì)φ、電場(chǎng)強(qiáng)度E、粒子的動(dòng)能Ek和電勢(shì)能Ep隨位移x的變化圖線(xiàn)中，可能正確的是()答案AC解析設(shè)O′為AB中點(diǎn)，根據(jù)電勢(shì)的疊加可知，O′點(diǎn)的電勢(shì)為0，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于O′點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則A、B兩點(diǎn)電勢(shì)大小相等，符號(hào)相反，故A正確；在A點(diǎn)，＋Q環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為0，但－Q環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度不為0，即圖像不過(guò)原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理W＝qEx＝Ek－0＝Ek，則Ek－x圖像斜率表示靜電力qE，而在O′點(diǎn)靜電力最大，故圖像x＝eq\f(l0,2)處斜率最大，故C正確；由于A、B處的電勢(shì)一正一負(fù)，絕對(duì)值相等，根據(jù)Ep＝φq可知，粒子在A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)能也是一正一負(fù)，絕對(duì)值相等，故D錯(cuò)誤。考點(diǎn)三帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)重力的處理基本粒子一般不考慮重力，帶電體(如液滴、油滴、塵埃等)一般不能忽略重力，除有說(shuō)明或明確的暗示外。2．帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中的常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)及分析方法常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)受力特點(diǎn)分析方法靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)合外力F合＝0共點(diǎn)力平衡變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)合外力F合≠0，且與初速度方向在同一條直線(xiàn)上1.用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)分析：a＝eq\f(F合,m)，E＝eq\f(U,d)，v2－v02＝2ad，適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)2．用功能觀點(diǎn)分析：W＝qU＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，勻強(qiáng)和非勻強(qiáng)電場(chǎng)都適用帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)v0⊥E，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的分解偏轉(zhuǎn)角：tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(qU2l,mdv02)＝eq\f(U2l,2U1d)＝eq\f(2y0,l)側(cè)移距離：y0＝eq\f(qU2l2,2mdv02)＝eq\f(U2l2,4dU1)，y＝y(tǒng)0＋Ltanθ＝(eq\f(l,2)＋L)tanθ粒子斜射入電場(chǎng)，粒子做類(lèi)斜拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的分解垂直電場(chǎng)方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：x＝v0tsinθ沿電場(chǎng)方向做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：y＝v0tcosθ－eq\f(1,2)eq\f(qE,m)t2帶電粒子在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)靜電力在變化動(dòng)能定理，能量守恒定律3．帶電體在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法(1)對(duì)帶電體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決問(wèn)題。(2)根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒的觀點(diǎn)，分析帶電體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往涉及重力勢(shì)能、電勢(shì)能以及動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化，總的能量保持不變。例6(2023·廣東省高三調(diào)研)負(fù)離子吹風(fēng)筒是目前比較流行的吹風(fēng)筒。如圖，某負(fù)離子吹風(fēng)筒吹出含有大量氧離子(－2e)的空氣，沿水平方向進(jìn)入電壓為U的加速電場(chǎng)，之后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板水平且兩極板間電壓恒為U，極板間距為d，長(zhǎng)度也為d。若空氣流中所含氧離子分布均勻且橫截面積足夠大，氧離子質(zhì)量為m，不考慮空氣流分層現(xiàn)象，不計(jì)離子間作用力，不計(jì)空氣對(duì)離子流和電場(chǎng)的影響，不計(jì)氧離子重力以及氧離子進(jìn)入加速電場(chǎng)的初速度，求：(1)氧離子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度大?。?2)能夠離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的氧離子占進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)氧離子的比例。答案(1)2eq\r(\f(eU,m))(2)eq\f(3,4)解析(1)氧離子進(jìn)入加速電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理有2eU＝eq\f(1,2)mv02，解得v0＝2eq\r(\f(eU,m))(2)氧離子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度為E＝eq\f(U,d)根據(jù)牛頓第二定律有2eE＝ma解得a＝eq\f(2eU,md)若氧離子能夠射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得t＝eq\f(d,v0)，y＝eq\f(1,2)at2聯(lián)立解得y＝eq\f(d,4)因此，距上極板e(cuò)q\f(d,4)的氧離子恰好能夠離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，能夠離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的氧離子占能夠進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)氧離子的比例為k＝eq\f(d－y,d)＝eq\f(3,4)例7(多選)(2023·四川省綿陽(yáng)市第二次診斷)如圖所示，質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小圓環(huán)套在半徑為R的光滑絕緣大圓環(huán)上，大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，O為環(huán)心，A為最低點(diǎn)，B為最高點(diǎn)。在大圓環(huán)所在的豎直平面內(nèi)施加水平向右、電場(chǎng)強(qiáng)度為eq\f(mg,q)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，并同時(shí)給在A點(diǎn)的小圓環(huán)一個(gè)向右的水平初速度v0，小圓環(huán)恰好能夠沿大圓環(huán)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小圓環(huán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()A．動(dòng)能最小與最大的位置在同一等勢(shì)面上B．電勢(shì)能最小的位置恰是機(jī)械能最大的位置C．在A點(diǎn)獲得的初速度為eq\r(21＋\r(2)gR)D．過(guò)B點(diǎn)受到大環(huán)的彈力大小為mg答案BC解析由于勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為eq\f(mg,q)，即靜電力與重力大小相等，作出小圓環(huán)在大圓環(huán)上的等效最低點(diǎn)C與等效最高點(diǎn)D，如圖所示。小圓環(huán)在等效最低點(diǎn)速度最大，動(dòng)能最大，在等效最高點(diǎn)速度最小，動(dòng)能最小，根據(jù)沿電場(chǎng)線(xiàn)電勢(shì)降低，可知φD>φCC點(diǎn)與D點(diǎn)不在同一等勢(shì)面上，A錯(cuò)誤；小圓環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有電勢(shì)能、動(dòng)能與重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，即只有電勢(shì)能與機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，則電勢(shì)能最小的位置恰是機(jī)械能最大的位置，B正確；小圓環(huán)恰好能夠沿大圓環(huán)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，即小圓環(huán)通過(guò)等效最高點(diǎn)D的速度為0，對(duì)圓環(huán)分析有－qERsin45°－mg(R＋Rcos45°)＝0－eq\f(1,2)mvA2解得vA＝eq\r(21＋\r(2)gR)，C正確；小圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程有－mg·2R＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2在B點(diǎn)有FN＋mg＝meq\f(vB2,R)解得FN＝(2eq\r(2)－3)mg<0可知，小圓環(huán)過(guò)B點(diǎn)受到大環(huán)的彈力大小為(3－2eq\r(2))mg，D錯(cuò)誤。帶電體在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的疊加場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)(1)等效重力法將重力與靜電力進(jìn)行合成，如圖所示，則F合為等效重力場(chǎng)中的“重力”，g′＝eq\f(F合,m)為等效重力場(chǎng)中的“等效重力加速度”，F(xiàn)合的方向等效為“重力”的方向，即在等效重力場(chǎng)中的豎直向下方向。(2)等效最高點(diǎn)和最低點(diǎn)：在“等效重力場(chǎng)”中做圓周運(yùn)動(dòng)的小球，過(guò)圓心作合力的平行線(xiàn)，交于圓周上的兩點(diǎn)即為等效最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。例8(2023·安徽合肥市一模)如圖所示，一絕緣細(xì)直桿AC固定在方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，直桿與電場(chǎng)線(xiàn)夾角為45°，桿長(zhǎng)為l＝eq\f(3\r(2),2)m。一套在直桿上的帶電小環(huán)，由桿A端以某一速度勻速下滑，小環(huán)離開(kāi)桿后恰好通過(guò)桿C端正下方P點(diǎn)，C、P兩點(diǎn)相距h。已知環(huán)的質(zhì)量m＝0.5kg，環(huán)與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(1,3)，h＝1.2m，重力加速度g取10m/s2。求：(1)小環(huán)從桿A端運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間；(2)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到桿A端正下方時(shí)的動(dòng)能Ek。答案(1)1.9s(2)34.25J解析(1)小環(huán)從A到C的過(guò)程中勻速下滑，設(shè)小環(huán)所受靜電力為F，因小環(huán)能到P點(diǎn)，故F方向向右，對(duì)小環(huán)受力分析可得mgsin45°＝Fcos45°＋FfFN＝mgcos45°＋Fsin45°又因?yàn)镕f＝μFN解得F＝2.5N小環(huán)從C到P的過(guò)程中，在水平方向有ax＝eq\f(F,m)0＝vcos45°·t1－eq\f(1,2)axt12豎直方向有h＝vsin45°·t1＋eq\f(1,2)gt12解得t1＝0.4s，v＝eq\r(2)m/s，ax＝5m/s2則小環(huán)從A運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間為t＝eq\f(l,v)＋t1＝1.9s；(2)小環(huán)從C到A正下方的過(guò)程中，在水平方向有vx＝vcos45°－axt2，－lcos45°＝vcos45°·t2－eq\f(1,2)axt22豎直方向有vy＝vsin45°＋gt2解得vx＝－4m/s，vy＝11m/s則小環(huán)運(yùn)動(dòng)到桿A端正下方時(shí)的動(dòng)能為Ek＝eq\f(1,2)m(vx2＋vy2)＝34.25J。1.(多選)(2023·四川德陽(yáng)市聯(lián)考)如圖所示，電荷量分別為q和－q(q>0)的點(diǎn)電荷固定在正四面體的兩頂點(diǎn)上，a、b是正四面體的另外兩個(gè)頂點(diǎn)。則()A．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的電勢(shì)相等B．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的電勢(shì)不相等C．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等大但方向不同D．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等大且方向相同答案AD解析如圖所示，O為兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)，則平面Oab為等量異種點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂面，根據(jù)等量異種點(diǎn)電荷電勢(shì)分布特點(diǎn)可知，中垂面為一等勢(shì)面，則a點(diǎn)和b點(diǎn)的電勢(shì)相等，故A正確，B錯(cuò)誤；由圖可知，a點(diǎn)到等量異種點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)O的距離等于b點(diǎn)到等量異種點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)O的距離，根據(jù)等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度分布特點(diǎn)可知，a點(diǎn)和b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，a點(diǎn)和b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均與q、－q連線(xiàn)平行，方向由q指向－q，即a點(diǎn)和b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等大且方向相同，故C錯(cuò)誤，D正確。2．(多選)(2023·江西九江市三模)如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R的圓周，A、D兩點(diǎn)為其水平直徑的兩端，C、F兩點(diǎn)為其豎直直徑的兩端?？臻g有與圓周平面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在圓周上的B點(diǎn)有一粒子源，在圓周平面內(nèi)，以相同大小的初速度v0沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m的帶相同正電荷的微粒。對(duì)比到達(dá)圓周上各點(diǎn)的微粒的能量，發(fā)現(xiàn)到達(dá)D點(diǎn)的微粒機(jī)械能最大，到達(dá)E點(diǎn)的微粒動(dòng)能最大。已知重力加速度為g，則()A．電場(chǎng)的方向沿半徑O到EB．微粒所受靜電力大小為eq\f(\r(3),3)mgC．微粒動(dòng)能的最小值為eq\f(1,2)mv02－(eq\f(2\r(3),3)－1)mgRD．微粒動(dòng)能的最大值為eq\f(1,2)mv02＋(eq\f(\r(3),3)－1)mgR答案BC解析微粒從B到達(dá)D點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最大，說(shuō)明從B到D靜電力做功最多，由數(shù)學(xué)關(guān)系知過(guò)D點(diǎn)作圓的切線(xiàn)為電場(chǎng)的等勢(shì)線(xiàn)，即電場(chǎng)沿OD方向，故A錯(cuò)誤；在E點(diǎn)的微粒動(dòng)能最大，說(shuō)明從B到E合力做功最多，即重力和靜電力的合力方向沿OE方向，根據(jù)幾何關(guān)系有Eq＝mgtan30°＝eq\f(\r(3),3)mg，故B正確；微粒運(yùn)動(dòng)到圓周上與E點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的P點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能最小，從B點(diǎn)到P點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得－F合R(1－cos30°)＝Ekmin－eq\f(1,2)mv02，F(xiàn)合＝eq\f(mg,cos30°)，解得Ekmin＝eq\f(1,2)mv02－(eq\f(2\r(3),3)－1)mgR，故C正確；微粒運(yùn)動(dòng)到圓周上E點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能最大，從B點(diǎn)到E點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得F合R(1＋cos30°)＝Ekmax－eq\f(1,2)mv02，解得Ekmax＝eq\f(1,2)mv02＋(eq\f(2\r(3),3)＋1)mgR，故D錯(cuò)誤。專(zhuān)題強(qiáng)化練[保分基礎(chǔ)練]1．(多選)(2023·遼寧卷·9)圖(a)為金屬四極桿帶電粒子質(zhì)量分析器的局部結(jié)構(gòu)示意圖，圖(b)為四極桿內(nèi)垂直于x軸的任意截面內(nèi)的等勢(shì)面分布圖，相鄰兩等勢(shì)面間電勢(shì)差相等，則()A．P點(diǎn)電勢(shì)比M點(diǎn)的低B．P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小比M點(diǎn)的大C．M點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿z軸正方向D．沿x軸運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，電勢(shì)能不變答案CD解析由圖結(jié)合電場(chǎng)線(xiàn)由電勢(shì)為高的等勢(shì)面指向電勢(shì)低的等勢(shì)面，可知P點(diǎn)電勢(shì)比M點(diǎn)的高，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因M點(diǎn)所在的等差等勢(shì)面密集，則M點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)比P點(diǎn)大，即P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小比M點(diǎn)的小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；場(chǎng)強(qiáng)方向垂直等勢(shì)面，且沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低，可知M點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿z軸正方向，選項(xiàng)C正確；因x軸上各點(diǎn)電勢(shì)相等，則沿x軸運(yùn)動(dòng)的帶電粒子電勢(shì)能不變，選項(xiàng)D正確。2．(2023·全國(guó)乙卷·19)在O點(diǎn)處固定一個(gè)正點(diǎn)電荷，P點(diǎn)在O點(diǎn)右上方。從P點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)帶負(fù)電的小球，小球僅在重力和該點(diǎn)電荷電場(chǎng)力作用下在豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其一段軌跡如圖所示。M、N是軌跡上的兩點(diǎn)，OP>OM，OM＝ON，則小球()A．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電勢(shì)能先增加后減少B．在P點(diǎn)的電勢(shì)能大于在N點(diǎn)的電勢(shì)能C．在M點(diǎn)的機(jī)械能等于在N點(diǎn)的機(jī)械能D．從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力始終不做功答案BC解析由題知，OP>OM，OM＝ON，則根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布情況可知φM＝φN>φP，則帶負(fù)電的小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電勢(shì)能先減小后增大，且EpP>EpM＝EpN，則帶負(fù)電的小球在M點(diǎn)的機(jī)械能等于在N點(diǎn)的機(jī)械能，A錯(cuò)誤，B、C正確；從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功，D錯(cuò)誤。3．(多選)(2023·廣東卷·9)電子墨水是一種無(wú)光源顯示技術(shù)，它利用電場(chǎng)調(diào)控帶電顏料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈現(xiàn)出不同顏色。透明面板下有一層膠囊，其中每個(gè)膠囊都是一個(gè)像素。如圖所示，膠囊中有帶正電的白色微粒和帶負(fù)電的黑色微粒。當(dāng)膠囊下方的電極極性由負(fù)變正時(shí)，微粒在膠囊內(nèi)遷移(每個(gè)微粒電量保持不變)，像素由黑色變成白色。下列說(shuō)法正確的有()A．像素呈黑色時(shí)，黑色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)高于白色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)B．像素呈白色時(shí)，黑色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)低于白色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)C．像素由黑變白的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)白色微粒做正功D．像素由白變黑的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)黑色微粒做負(fù)功答案AC解析像素呈黑色時(shí)，當(dāng)膠囊下方的電極帶負(fù)電，像素膠囊里電場(chǎng)線(xiàn)方向向下，所以黑色微粒所在的區(qū)域的電勢(shì)高于白色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)，故A正確；像素呈白色時(shí)，當(dāng)膠囊下方的電極帶正電，像素膠囊里電場(chǎng)線(xiàn)方向向上，所以黑色微粒所在的區(qū)域的電勢(shì)高于白色微粒所在區(qū)域的電勢(shì)，故B錯(cuò)誤；像素由黑變白的過(guò)程中，白色微粒受到的電場(chǎng)力向上，位移向上，電場(chǎng)力對(duì)白色微粒做正功，故C正確；像素由白變黑的過(guò)程中，黑色微粒受到的電場(chǎng)力向下，位移向下，電場(chǎng)力對(duì)黑色微粒做正功，故D錯(cuò)誤。4.(2022·山東卷·3)半徑為R的絕緣細(xì)圓環(huán)固定在圖示位置，圓心位于O點(diǎn)，環(huán)上均勻分布著電量為Q的正電荷。點(diǎn)A、B、C將圓環(huán)三等分，取走A、B處兩段弧長(zhǎng)均為ΔL的小圓弧上的電荷。將一點(diǎn)電荷q置于OC延長(zhǎng)線(xiàn)上距O點(diǎn)為2R的D點(diǎn)，O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度剛好為零。圓環(huán)上剩余電荷分布不變，q為()A．正電荷，q＝eq\f(QΔL,πR)B．正電荷，q＝eq\f(\r(3)QΔL,πR)C．負(fù)電荷，q＝eq\f(2QΔL,πR)D．負(fù)電荷，q＝eq\f(2\r(3)QΔL,πR)答案C解析取走A、B處兩段弧長(zhǎng)均為ΔL的小圓弧上的電荷，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)的圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為與A在同一直徑上的A1和與B在同一直徑上的B1產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，如圖所示，因?yàn)閮啥位￠L(zhǎng)非常小，故可看成點(diǎn)電荷，則有E1＝keq\f(\f(QΔL,2πR),R2)＝keq\f(QΔL,2πR3)，由題意可知，兩電場(chǎng)強(qiáng)度方向的夾角為120°，由幾何關(guān)系得兩者的合電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E＝E1＝keq\f(QΔL,2πR3)，方向沿CO，由C指向O，根據(jù)O點(diǎn)的合電場(chǎng)強(qiáng)度為0，則放在D點(diǎn)的點(diǎn)電荷帶負(fù)電，在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E′＝E＝keq\f(QΔL,2πR3)，又E′＝keq\f(q,2R2)，聯(lián)立解得q＝eq\f(2QΔL,πR)，故選C。5.(多選)(2023·廣東高州市一模)如圖所示，無(wú)限大平行金屬板水平放置且接地，金屬板上表面涂上絕緣層，一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷P固定在金屬板正上方，該電荷與金屬板間形成的電場(chǎng)與等量異種點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)一側(cè)的電場(chǎng)分布相同。將一個(gè)帶正電的帶電粒子Q從P與金屬板垂直連線(xiàn)中點(diǎn)的a點(diǎn)沿直線(xiàn)移到板上b點(diǎn)，再沿直線(xiàn)移到板上c點(diǎn)，則此過(guò)程()A．從a到c，Q的電勢(shì)能一直減小B．從a到c，Q的電勢(shì)能先減小后不變C．從a到c，Q受到的靜電力先減小后不變D．Q在a點(diǎn)受到的靜電力大于P對(duì)Q的庫(kù)侖力答案BD解析由于靜電感應(yīng)，金屬板為等勢(shì)面，固定的點(diǎn)電荷P與板間的電場(chǎng)為等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)的一半，因此從a到b的電場(chǎng)強(qiáng)度越來(lái)越小，電勢(shì)越來(lái)越低。帶正電的粒子從a到b的過(guò)程中，受到的靜電力越來(lái)越小，且靜電力做正功，則電勢(shì)能減??；從b到c的電場(chǎng)線(xiàn)變稀疏，則電場(chǎng)強(qiáng)度繼續(xù)減小，但由于此過(guò)程在等勢(shì)面上運(yùn)動(dòng)，則電勢(shì)不變，因此小球從b到c，靜電力減小，電勢(shì)能不變，故A、C錯(cuò)誤，B正確；Q在a點(diǎn)受到的靜電力等于P對(duì)Q的庫(kù)侖力與金屬板的感應(yīng)電荷對(duì)Q的庫(kù)侖力之和，即Q在a點(diǎn)受到的靜電力大于P對(duì)Q的庫(kù)侖力，故D正確。6.(2022·江蘇卷·9)如圖所示，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)各固定一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷，電荷量相等，O是正方形的中心，將A點(diǎn)的電荷沿OA的延長(zhǎng)線(xiàn)向無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)，則()A．在移動(dòng)過(guò)程中，O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度變小B．在移動(dòng)過(guò)程中，C點(diǎn)的電荷所受靜電力變大C．在移動(dòng)過(guò)程中，移動(dòng)的電荷所受靜電力做負(fù)功D．當(dāng)其移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，O點(diǎn)的電勢(shì)高于A點(diǎn)答案D解析O是等量同種電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度為0，將A處的正點(diǎn)電荷沿OA方向移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度變大，故A錯(cuò)誤；移動(dòng)過(guò)程中，C點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度變小，C點(diǎn)的正電荷所受靜電力變小，故B錯(cuò)誤；A點(diǎn)電場(chǎng)方向沿OA方向，移動(dòng)過(guò)程中，移動(dòng)的電荷所受靜電力做正功，故C錯(cuò)誤；OA段的電場(chǎng)方向沿OA方向，沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低，A點(diǎn)的電荷移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，O點(diǎn)的電勢(shì)高于A點(diǎn)電勢(shì)，故D正確。7.(2022·浙江6月選考·9)如圖所示，帶等量異種電荷的兩正對(duì)平行金屬板M、N間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，板長(zhǎng)為L(zhǎng)(不考慮邊界效應(yīng))。t＝0時(shí)刻，M板中點(diǎn)處的粒子源發(fā)射兩個(gè)速度大小為v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到達(dá)N板時(shí)速度大小為eq\r(2)v0；平行M板向下的粒子，剛好從N板下端射出。不計(jì)重力和粒子間的相互作用，則()A．M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)B．兩個(gè)粒子的電勢(shì)能都增加C．粒子在兩板間的加速度為a＝eq\f(2v02,L)D．粒子從N板下端射出的時(shí)間t＝eq\f(\r(2)－1L,2v0)答案C解析由于不知道兩粒子的電性，故不能確定M板和N板的電勢(shì)高低，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意垂直M板向右的粒子到達(dá)N板時(shí)速度增加，動(dòng)能增加，則靜電力做正功，電勢(shì)能減小，則平行M板向下的粒子到達(dá)N板時(shí)靜電力也做正功，電勢(shì)能同樣減小，故B錯(cuò)誤；設(shè)兩板間距離為d，對(duì)于平行M板向下的粒子剛好從N板下端射出，在兩板間做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有eq\f(L,2)＝v0t，d＝eq\f(1,2)at2，對(duì)于垂直M板向右的粒子，在板間做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因兩粒子相同，則在電場(chǎng)中加速度相同，有(eq\r(2)v0)2－v02＝2ad，聯(lián)立解得t＝eq\f(L,2v0)，a＝eq\f(2v02,L)，故C正確，D錯(cuò)誤。[爭(zhēng)分提能練]8.(多選)(2023·貴州畢節(jié)市診斷)在某靜電場(chǎng)中，x軸上的場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系如圖所示，規(guī)定x軸正方向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)正方向。下列判斷正確的是()A．x1和x3處的電場(chǎng)強(qiáng)度相同B．從x2處到x4處，電勢(shì)逐漸降低C．一電子從x2處沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x4處，速度先增大后減小D．一電子從x1處沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x4處，電勢(shì)能先減小后增大答案BD解析x1和x3處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；從x2處到x4處，場(chǎng)強(qiáng)為正值，則場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正方向，則從x2處到x4處電勢(shì)逐漸降低，選項(xiàng)B正確；一電子從x2處沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x4處，靜電力一直對(duì)其做負(fù)功，則電子速度一直減小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；從x1處到x2處，電勢(shì)升高；從x2處到x4處，電勢(shì)降低，則一電子從x1處沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x4處，電勢(shì)能先減小后增大，選項(xiàng)D正確。9．(多選)(2023·山東卷·11)如圖所示，正六棱柱上下底面的中心為O和O′，A、D兩點(diǎn)分別固定等量異號(hào)的點(diǎn)電荷，下列說(shuō)法正確的是()A．F′點(diǎn)與C′點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等B．B′點(diǎn)與E′點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同C．A′點(diǎn)與F′點(diǎn)的電勢(shì)差小于O′點(diǎn)與D′點(diǎn)的電勢(shì)差D．將試探電荷＋q由F點(diǎn)沿直線(xiàn)移動(dòng)到O點(diǎn)，其電勢(shì)能先增大后減小答案ACD解析如圖所示，由幾何關(guān)系可知A點(diǎn)處正電荷在OF中點(diǎn)K的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直O(jiān)F，則K點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)與OF的夾角為銳角，在F點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)和OF的夾角為鈍角，因此將試探電荷＋q從F移到O點(diǎn)過(guò)程中電場(chǎng)力先做負(fù)功后做正功，電勢(shì)能先增大后減小，D正確；由等量異種電荷的電勢(shì)分布可知φA′＝φ>0，φD′＝－φ<0，φO′＝0，φF′>0，因此φA′－φF′＝φ－φF′<φO′－φD′＝φ，C正確；由等量異種電荷的對(duì)稱(chēng)性可知F′和C′電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，B′和E′電場(chǎng)強(qiáng)度方向不同，A正確，B錯(cuò)誤。10．(2022·遼寧卷·14)如圖所示，光滑水平面AB和豎直面內(nèi)的光滑eq\f(1,4)圓弧導(dǎo)軌在B點(diǎn)平滑連接，導(dǎo)軌半徑為R。質(zhì)量為m的帶正電小球?qū)⑤p質(zhì)彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，脫離彈簧后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq\r(gR)，之后沿軌道BO運(yùn)動(dòng)。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，在x≥－R區(qū)域有方向與x軸夾角為θ＝45°的勻強(qiáng)電場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)后小球受到的電場(chǎng)力大小為eq\r(2)mg。小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量保持不變，重力加速度為g。求：(1)彈簧壓縮至A點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能；(2)小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大?。?3)小球過(guò)O點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。答案(1)eq\f(1,2)mgR(2)eq\r(3gR)(3)y2＝6Rx解析(1)小球從A到B，根據(jù)能量守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mvB2＝eq\f(1,2)mgR(2)小球從B到O，根據(jù)動(dòng)能定理有－mgR＋eq\r(2)mg×eq\r(2)R＝eq\f(1,2)mvO2－eq\f(1,2)mvB2解得vO＝eq\r(3gR)(3)小球運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)時(shí)速度方向豎直向上，受靜電力和重力作用，將靜電力分解到x軸和y軸，由牛頓第二定律，x軸方向有eq\r(2)mgcos45°＝maxy軸方向有eq\r(2)mgsin45°－mg＝may解得ax＝g，ay＝0說(shuō)明小球過(guò)O點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)為：x軸方向做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，y軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，即做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則有x＝eq\f(1,2)gt2，y＝vOt聯(lián)立解得小球過(guò)O點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為y2＝6Rx。11.(2023·云南保山市質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)平行于該區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MN為圓的一條直徑。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子從M點(diǎn)以速度v射入電場(chǎng)，速度方向與MN夾角θ＝45°，一段時(shí)間后粒子運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，速度大小也為v，不計(jì)粒子