專題16 存在性-菱形（含答案）-2024年中考數學壓軸滿分突破之二次函數篇

2024中考數學壓軸題--二次函數--存在性問題第16節(jié)菱形的存在性方法點撥菱形ABCD，M為對角線AC與BD的交點，則M的坐標為()或者()解題方法：(在平行四邊形的基礎上增加對角線垂直或者鄰邊相等)(1)選一定點，再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論；(2)利用中點坐標公式列方程：；(3)對角線垂直：例題演練1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C．(1)求B、C兩點的坐標；(2)點P為直線BC上方拋物線上的任意一點，過P作PF∥x軸交直線BC于點F，過P作PE∥y軸交直線BC于點E，求線段EF的最大值及此時P點坐標；(3)將該拋物線沿著射線AC方向平移個單位得到新拋物線y′，N是新拋物線對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以點B、C、Q、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點Q點的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線y＝與x軸交于A，B兩點(點A在點B右側)，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．(1)如圖1，連接AC，BC，判斷△ABC的形狀，說明理由；(2)如圖2，若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥BC交AC于點E，作PQ∥y軸交AC于點Q，求CE+AQ的最小值及此時E點坐標；(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的拋物線與原拋物線相交于點P，點Q為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點M，使以點A，P，Q，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸與點C，點D為該拋物線的頂點，連接AC．(1)如圖1，連接DA、DC，求點D的坐標和△ACD的面積；(2)如圖2，點P是直線AC上方的拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸，交直線AC于點E，過點P作PF⊥AC，垂足為F，當△PEF周長最大時，在x軸上存在一點Q，使|QP﹣QD|的值最大，請求出這個最大值以及點P的坐標；(3)當(2)題中|QP﹣QD|取得最大值時，點M為直線x＝﹣2上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點N，使得點D、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為(0，8)，點B的坐標為(﹣4，0)，點D的坐標為(0，4)．(1)求該二次函數的表達式及點C的坐標；(2)若點F為該拋物線在第一象限內的一動點，求△FCD面積的最大值；(3)如圖2，將拋物線C1向右平移2個單位，向下平移5個單位得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動點，N為平面內一動點，問是否存在這樣的點M、N，使得四邊形DMCN為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點C(0，2)，交x軸于點A(﹣1，0)和B，連接BC，直線y＝kx+1與y軸交于點D，與BC上方的拋物線交于點E，與BC交于點F．(1)求拋物線的表達式及點B的坐標；(2)求的最大值及此時點E的坐標；(3)在(2)的條件下，若點M為直線DE上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．6．在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．(1)求A，B兩點坐標及直線BC的解析式；(2)點P是直線BC下方拋物線上一點，當△BPC面積最大時，在x軸下方找一點Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，記這個最小值是d，請直接寫出此時點P的坐標及d2．(3)在(2)的條件下，連接AP交y軸于點R，將拋物線沿射線PA平移，平移后的拋物線記為y'，當y'經過點A時，將拋物線y'位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得的曲線記為N，點D'為曲線N的頂點，將△AOP沿直線AP平移，得到△A'O'P'，在平面內是否存在點T，使以點D'，R'，O'，T為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出O'的橫坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣6ax﹣6與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC．已知拋物線頂點縱坐標為﹣8．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，M為線段OB的中點，過點M作MN∥BC，交y軸與點N，P是拋物線上位于直線BC下方的一個動點，連接PM，交BC于點Q，連接PN，NQ．當△PNQ的面積最大時，求出此時點P的坐標及△PNQ的面積最大值；(3)當點P滿足(2)問的條件時，在直線BC上是否存在一點E，在平面內是否存在一點F，使得以點P，E，C，F為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．8．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C(0，6)，其中AB＝8，tan∠CAB＝3．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AC交x軸于點D，交BC于點E，求BE的最大值及點P的坐標．(3)將該拋物線沿射線CA方向平移2個單位長度得到拋物線y1，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F，點G為拋物線y1的頂點，點M為直線FG上一點，點N為平面上一點．在(2)中，當BE的值最大時，是否存在以P、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．9．綜合與探究：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．(1)求拋物線的解析式；(2)點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；(3)若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4(a，b為常數，且a≠0)與x軸交于點A(，0)，B(4，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是射線CB上方拋物線上的一動點，過點P作PH∥x軸于點H，當線段PH長度最大時，求出線段PH的最大值及此時點P的坐標；(3)若點D是OC的中點，將拋物線y＝ax2+bx﹣4沿射線AD方向平移個單位得到新拋物線y′，C′是拋物線y′上與C對應的點，拋物線y′的對稱軸上有一動點N，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使得C′，N，B，S為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D的坐標為(﹣2，9)，拋物線與坐標軸分別交于A、B、C三點，且B的坐標為(0，5)，連接DB、DC，作直線BC．(1)求拋物線的解析式；(2)P是x軸上的一點，過點P作x軸的垂線，與CD交于H，與CB交于G，若線段HG把△CBD的面積分成相等的兩部分，求P點的坐標；(3)若點M在直線CB上，點N在平面上，直線CB上是否存在點M，使以點C、點D、點M、點N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+c(c為常數)與一次函數y＝﹣x+b(b為常數)交于A、B兩點，其中A點坐標為(﹣3，0)．(1)求B點坐標；(2)點P為直線AB上方拋物線上一點，連接PA，PB，當S△PAB＝時，求點P的坐標；(3)將拋物線y＝﹣x2﹣2x+c(c為常數)沿射線AB平移5個單位，平移后的拋物線y1與原拋物線y＝﹣x2﹣2x+c相交于點E，點F為拋物線y1的頂點，點M為y軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點N，使得以點E，F，M，N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 中考數學壓軸題--二次函數--存在性問題第16節(jié)菱形的存在性方法點撥菱形ABCD，M為對角線AC與BD的交點，則M的坐標為()或者()解題方法：(在平行四邊形的基礎上增加對角線垂直或者鄰邊相等)(1)選一定點，再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論；(2)利用中點坐標公式列方程：；(3)對角線垂直：例題演練1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C．(1)求B、C兩點的坐標；(2)點P為直線BC上方拋物線上的任意一點，過P作PF∥x軸交直線BC于點F，過P作PE∥y軸交直線BC于點E，求線段EF的最大值及此時P點坐標；(3)將該拋物線沿著射線AC方向平移個單位得到新拋物線y′，N是新拋物線對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以點B、C、Q、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)令x＝0，則＝2，解得點C坐標為(0，2)，令y＝0，即，解得：x＝4或﹣1，∴點B坐標為(4，0)．(2)設直線BC解析式為y＝kx+b，代入點B、點C坐標，得：，解得：．∴直線BC解析式為y＝x+2．設P坐標為(m，)，則E坐標為(m，m+2)，其中0≤m≤4．設點F橫坐標為xF，縱坐標yF＝，令?xF+2＝，解得：xF＝m2﹣3m．∴PE＝﹣(m+2)＝，PF＝m﹣(m2﹣3m)＝﹣m2+4m．∴EF＝＝＝＝＝＝＝＝．∵，則當m＝2時，EF有最大值，此時點P坐標為(2，3)．(3)存在點Q，使以點B、C、Q、N為頂點的四邊形為菱形．點Q坐標為(2，6)或(2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)，理由如下：∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝．又∵，∴拋物線沿著射線AC方向平移個單位，實際上等同于將該拋物線向右移動個單位，向上移動1個單位．∵原拋物線對稱軸方程為x＝，∴新拋物線對稱軸方程為x＝+＝2．設點N坐標為(2，n)、點Q坐標為(a，b)．當BC為菱形的邊時：①以點B為圓心，BC為半徑畫圓交對稱軸x＝2于點N1、N2.如圖1．此時，BC＝BN1＝BN2＝＝2．∴，即，解得：MN1＝4．故點N1坐標為(2，4)，同理可得點N2坐標為(2，﹣4)．由菱形對角線性質和中點坐標公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴點Q1坐標為(﹣2，6)，Q2(﹣2，﹣2)．②以點C為圓心，CB為半徑畫圓交對稱軸x＝2于點N3、N4，作N3P⊥y軸于點P，如圖2．此時CB＝CN3＝CN4＝，PN3＝2，PC＝＝＝4，故點N3坐標為(2，6)，同理可得N4坐標為(2，﹣2)．由菱形對角線性質和中點坐標公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴點Q3坐標為(6，4)，Q4(6，﹣4)．當BC為菱形的對角線時，則NQ為另一對角線，BC垂直平分NQ，此時BC中點坐標為(2，1)，又N(2，n)且NC＝NB，則N點必與BC中點重合，∴此時不存在點Q，則不能構成菱形．綜上所述，點Q坐標為(2，6)或(2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)．2．如圖，拋物線y＝與x軸交于A，B兩點(點A在點B右側)，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．(1)如圖1，連接AC，BC，判斷△ABC的形狀，說明理由；(2)如圖2，若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥BC交AC于點E，作PQ∥y軸交AC于點Q，求CE+AQ的最小值及此時E點坐標；(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的拋物線與原拋物線相交于點P，點Q為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點M，使以點A，P，Q，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)△ABC為直角三角形，理由如下：當x＝0時，y＝2，當y＝0時，0＝，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，2)，∵BC2＝OB2+OC2＝16，AC2＝OA2+OC2＝48，AB2＝82＝64，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；(2)由(1)得，tan∠BCO＝＝，故∠BCO＝30°，∵A(6，0)，C(0，2)，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，∵CE+AQ＝AC﹣EQ，∴當EQ最大時，CE+AQ最小，∵PE∥BC，PO∥y軸，∴∠BCO＝∠QPE＝30°，∴EQ＝PQ，設P點的坐標為(m，﹣m2+m+2)，則Q點的坐標為(m，﹣m+2)，∴EQ＝PQ＝[﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)]＝﹣m2+m＝﹣(m﹣3)2+，當m＝3時，EQ最大，最大值為，此時P(3，)，∵PE∥BC，∴PE⊥AC，設直線PE的解析式為y＝x+b，把P點代入可得b＝﹣，即直線PE的解析式為y＝x﹣，聯立直線AC、PE的解析式解得，∴E點坐標為(，)，CE+AQ最小值為CE+EQ＝AC﹣EQ＝4＝；(3)存在，由題知平移后的解析式為y＝﹣(x﹣2)2+(x﹣2)+2＝﹣x2+，與原解析式聯立解得，∴P點的坐標為(1，)，∵原拋物線對稱軸為x＝﹣＝＝2，∴設Q點的坐標為(2，n)，①當AP2＝AQ2時，52+()2＝42+n2，解得n＝±，則Q點的坐標為(2，)或(2，﹣)，∴M點的坐標為(﹣3，)或(﹣3，)，②當AP2＝PQ2時，52+()2＝12+(n﹣)2，解得n＝，則Q點的坐標為(2，)或(2，)，∴M點的坐標為(7，)或(7，﹣)，③當QA2＝PQ2時，42+n2＝12+(n﹣)2，解得n＝，則Q點的坐標為(2，)，∴M點的坐標為(5，)，綜上，M點的坐標可能為(5，)或(7，)或(7，﹣)或(﹣3，)或(﹣3，)．3．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸與點C，點D為該拋物線的頂點，連接AC．(1)如圖1，連接DA、DC，求點D的坐標和△ACD的面積；(2)如圖2，點P是直線AC上方的拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸，交直線AC于點E，過點P作PF⊥AC，垂足為F，當△PEF周長最大時，在x軸上存在一點Q，使|QP﹣QD|的值最大，請求出這個最大值以及點P的坐標；(3)當(2)題中|QP﹣QD|取得最大值時，點M為直線x＝﹣2上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點N，使得點D、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)如圖1中，連接OD．∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，∴點D(﹣1，4)，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，令x＝0，得到y(tǒng)＝3，∴C(0，3)，∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝2．(2)如圖2中，延長PE交OA于H．∵OA＝OC＝3∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∵PE∥y軸，∴∠AHE＝90°，∴∠AEH＝∠PEF＝45°，∵PF⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大時，△PEF的周長最大，設P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵直線AC的解析式為y＝x+3，∴E(m，m+3)，∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣(m+)2+，∵﹣1＜0，∴m＝﹣時，△PEF的周長最大，此時P(﹣，)，∵D(﹣1，4)，∴PD＝＝，∵|QP﹣QD|≤PD，∴|QP﹣QD|≤，∴|QP﹣QD|的最大值為，此時P，D，Q共線，∵直線PD的解析式y(tǒng)＝x+，令y＝0，得到x＝﹣9，∴Q(﹣9，0)．(3)如圖3中，由(2)可知，Q(﹣9，0)，D(﹣1，4)，則DQ＝＝4．當DQ是菱形的邊時，DM＝DQ＝4，設M(﹣2，t)，則12+(4﹣t)2＝80，解得t＝4±，∴M1(﹣2，4+)，M2(﹣2，4﹣)，∵DN與MQ互相平分，∴N1(﹣10，)，N2(﹣10，﹣)，當DQ是菱形的對角線時，設M(﹣2，n)，∵MQ＝MD，∴72+n2＝12+(4﹣n)2，∴n＝﹣5，∴M3(﹣2，﹣5)，∵DQ與MN互相平分，∴N3(﹣8，9)，綜上所述，滿足條件的點N的坐標為(﹣10，)或(﹣10，﹣)或(﹣8，9)．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為(0，8)，點B的坐標為(﹣4，0)，點D的坐標為(0，4)．(1)求該二次函數的表達式及點C的坐標；(2)若點F為該拋物線在第一象限內的一動點，求△FCD面積的最大值；(3)如圖2，將拋物線C1向右平移2個單位，向下平移5個單位得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動點，N為平面內一動點，問是否存在這樣的點M、N，使得四邊形DMCN為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)把A(0，8)、B(﹣4，0)代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴該二次函數的表達式為y＝x2+x+8；當y＝0時，由x2+x+8＝0，得x1＝﹣4，x2＝8，∴C(8，0)．(2)如圖1，作FG⊥x軸于點G，交CD于點E.設直線CD的函數表達式為y＝kx+4，則8k+4＝0，解得k＝，∴y＝x+4．設F(x，x2+x+8)(0＜x＜8)，則E(x，x+4)，∴EF＝x2+x+8+x﹣4＝x2+x+4，∵S△FCD＝OG?EF+CG?EF＝OC?EF，∴S△FCD＝×8(x2+x+4)＝﹣x2+6x+16＝﹣(x﹣3)2+25，∴當x＝3時，△FCD面積的最大值為25．(3)存在．由題意可知，點M、N在線段CD的垂直平分線上.拋物線C1：y＝x2+x+8＝(x﹣2)2+9，平移后得拋物線C2：y＝(x﹣4)2+4＝x2+2x．如圖2，設CD的中點為Q，則Q(4，2)，過點Q作CD的垂線交拋物線C2于點M，交x軸于點H．∵∠CQH＝∠COD＝90°，∴．∵OD＝4，CO＝8，∴CD＝＝4，∴CQ＝CD＝2，∴CH＝＝5，∴OH＝8﹣5＝3，H(3，0)，設直線QH的函數表達式為y＝mx+n，則，解得，∴y＝2x﹣6．由，得，，∴M1(，)，M2(，)，∵點N與點M關于點Q(4，2)成中心對稱，∴N1(8+2，10+4)，N2(8﹣2，10﹣4)．5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點C(0，2)，交x軸于點A(﹣1，0)和B，連接BC，直線y＝kx+1與y軸交于點D，與BC上方的拋物線交于點E，與BC交于點F．(1)求拋物線的表達式及點B的坐標；(2)求的最大值及此時點E的坐標；(3)在(2)的條件下，若點M為直線DE上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)設B(xB，yB)，將A(﹣1，0)，C(0，2)代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2，∵點B在x軸上，∴yB＝0，將yB＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：﹣xB2+xB+2＝0，解得：xB1＝4，xB2＝﹣1(不符合題意，舍去)，∴B(4，0)；(2)由題意知，點E位于y軸右側，作EG∥y軸交BC于點G，∴CD∥EG，∴＝，∵直線y＝kx+1與y軸交于點D，∴D(0，1)，∴CD＝2﹣1＝1，∴＝EG，設直線BC的解析式為y＝mx+n(m≠0)，將B(4，0)，C(0，2)代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設點E(t，﹣t2+t+2)，則G(t，﹣t+2)，且0＜t＜4，∴EG＝(﹣t2+t+2)﹣(﹣t+2)＝﹣t2+2t＝﹣(t﹣2)2+2，∴＝﹣(t﹣2)2+2，∵﹣＜0，∴當t＝2時，的值最大，最大值為2，此時點E的坐標為(2，3)；(3)存在點M和點N，使得以點B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形．設直線DE的解析式為y＝kx+b，將D(0，1)，E(2，3)代入，得：，解得：，∴直線DE的解析式為y＝x+1，設M(n，n+1)，∵B(4，0)，D(0，1)，∴BM2＝(4﹣n)2+(0﹣n﹣1)2＝2n2﹣6n+17，DM2＝(0﹣n)2+(1﹣n﹣1)2＝2n2，BD2＝42+12＝17，∵以點B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，∴分兩種情況：BD為邊時或BD為對角線，①當BD為邊時，MN＝DM＝BD(如圖2)或MN＝BM＝BD(如圖3)，∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，解得：n＝±或n＝0(舍去)或n＝3，∴M(，)或M(﹣，)或M(3，4)，②如圖4，當BD為對角線時，設BD的中點為Q，則Q(2，)，∵四邊形BMDN是菱形，∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，∴QD2+QM2＝DM2，∴(2﹣0)2+(﹣1)2+(n﹣2)2+(n+1﹣)2＝2n2，解得：n＝，∴M(，)，綜上所述，點M的坐標為(，)或(﹣，)或(3，4)或(，)．6．在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．(1)求A，B兩點坐標及直線BC的解析式；(2)點P是直線BC下方拋物線上一點，當△BPC面積最大時，在x軸下方找一點Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，記這個最小值是d，請直接寫出此時點P的坐標及d2．(3)在(2)的條件下，連接AP交y軸于點R，將拋物線沿射線PA平移，平移后的拋物線記為y'，當y'經過點A時，將拋物線y'位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得的曲線記為N，點D'為曲線N的頂點，將△AOP沿直線AP平移，得到△A'O'P'，在平面內是否存在點T，使以點D'，R'，O'，T為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出O'的橫坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)在二次函數y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0，則y＝﹣2，令y＝0，則x＝﹣1或3，故點A、B、C的坐標分別為(﹣1，0)、(3，0)、(0，﹣2)，設直線BC的表達式為：y＝kx+b，代入B(3，0)、C(0，﹣2)得：，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣2；(2)如圖1，設點P(m，m2﹣m﹣2)，過點P作PE∥y軸交BC于點E，則點E(m，m﹣2)，∴S△PBC＝×OB×PE＝(m﹣2﹣m2+m+2)＝﹣(m﹣)2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，S△PBC有最大值，此時點P(，﹣)，在x軸下方任取點Q，連接PQ、BQ、AQ，將△PQB繞點P順時針旋轉90°到△PQ′B′位置，連接QQ′，∴B′Q′＝BQ，QQ′＝PQ，∴AQ+BQ+PQ＝AQ+B′Q+QQ′，AQ+BQ+PQ最小，則A、Q、Q′、B在同一直線上，∠PQQ′＝45°，∴此時B′坐標為(，﹣)，∴d2＝(AQ+BQ+PQ)2＝(AB′)2＝(﹣1﹣)2+()2＝46+20；(3)存在，設直線AP解析式為y＝mx+n，將A(﹣1，0)，P(，﹣)代入得，解得：，∴直線AP解析式為y＝﹣x﹣，令x＝0，得y＝﹣，∴R(0，﹣)，∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，∴拋物線y的頂點為(1，﹣)，分別過A、P作AH⊥x軸，PH⊥y軸，則AH＝，PH＝，拋物線y沿射線PA平移且經過點A，即向左平移個單位，向上平移個單位；∴平移后的拋物線解析式為y′＝(x+)2﹣，頂點為(﹣，﹣)，∴D′(﹣，)，由題意，△AOP沿直線AP平移，得到△A′O′P′，∵＝，∴設平移后的點O′(t，﹣t)，以點D′、R、O′、T為頂點的四邊形為菱形，可以分三種情況：①O′D′＝D′R，∴(t+)2+(﹣t﹣)2＝()2+(﹣﹣)2，解得：t1＝，t2＝，②O′R＝D′R，∴t2+(﹣t+)2＝()2+(﹣﹣)2，解得：t3＝，t4＝，③O′D′＝O′R，∴(t+)2+(﹣t﹣)2＝t2+(﹣t+)2，解得：t5＝，綜上所述，O′的橫坐標為：或或或或．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣6ax﹣6與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC．已知拋物線頂點縱坐標為﹣8．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，M為線段OB的中點，過點M作MN∥BC，交y軸與點N，P是拋物線上位于直線BC下方的一個動點，連接PM，交BC于點Q，連接PN，NQ．當△PNQ的面積最大時，求出此時點P的坐標及△PNQ的面積最大值；(3)當點P滿足(2)問的條件時，在直線BC上是否存在一點E，在平面內是否存在一點F，使得以點P，E，C，F為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵y＝ax2﹣6ax﹣6＝a(x﹣3)2﹣9a﹣6，∴拋物線頂點坐標為(3，﹣9a﹣6)，∵拋物線頂點縱坐標為﹣8，∴﹣9a﹣6＝﹣8，解得：a＝，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣6；(2)在y＝x2﹣x﹣6中，令x＝0，得：y＝﹣6，∴C(0，﹣6)，令y＝0，得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝9，∴A(﹣3，0)，B(9，0)，∵M為線段OB的中點，∴OM＝BM＝，∴M(，0)，∵MN∥BC，∴＝＝，∴ON＝OC＝3，∴N(0，﹣3)，∴ON＝3，在Rt△MON中，MN＝＝＝，設直線MN的解析式為y＝kx+b，則：，解得：，∴直線MN的解析式為y＝x﹣3，設P(m，m2﹣m﹣6)，如圖1，過點P作PK∥y軸交直線MN于點K，作PH⊥MN于點H，過點B作BG⊥MN于點G，連接BN，∴K(m，m﹣3)，∠PHK＝∠BGM＝∠MON＝90°，∠PKH＝∠MNO，BG∥PH，∴PK＝m﹣3﹣(m2﹣m﹣6)＝﹣m2+2m+3，∴S△PMN＝?OM?PK＝××(﹣m2+2m+3)＝﹣m2+m+，∵MN∥BC，∴S△MNQ＝S△MNB，∵OM＝BM，∴S△MNB＝S△MNO＝?OM?ON＝××3＝，∴S△MNQ＝，∴S△PNQ＝S△PMN﹣S△MNQ＝﹣m2+m+﹣＝﹣(m﹣)2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，S△PNQ的最大值為，當m＝時，m2﹣m﹣6＝×()2﹣×﹣6＝﹣，∴點P的坐標為(，﹣)；(3)∵P(，﹣)，C(0，﹣6)，∴PC＝＝；設直線BC的解析式為y＝k1x+b1，∵B(9，0)，C(0，﹣6)，∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣6，設E(t，t﹣6)，則PE2＝(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2，CE2＝(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2，∵以點P，E，C，F為頂點的四邊形為菱形，∴分三種情況：CP＝CE或CP＝PE或CE＝PE，①當CP＝CE，以CP、CE為邊時，如圖2，∴CE2＝CP2，即：(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2＝()2，解得：t＝﹣或，∴點E的坐標為(﹣，﹣3﹣6)或(，3﹣6)，∴點F的坐標為(﹣+，﹣3﹣)或(+，3﹣)，②當CP＝PE，以CP、PE為邊時，如圖3，∴PE2＝CP2，即：(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2＝()2，解得：t＝或t＝0(舍去)，∴E(，)，∴F(，)，③當CE＝PE，以CE、PE為邊時，如圖4，∴CE2＝PE2，即：(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2＝(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2，解得：t＝，∴E(，﹣)，∴F(，﹣)，綜上所述，點F的坐標為(﹣+，﹣3﹣)或(+，3﹣)或(，)或(，﹣)．8．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C(0，6)，其中AB＝8，tan∠CAB＝3．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AC交x軸于點D，交BC于點E，求BE的最大值及點P的坐標．(3)將該拋物線沿射線CA方向平移2個單位長度得到拋物線y1，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F，點G為拋物線y1的頂點，點M為直線FG上一點，點N為平面上一點．在(2)中，當BE的值最大時，是否存在以P、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵C(0，6)，＝tan∠CAB＝3，∴AO＝＝2，A(﹣2，0)，B(6，0)，∴，解得，∴該拋物線的表達式為y＝x2+2x+6．(2)如圖1，作PH⊥x軸于點H，交BC于點J，作EI⊥PH于點I、EK⊥x軸于點K．設直線BC的函數表達式為y＝kx+6，則6k+6＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+6；設直線AC的函數表達式為y＝px+6，則﹣2p+6＝0，解得p＝3，∴y＝3x+6．設P(m，m2+2m+6)，由PD∥AC，設直線PD的函數表達式為y＝3x+n，則m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，∴y＝3xm2﹣m+6．由，得，∴E(，)．∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10(m﹣﹣)＝m﹣m2，∵BE＝BK，∴BE＝2BK＝2(6﹣﹣)＝12﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣(12﹣﹣)＝﹣m2+8m﹣12＝﹣(m﹣4)2+4，∴當m＝4時，BE的最大值，最大值為4，此時P(4，6)．(3)存在．如圖2，由(2)得，AC＝2，將△AOC沿射線CA方向平移2個單位，相當于將△AOC向左平移2個單位，再向下平移6個單位，∴該拋物線也向左平移2個單位，再向下平移6個單位，∵原拋物線為y＝x2+2x+6＝(x﹣2)2+8，∴y1＝x2+2，拋物線y1與坐標軸的交點分別為F(﹣2，0)、D'(2，)、(0，2)，且頂點為G(0，2)，點F(﹣2，0)為拋物線y1與原拋物線的交點．∵P(4，6)，C(0，6)，且PD∥AC，∴D(2，0)，點D'與點D重合．設直線FG的函數表達式為y＝qx+2，則﹣2q+2＝0，解得q＝1，∴y＝x+2．①如圖2，點M1在點P左側，PE、EM1為菱形的鄰邊．連接PC，則CG＝PC，可得BC垂直平分PG，設垂足為點Q，則點N1與點E關于點Q對稱；∵△PCE≌△BDE，∴PE＝DE，E(3，3)，∵(2，4)，∴N1(1，5)；②如圖3，PE為菱形的對角線，M2N2垂直平分PE，設垂足為點R，∵R為PE的中點，∴R(，)，連接并延長BG交AC于點H，則△BGO≌△CAO，∴∠GBO＝∠ACO，∴∠GBO+∠CAO＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴BH⊥AC，∴BH∥M2N2；設直線BH的函數表達式為y＝rx+2，則6r+2＝0，解得r＝﹣，∴y＝﹣x+2，設直線M2N2的函數表達式為y＝﹣x+t，則﹣×+t＝，解得t＝，∴y＝﹣x+；由，得，∴M2(，)，∵點N2與點M2(，)關于點R(，)對稱，∴N2(，)；③如圖4，點M3在點P右側，PE、PM3為菱形的鄰邊．由EN3∥FG，設直線的函數表達式為y＝x+s，則3+s＝3，解得s＝0，∴點N3在直線y＝x上，連接OE，則點O、E、N3在同一直線上．設N3(d，d)，∵OE＝＝3，EN3＝PE＝＝，∴d＝×(3+)＝3+，∴N3(3+，3+)④點M4在點P左側，PE、PM4為菱形的鄰邊．設N4(e，e)，則e＝×(3﹣)＝3﹣，∴N4(3﹣，3﹣)．綜上所述，點N的坐標為(1，5)或(，)或(3+，3+)或(3﹣，3﹣)．故答案為：(1，5)或(，)或(3+，3+)或(3﹣，3﹣)．9．綜合與探究：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．(1)求拋物線的解析式；(2)點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；(3)若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵OA＝2，OC＝6，∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，將A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，代入y＝x2+bx+c，得，解得：b＝﹣1，c＝﹣6，∴拋物線得解析式為：y＝x2﹣x﹣6．(2)在函數y＝x2﹣x﹣6中，令y＝0得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3，∴B(3，0)．如圖1，連接OE，設點E(m，m2﹣m﹣6)，S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC＝×6m+×3(﹣m2+m+6)﹣×3×6＝＝，根據二次函數的圖象及性質可知，當時，△BCE的面積有最大值，此時點E的坐標為．(3)存在；點N坐標為，，(2，0)，．∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，∴AC＝．①若AC為菱形的邊長，如圖2，則MN∥AC，且MN＝AC＝．N1()，N2()，N3(2，0)．②若AC為菱形的對角線，如圖3，則AN4∥CM4，AN4＝CN4，設N4(﹣2，n)，則﹣n＝，解得：n＝．∴N4(﹣2，)．綜上所述，點N坐標為，，(2，0)，．10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4(a，b為常數，且a≠0)與x軸交于點A(，0)，B(4，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是射線CB上方拋物線上的一動點，過點P作PH∥x軸于點H，當線段PH長度最大時，求出線段PH的最大值及此時點P的坐標；(3)若點D是OC的中點，將拋物線y＝ax2+bx﹣4沿射線AD方向平移個單位得到新拋物線y′，C′是拋物線y′上與C對應的點，拋物線y′的對稱軸上有一動點N，在平面直角坐標系中是否存在一點S，使得C′，N，B，S為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵點A(，0)，B(，0)在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，∴．解得：．∴拋物線解析式為．(2)如答圖，過點P作PK∥y軸交BC于點K．∵B(，0)，∴OB＝．當x＝0時，y＝﹣4．∴點C(0，﹣4)．∴OC＝4．∵PH∥x軸，∴∠PHK＝∠OBC．∵∠HPK＝∠BOC＝90°∴△BOC∽△HPK．∴．即PH＝PK．設直線BC的解析式為y＝mx+n(m≠0)．將點B(，0)，C(0，﹣4)分別代入上式得：．解得：．所以直線BC的解析式為．設點P(x，)，則點K(x，)．∴PK＝．∴PH＝PK＝．∵PH＝＝．∴當x＝時，PH最大＝．此時點P(，2)．(3)存在．如下圖∵D(0，﹣2)，∴AD＝．∴拋物線y＝﹣x2+x﹣4沿射線AD方向平移個單位實際是向左平移個單位，向下平移2個單位，∴C′(﹣，﹣6)．∵拋物線y＝﹣x2+x﹣4＝﹣+，∴新拋物線的解析式為y′＝．∴新拋物線y′的對稱軸為直線．設N(，t)，則有，，．若BC'＝BN．則有．∴．當時，，．當時，，．若NB＝NC′．則有．∴t＝﹣3，(與N點重合，舍去)．若C′N＝C′B．則有．∴當時，，．當時，，．綜上，點S的坐標為：或或或．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D的坐標為(﹣2，9)，拋物線與坐標軸分別交于A、B、C三點，且B的坐標為(0，5)，連接DB、DC，作直線BC．(1)求拋物線的解析式；(2)P是x軸上的一點，過點P作x軸的垂線，與CD交于H，與CB交于G，若線段HG把△CBD的面積分成相等的兩部分，求P點的坐標；(3)若點M在直線CB上，點N在平面上，直線CB上是否存在點M，使以點C、點D、點M、點N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D的坐標為(﹣2，9)，∴可設y＝a(x+2)2+9，又∵拋物線過點B(0，5)，代入得：5＝4a+9，∴a＝﹣1，∴y＝﹣(x+2)2+9＝﹣x2﹣4x+5，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+5；(2)∵拋物線y＝﹣x2﹣4x+5與坐標軸分別交于A、B、C三點，且B的坐標為(0，5)，∴當y＝0時，﹣x2﹣4x+5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴A(1，0)，C(﹣5，0)，又∵D(﹣2，9)，∴直線BC的解析式為y＝x+5；設直線CD的解析式為y＝kx+b，將C(﹣5，0)，D(﹣2，9)代入，得：，解得：，∴直線CD的解析式為y＝3x+15．設點P的坐標為(x，0)，則G(x，x+5)，H(x，3x+15)．∴S△CGH＝HG×CP＝(5+x)(3x+15﹣x﹣5)＝(5+x)(2x+10)＝(5+x)(x+5)＝(x+5)2，設拋物線的對稱軸交直線BC于點K，如圖：∵頂點D的坐標為(﹣2，9)，∴對稱軸為直線x＝﹣2，∴K(﹣2，3)，∴DK＝9﹣3＝6，∴S△BCD＝S△DKC+S△DKB＝×6×3+×6×2＝15，∴若線段HG把△CBD的面積分成相等的兩部分，則(x+5)2＝×15，解得：x1＝，x2＝(舍)，∴P(，0)；(3)如圖，設點M的坐標為(m，m+5)，∵C(﹣5，0)，D(﹣2，9)，∴CD＝＝3，當CD與DM是菱形的兩邊時，則CD＝DM，∴3＝，解得m1＝﹣5(不合題意，舍去)，m2＝7，∴點M(7，12)；當CD與CM''是菱形的兩邊時，則CD＝CM''，∴3＝，解得m＝±3﹣5，∴點M(3﹣5，3)或點M(﹣3﹣5，﹣3)；當DM'與CM'是菱形的兩邊時，則CM'＝DM'，∴＝，解得m＝﹣，∴點M(﹣，)．綜上所述，點M的坐標為(7，12)或(3﹣5，3)或(﹣3﹣5，﹣3)或(﹣，)．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+c(c為常數)與一次函數y＝﹣x+b(b為常數)交于A、B兩點，其中A點坐標為(﹣3，0)．(1)求B點坐標；(2)點P為直線AB上方拋物線上一點，連接PA，PB，當S△PAB＝時，求點P的坐標；(3)將拋物線y＝﹣x2﹣2x+c(c為常數)沿射線AB平移5個單位，平移后的拋物線y1與原拋物線y＝﹣x2﹣2x+c相交于點E，點F為拋物線y1的頂點，點M為y軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點N，使得以點E，F，M，N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)把A(﹣3，0)代入，得﹣9+6+c＝0，∴c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3．把A(﹣3，0)代入一次函數，得3+b＝0，∴b＝﹣3．∴y＝﹣x+3．聯立方程：，解得：或．∴B(2，﹣5)．(2)割補法表示三角形面積：鉛垂高×水平寬，過P作PH∥y軸，交AB于點H．設P(t，﹣t2﹣2t+3)，則H(t，﹣t﹣3)，S△PAB＝(yP﹣yH)×(xB﹣xA)＝(﹣t2﹣2t+3+t+3)×(2+3)＝，即4t2+4t+1＝0，∴t＝﹣，∴P(﹣，)．(3)由(1)直線AB：y＝﹣x﹣3．∴∠BAO＝45°，∵沿AB平移5個單位，∴y＝﹣x2﹣2x+5向右平移5個，向下平移5個單位，∴平移后表達式為：y1＝﹣(x﹣5)2﹣2(x﹣5)+3﹣5＝﹣x2+8x﹣17．聯立：，∴，∴E(2，﹣5)．∵F為y1頂點，則F(4，﹣1)，設M(0，m)，N(x，y)，分類討論：①當EF為菱形對角線時，，，，∴N(6，﹣6﹣m)∴EM2＝(0﹣2)2+(m+5)2＝m2+10m+29，∴FM2＝(0﹣4)2+(m+1)2＝m2+2m+17，∴EM2＝FM2，即m2+10m+29＝m2+2m+17，∴m＝﹣，∴N1(6，﹣)②當EM為菱形對角線時，，，∴，∴N(﹣2，m﹣4)，∴EN2＝(﹣2﹣2)2+(m﹣4+5)2＝m2+2m+17，∴EF2＝(4﹣2)2+(﹣1+5)2＝20，∴m2+2m+17＝20，∴m1＝﹣3，m2＝1，∴N2(﹣2，﹣7)，N3(﹣2，﹣3)，③當EN為菱形對角線時，，∴，∴，∴N(2，m+4)，∴EM2＝(0﹣2)2+(m+5)2＝m2+10m+29，∴EF2＝(4﹣2)2+(﹣1+5)2＝20，∴m2+10m+29＝20，∴m3＝﹣1，m4＝﹣9，∴N4(2，3)，N5(2，﹣5)，綜上可得，N的坐標為：N1(6，﹣)，N2(﹣2，﹣7)，N3(﹣2，﹣3)，N4(2，3)，N5(2，﹣5)． 中考數學壓軸題--二次函數--存在性問題第17節(jié)正方形的存在性方法點撥正方形ABCD，M為對角線AC與BD的交點，則M的坐標為()或者()解題方法：(在平行四邊形的基礎上增加對角線垂直且相等)(1)選一定點，再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論；(2)利用中點坐標公式列方程：；(3)對角線垂直：，例題演練1．如圖，在平面直角坐標系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C(﹣2，0)．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點F是直線AB下方拋物線上一動點，連接FA，FB，求出四邊形FAOB面積最大值及此時點F的坐標．(3)如圖2，在(2)問的條件下，點Q為平面內y軸右側的一點，是否存在點Q及平面內任意一點M使得以A，F，Q，M為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．2．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行x軸交直線BC點F，求△DEF周長的最大值；(3)已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線對稱軸的右側，是否存在以點P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c關于直線x＝1對稱，與坐標軸交于A，B，C三點，且AB＝4，點D(2，)在拋物線上，直線l是一次函數y＝kx﹣2(k≠0)的圖象，點O是坐標原點．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；(3)在拋物線上是否存在一點P，使得點Q在x軸上，點M在坐標平面內，四邊形CQPM是正方形，若存在求點P的橫坐標，若不存在，請說明理由．4．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF平行于x軸交直線BC于點F，求△PEF周長的最大值；(3)已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，A(﹣1，0)、B(0，2)且Rt△AOB≌Rt△CDA，拋物線y＝ax2+ax﹣2經過點C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是x軸上一點，且PC⊥PB，求P點的坐標；(3)在拋物線上是否存在兩點E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)，交y軸于點C(0，4)．(1)求拋物線的函數表達式；(2)直線y＝x+與拋物線交于A、D兩點，與直線BC交于點E．若點M(m，0)是線段AB上的動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線AD于點G，交直線BC于點H．①當SEOG＝S△AOE時，求m的值；②在平面內是否存在點P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．7．如圖，點B、C分別在x，y軸的正半軸上，OB，OC的長分別為x2﹣8x+12＝0的兩個根，且OC＞OB，將△COB繞點O逆時針旋轉90°，點C落在x軸負半軸上的點A處，點B落在y軸正半軸的點D處，連接AC．(1)求過A，B，C三點的拋物線的函數解析式；(2)直接寫出tan∠CAD的值；(3)點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，連接PQ．求S△CPQ的最大值，及此時點P的坐標；(4)M是第二象限內一點，在平面內是否存在點N，使得以A，D，M，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．8．在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，直線y＝與拋物線交于A，D兩點，與直線BC交于點E．若M(m，0)是線段AB上的動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線AD于點G，交直線BC于點H．①當點F在直線AD上方的拋物線上，且S△EFG＝S△OEG時，求m的值；②在平面內是否存在點P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．中考數學壓軸題--二次函數--存在性問題第17節(jié)正方形的存在性 方法點撥正方形ABCD，M為對角線AC與BD的交點，則M的坐標為()或者()解題方法：(在平行四邊形的基礎上增加對角線垂直且相等)(1)選一定點，再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論；(2)利用中點坐標公式列方程：；(3)對角線垂直：，例題演練1．如圖，在平面直角坐標系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C(﹣2，0)．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點F是直線AB下方拋物線上一動點，連接FA，FB，求出四邊形FAOB面積最大值及此時點F的坐標．(3)如圖2，在(2)問的條件下，點Q為平面內y軸右側的一點，是否存在點Q及平面內任意一點M使得以A，F，Q，M為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：(1)∵直線y＝x﹣4與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴點A(4，0)，點B(0，﹣4)，∵拋物線交x軸于點A(4，0)，點C(﹣2，0)．設拋物線解析式為：y＝a(x+2)(x﹣4)＝ax2﹣2ax﹣8a，∵拋物線交y軸于點B(0，﹣4)，∴﹣4＝﹣8a，∴a＝，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2×x﹣8×＝x2﹣x﹣4；(2)如圖，過點F作FE∥y軸，交AB于點E，設點P的橫坐標為t，則P(t，t2﹣t﹣4)，∵直線AB的解析式為y＝x﹣4，∴E(t，t﹣4)，∴S△BFA＝OA?EF＝×(4﹣0)×(t﹣4﹣t2+t+4)＝﹣t2+4t，∵S△BOA＝OA?OB＝×4×4＝8，∴S四邊形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣(t﹣2)2+12，∴當t＝2時，S四邊形FAOB有最大值12，t2﹣t﹣4＝﹣4．∴此時點F的坐標為(2，﹣4)；(3)①當AF為為邊時，如圖，過點F作FS⊥x軸于點S，過點作Q1T⊥x軸于點T，∵點A(4，0)，點F的坐標為(2，﹣4)，∴AF＝＝2，SF＝4，AS＝4﹣2＝2，∵四邊形AQ1Q2F是正方形，∴AQ1＝AF＝2，∠FAQ1＝90°，∵∠SFA+∠SAF＝90°，∠SAF+∠TAQ1＝90°，∴∠SFA＝∠TAQ1，∵∠FSA＝∠ATQ1＝90°，∴△FSA≌△ATQ1，∴AT＝SF＝4，TQ1＝AS＝2，∴OT＝OA+AT＝8，∴Q1(8，﹣2)；同理可得：△Q1HQ2≌△ATQ1，∴Q1H＝AT＝4，Q2H＝TQ1＝2，∴OK＝OT﹣KT＝8﹣2＝6，Q2K＝HT＝4+2＝6，∴Q2(6，﹣6)；四邊形AFED是正方形時，點D在y軸上，點E在y軸左邊，不合題意；②連接AE，FD交于點Q3，連接AQ2、FQ1交于點Q4，此時，AF為對角線，四邊形AQ3FQ4是正方形，如圖：∵Q4是FQ1的中點，Q1(8，﹣2)，F(2，﹣4)，∵＝5，＝﹣3，∴Q4(5，﹣3)；∵Q3是FD的中點，D(0，2)，F(2，﹣4)，∵＝1，＝﹣1，∴Q3(1，﹣1)．∴存在，點Q的坐標Q1(8，﹣2)，Q2(6，﹣6)，Q3(1，﹣1)，Q4(5，﹣3)．2．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行x軸交直線BC點F，求△DEF周長的最大值；(3)已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線對稱軸的右側，是否存在以點P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，∴解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3(2)∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與y軸交于點C∴點C坐標為(0，﹣3)∴直線BC解析式為：y＝x﹣3∵點B(3，0)，點C(0，﹣3)∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周長＝DE+EF+DF＝(1+)DF，設點D(a，a2﹣2a﹣3)，則F(a2﹣2a，a2﹣2a﹣3)∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+∴當a＝時，DF有最大值為，即△DEF周長有最大值為(1+)×＝，(3)存在，如圖1，過點M作GH⊥OC，過點P作PH⊥GH，連接MN，PM，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4∴點M(1，4)∵以點P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∴∠PMH+∠NMG＝90°，且∠PMH+∠MPH＝90°，∴∠NMG＝∠MPH，且MN＝PM，∠H＝∠NGM＝90°，∴△MNG≌△PMH(AAS)∴GM＝PH＝1，∴點P的縱坐標為﹣3，∴﹣3＝x2﹣2x﹣3∴x＝0(不合題意舍去)，x＝2，∴點P的橫坐標為2，如圖2，過點P作GH⊥AB，過點N作NG⊥GH，過點M作MH⊥GH，易證：△NGP≌△PHM，可得NG＝PH，GP＝MH，設點P橫坐標為a，(a＞1)∴NG＝PH＝a，∴點P縱坐標為﹣4+a，∴﹣4+a＝a2﹣2a﹣3∴x＝(不合題意舍去)，x＝綜上所述：點P的橫坐標為2或3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c關于直線x＝1對稱，與坐標軸交于A，B，C三點，且AB＝4，點D(2，)在拋物線上，直線l是一次函數y＝kx﹣2(k≠0)的圖象，點O是坐標原點．(1)求拋物線的解析式；(2)若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；(3)在拋物線上是否存在一點P，使得點Q在x軸上，點M在坐標平面內，四邊形CQPM是正方形，若存在求點P的橫坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵拋物線關于直線x＝1對稱，AB＝4，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，設拋物線的解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，∵點D(2，)在拋物線上，∴＝a×3×(﹣1)，解得a＝，∴拋物線解析式為：y＝(x+1)(x﹣3)＝x2+x+．(2)拋物線解析式為：y＝x2+x+，令x＝0，得y＝，∴C(0，)，∵D(2，)，∴CD∥OB，直線CD解析式為y＝．∴S四邊形OBDC＝(CD+OB)?OC＝(2+3)×＝當直線l解析式為y＝kx﹣2過點D時，2k﹣2＝，∴k＝，∴直線l的解析式為y＝x﹣2，令y＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝，∴E(，0)，∴OE＝，∴S四邊形OCDE＝(+2)×＝＞×，∴直線l必和線段CD相交，令y＝0，得x＝；令y＝，得x＝；如答圖1所示，設直線l分別與OB、CD交于點E、F，則E(，0)，F(，)，OE＝，BE＝3﹣，CF＝，DF＝2﹣．∵直線l平分四邊形OBDC的面積，∴S梯形OEFC＝S梯形FDBE，∴(OE+CF)?OC＝(FD+BE)?OC，∴OE+CF＝FD+BE，即：+＝(3﹣)+(2﹣)，解方程得：k＝，經檢驗k＝是原方程的解且符合題意，∴k＝；(3)①當Q點的橫坐標小于﹣1時，如圖2，過點P作PF⊥x軸于F，∴∠PQF+∠QPF＝90°，∵四邊形CQPM是正方形，∴CQ＝PQ，∠CQP＝90°，∴∠CQO+∠PQF＝90°，∴∠CQO＝∠QPF，∴△COQ≌△QFP(AAS)，∴OQ＝PF，QF＝OC＝，∴PF＝OF+QF＝OF+，設點P的坐標為(t，﹣t2+t+)，∴﹣t2+t+＝t﹣，∴t＝(舍)或t＝﹣∴點P的橫坐標為﹣，②當Q點的橫坐標大于3時，如圖3，同①的方法得，點P的橫坐標為2+，③當Q點的橫坐標在﹣1到3之間時，如答圖2，同①的方法得，點P的橫坐標為2﹣，即：點P的橫坐標為﹣或2﹣或2+．4．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF平行于x軸交直線BC于點F，求△PEF周長的最大值；(3)已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)兩點坐標代入拋物線y＝ax2+bx﹣3，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．(2)如圖1中，連接PB、PC．設P(m，m2﹣2m﹣3)，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵PF∥OB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，則有S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△BOC＝?3?(﹣m2+2m+3)+?3?m﹣＝﹣(m﹣)2+，∴m＝時，△PBC的面積最大，此時△PEF的面積也最大，此時P(，﹣)，∵直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴F(﹣，﹣)，∴PF＝，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF＝EP＝，∴C△PEF最大值＝+．(3)①如圖2中，當N與C重合時，點N關于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P(2，﹣3)．點P橫坐標為2，②如圖3中，當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸于N，ME∥x軸，PE∥y軸．易知△PFN≌△PEM，∴PF＝PE，設P(m，m2﹣2m﹣3)，∵M(1，﹣4)，∴m＝m2﹣2m﹣3﹣(﹣4)，∴m＝或(舍棄)，∴P點橫坐標為所以滿足條件的點P的橫坐標為2或．5．如圖，在平面直角坐標系中，A(﹣1，0)、B(0，2)且Rt△AOB≌Rt△CDA，拋物線y＝ax2+ax﹣2經過點C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是x軸上一點，且PC⊥PB，求P點的坐標；(3)在拋物線上是否存在兩點E、F，使四邊形ABEF是正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)、B(0，2)且Rt△AOB≌Rt△CDA，∴OA＝1，AD＝BO＝2，∴OD＝AO+AD＝2+1＝3，∵∠D＝90°，∴CD⊥OD∴CD＝1，∴C點坐標為(﹣3，1)，∵拋物線經過點C，∴1＝a(﹣3)2+a(﹣3)﹣2，∴a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；(2)設OP＝x，∵Rt△AOB≌Rt△CDA，∴∠CAD＝∠ABO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠CAB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∴BC＝＝，∵PC⊥PB，∴∠CPB＝90°，∴△BPC是直角三角形，∴PB2+PC2＝BC2，∵PB2＝OP2+BO2，PC2＝CD2+DP2，∴OP2+BO2+CD2+DP2＝BC2，即x2+22+12+(3﹣x)2＝10，解得：x＝1或2，由題意可知：P在x的負半軸，∴P的坐標為(﹣1，0)或(﹣2，0)；(3)存在，在拋物線上存在點E、F，使四邊形ABEF是正方形．以AB為邊在AB的右側作正方形ABEF，過E作EH⊥OB于H，FG⊥x軸于G，可證△EHB≌△AFG≌△BAO，∴HE＝AG＝BO＝2，BH＝FG＝AO＝1，∴E點坐標為(2，1)，F點坐標為(1，﹣1)．由(1)拋物線y＝x2+x﹣2，當x＝2時，y＝1；當x＝1時，y＝﹣1．∴E、F在拋物線上．故在拋物線上存在點E(2，1)、F(1，﹣1)，使四邊形ABPQ是正方形．6．如圖，平面直角坐標系