第11講 函數(shù)的基本性質-單調性與最大（小）值（學生版）-高一數(shù)學同步講義

第3課函數(shù)的單調性與最大（?。┲?/p>

號目標導航

課程標準課標解讀

1.理解單調函數(shù)的定義，理解增函數(shù)、

減函數(shù)、單調區(qū)間、單調性的定義.

2.掌握定義法證明函數(shù)單調性的步

驟.通過本節(jié)課的學習，要求掌握函數(shù)單調性的證明，

3.掌握函數(shù)單調區(qū)間的寫法.會求常用函數(shù)的單調區(qū)間，會利用函數(shù)的單調性求函數(shù)

4.理解函數(shù)的最大（小）值的概念及其的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調性求待定參數(shù)的

幾何意義.值.

5.會借助單調性求最值.

6.掌握求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最

值.

般知識精講

*'知識點01函數(shù)的單調性

1.函數(shù)單調性的定義

一般地，設函數(shù)/（X）的定義域為/:

如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值即，X2,當時，都有/（尤］）＜/（々），那么

就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)：

如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值幻，X2,當M42時，都有/（%）＞/（%）,那么

就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

【微點撥】（1）定義中的制，X2有三個特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②屬于同一個區(qū)間；③有

大小，一般令Xl<%2.

（2）增、減函數(shù)的定義實現(xiàn)自變量的大小關系與函數(shù)值的大小關系的直接轉化：若/（x）是增函數(shù)，則

/（%1）</（工2）0X<X2；若/（X）是減函數(shù)，則/（%）</（々）。石>W-

1

【即學即練1】設定義在［—1,7］上的函數(shù)的圖象如圖所示，則關于函數(shù)y=了3的單調區(qū)間表述

正確的是（）

A.在［-1,1］上單調遞增B.在（0,1］上單調遞減，在［1,3）上單調遞增

C.在［5,7］上單調遞增D.在［3,5］上單調遞增

【即學即練2］已知函數(shù)fG）=-1+——（存1）,則/（X）（）

x-1

A.在（-1,+oo）上是增函數(shù)B.在（1,+oo）上是增函數(shù)

C.在（-1,+oo）上是減函數(shù)D.在（1,+00）上是減函數(shù)

±'知識點02函數(shù)的單調區(qū)間

如果函數(shù)），=f（x）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)產/'（X）在這一區(qū)間具有（嚴格的）

單調性，區(qū)間。叫做內'（X）的單調區(qū)間.

【微點撥】

（1）一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調區(qū)間時，不能用“U”連接，而應該用“和”連接.

（2）函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的單調區(qū)間是其定義

域的子集.

（3）函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，具有局部性，并且在某一點上不存在單調性.

1X是有理數(shù)

（4）并非所有的函數(shù)都具有單調性.如函數(shù)/<x）='-就不具有單調性.

,|0,x是無理數(shù)

（5）寫函數(shù)的單調區(qū)間或利用單調區(qū)間求解時，首先要關注函數(shù)的定義域，否則容易出錯;

需注意單調區(qū)間與在區(qū)間上單調的區(qū)別;

【知識拓展11常見函數(shù)的單調性

函數(shù)類型單調性

左>0在R上單調遞增

一次函數(shù)y=kx+b(kw0)

k<0在R上單調遞減

k>0單調減區(qū)間是(—8,0)和(0,+8)

反比例函數(shù)y二—(Zw())

k<0單調增區(qū)間是(—8,0)和(0,+8)

bb

a>0單調減區(qū)間是(一叫-一),單調增區(qū)間是|-一,+8)

二次函數(shù)2a2a

y=ax2+OX+C(QwO)

單調減區(qū)間是［-2,+8),單調增區(qū)間是(-8,一之)

a<Q

2a2a

【即學即練3].函數(shù)/(x)=-|x-2|的單調遞減區(qū)間為()

A.(-00,2]B.[2,+8)

C.[0,2]D.[0,+oo)

丞、知識點03函數(shù)的最大(小)值

1.最大值

一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

(1)對于任意的xw/,都有

(2)存在/,使得八%)=".

那么，我們稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.函數(shù)的最大值對應圖象最高點的縱坐標.

2.最小值

一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)相滿足：

(1)對于任意的丁€/,都有機；

(2)存在x0e/,使得/(x0)=m.

那么，我們稱，”是函數(shù)y=/(x)的最小值.函數(shù)的最小值對應圖象最低點的縱坐標.

【知識拓展2】函數(shù)的最值與單調性的關系

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,句上是增函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y=〃x),xe(a,c)在

x=8處有最大值/(Z?).

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,切上是減函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/'(x),xe(a,c)在

x=1處有最小值/(，).

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[。,句上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間切的左、右端點處分別取得最小(大)值

和最大(小)值.

【即學即練4]函數(shù)y=x一1在[1,2]上的最大值為()

X

3

A.0B?一C.2D.3

2

【即學即練5】函數(shù)/a)=2x-KT[的最小值為.

【即學即練6】函數(shù)/U)=—N—4X+1,XG[-3,3]的值域是()

A.(-oo,5]B.[5,+oo)C.[-20,5]D.[4,5]

u能力拓展

考法01

1.函數(shù)單調性的判斷或證明

(1)判斷函數(shù)的單調性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調性則應嚴格按照單調性的定義操作.

利用定義法判斷(或運用)函數(shù)的單調性的步驟來證明.

(2)若判斷復合函數(shù)的單調性，則需將函數(shù)解析式分解為一些簡單的函數(shù)，然后判斷外層函數(shù)和內層

函數(shù)的單調性，外層函數(shù)和內層函數(shù)的單調性相同時，則復合函數(shù)單調遞增；外層函數(shù)和內層函數(shù)的單

調性相反時，則復合函數(shù)單調遞減.可簡記為“同增異減”，需要注意內層函數(shù)的值域在外層函數(shù)的定義

域內.

(3)函數(shù)單調性的常用結論：

①若/(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則〃x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);

②若k>0,則子(x)與/(x)的單調性相同；若女<0,則@(x)與“X)的單調性相反;

③函數(shù)y=/(x)(/(x)>0)在公共定義域內與y=-/(x),y=-的單調性相反：

J(X)

④函數(shù)》=〃耳(〃力“)在公共定義域內與>=而已的單調性相同.

【典例1］定義在R上的函數(shù)7U)滿足：對任意實數(shù)”"總有_/0+〃)=八，〃)：/5),且當x>0

時，O<A^)<1.

(1)試求K0)的值；

(2)判斷兀V)的單調性并證明你的結論.

考法02

函數(shù)的單調區(qū)間：寫函數(shù)的單調區(qū)間或利用單調區(qū)間求解時，首先要關注函數(shù)的定義域，否則容易出錯；

需注意單調區(qū)間與在區(qū)間上單調的區(qū)別.

【典例2】函數(shù)/(x)=一^^的單調遞增區(qū)間為.

x—4-x—5

對單調區(qū)間和在區(qū)間上單調兩個概念的理解：

【典例3】已知二次函數(shù)f(x)=x2-2(a-l)x+6在區(qū)間(一雙5］上單調遞減，求實數(shù)。的取值范圍.

【即學即練7】已知f(x)是定義在［0,+oo)上單調遞增的函數(shù)，則滿足了(2x-l)</(g)的x取值范圍

是()

門2)(2^1「12、(2

A，(J3)B'卜C.［展向D.卜8虧_

考法03

單調性的應用：

函數(shù)單調性的應用主要有：

1.(1)由不々的大小關系可以判斷/(石)與/(馬)的大小關系，也可以由與/(々)的大小關系判

斷出玉的大小關系.比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數(shù)性質轉

化到同一個單調區(qū)間上進行比較.

(2)利用函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最大值和最小值.

(3)利用函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍，此時應將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的

單調區(qū)間，再與已知單調區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍.若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調性

外，還要注意銜接點.

(4)利用函數(shù)的單調性解不等式.首先根據(jù)函數(shù)的性質把不等式轉化為了(g(x))>/'(〃(x))的形式，然

后根據(jù)函數(shù)的單調性去掉了號，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)與/z(x)的取值應在外層函

數(shù)的定義域內.

2.已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法：

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性的定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與己知單調區(qū)間比較求參數(shù).

(2)依據(jù)常見函數(shù)的單調性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調性求解.

(3)要注意："函數(shù)犬X)的增區(qū)間是3,3”與"函數(shù)Kx)在區(qū)間①，切上單調遞增”是不同的，后者意味著區(qū)間3,

切是函數(shù)式X)的增區(qū)間的一個子集.

,、[ax1+x-l(x>2)

【典例4】函數(shù)J(x)=<，/一是R上的單調遞減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是_______.

-x+l(x<2)

【即學即練8】函數(shù)戶入金，xG(，"，〃]最小值為0,則，〃的取值范圍是()

X+1

A.(1,2)B.(-1,2)

C.[1,2)D.[-1,2)

【即學即練9]如果函數(shù)/(x)=；(m—2)f+(〃-8)工+1(哈0,力K))在區(qū)間仕，21上單調遞減，那么〃的最大

值為()

A.16B.18C.25D.y

【即學即練10][2020年新高考全國I卷】若定義在R的奇函數(shù)加)在(-oo,0)單調遞減，且貝2)=0,則滿

足步1(X—1)20的x的取值范圍是()

A.[-1,1][3,4W)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]|J[l,+a>)D.[-l,0]|J[l,3]

考法04

求函數(shù)的最大(小)值

求函數(shù)最大(小)值的常用方法有：

(I)配方法，對于“二次函數(shù)類”的函數(shù)，一般通過配方法求最值；

(2)圖象法，對于圖象較為容易畫出來的函數(shù)，可借助圖象直觀求出最值;

(3)單調性法，對于較復雜的函數(shù)，分析單調性(需給出證明)后，可依據(jù)單調性確定函數(shù)最值；

(4)若函數(shù)存在最值，則最值一定是值域兩端處的值，所以求函數(shù)的最大(小)值可利用求值域的方法.

注意：(1)無論用哪種方法求最值，都要考查“等號”是否成立.

(2)函數(shù)的值域是一個集合，函數(shù)的最值是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，函數(shù)的值域一定存在，

但函數(shù)并不一定有最大(小)值.

【典例5】已知函數(shù)汽x)=/-2x+2.

(1)求火x)在區(qū)間成，3]上的最大值和最小值；

(2)若g(x)=/(x)—M在[2,4]上是單調函數(shù)，求m的取值范圍.

【即學即練11】己知函數(shù)y=/—4x+5在閉區(qū)間[0,相]上有最大值5,最小值1,則加得取值范圍是()

A.[0,1]B.[1,2]

C.[0,2]D.[2,4]

f(a-l)x+a,尤<0

【即學即練12】已知函數(shù)/(x)=；'八有最小值，則。的取值范圍是()

[x--2x,x>0

A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]

di分層提分

題組A基礎過關練

L下列函數(shù)中，在(0,+e)上為增函數(shù)的是()

A./(x)=2-3xB./(X)=X2-5X

a

c./(x)=--D./(x)=-W

2.甲：函數(shù)是R上的單調遞減函數(shù)；乙：刈<々,/(為)>/(々)，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)f(x)=4-x的遞增區(qū)間為()

A.（°，jB.（0,1）C."

D.（1收）

4..函數(shù)s=&京的單調遞減區(qū)間為（）

A.[-8,5B.C.[0,-K?）D.（F-3]

5.函數(shù)y=2x+JIW,則（）

A.有最大值無最小值B.有最小值無最大值

4

c.有最小值;，最大值。

D.既無最大值,也無最小值

24

6.若函數(shù)/（x）=V-/nx+10在（-2,1）上是減函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[2,+oo)B.i+oo)

C.y,2]D.(-00,-4]

7.設函數(shù)八幻為單調函數(shù)，且x?0,3)時，均有+=則/(1)=()

A.-3B.-2C.-1D.0

8.若函數(shù)〃力=/+（為-1）》+1在（7,2]上是單調遞減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.-p+cojB.卜8,一不C.[-1-+00）D.卜8,一1

9.已知“X）是定義在（-2,2）上的單調遞減函數(shù)，且〃2a-3）</（a-2）,則實數(shù)〃的取值范圍是（)

A.（0,4）B.（L+oo）C（其）D-（6）

10.已知函數(shù)〃x）=T（xe[2,6D，則_/?的最大值為（）.

A.-B.-C.1D.2

32

題組B能力提升練

1.函數(shù)=X+K在]，+8]上為增函數(shù)，則〃的取值范圍為（）

A.p<-B.0<p<-C.p>-D.0<p<-

4444

(3a-l)x+4tz,x<1

2.已知/(%)=是定義在R上的減函數(shù),那么。的取值范圍是（)

-x+\,x>1

B.住,+8

A.

C.

3.函數(shù)/(x)=V-or是區(qū)間口,收)上的單調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍()

A.(^o,3]B.(-oo,0]J(3,-H?)

C.(3,+oo)D.

4.函數(shù)f(x)=三絲±U(aeR),若對于任意的xeN*，7(x)23恒成立，則。的取值范圍是()

X+]

8「2、「11r,\

A.--,+°oIB.--,+<?IC.--,+QOID.[-l,+oo)

5.已知函數(shù)“X)在R上為增函數(shù)，若不等式/(Yx+“)N/(-3-x2)對Vx?0,3R亙成立，則。的取值范圍

為()

A.B.(3,+co)C.[0,+co)D.[l,+<?)

6.已知實數(shù)a，b,c,”滿足a>b>c,且a+6+c=0,ad2+2bd-b=0,則4的取值范圍是()

A.(-<o,—l]I[0,+co)B.(-1,1)

C.V2,l\/2jD.1—V2,—1+V2j

7.(多選題)定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，對于函數(shù)f(x)=x-[可有以下四個結論，其中正確的是()

A./(2019.67)=0.67

B.在每一個區(qū)間伙河+1)+eZ)上,函數(shù)/(每都是增函數(shù)

D.y=/(x)的定義域是R,值域是。1)

8.已知函數(shù)f(x)=-2x+l(XG[-2,2]),g(x)=x2-2x,(xe[0,3])?則下列結論正確的是()

A.VX€[-2,2],f(x)>。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是(f,-3)

B.ire[-2,2],/(x)>a恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是(—,-3)

C.Hxe[0,3],g(x)=a,則實數(shù)a的取值范圍是[-1,3]

D.Vxe[-2,2],3re[0,3],/(x)=g(f)

9..對于定義域為。的函數(shù)〃x),若存在區(qū)間同時滿足下列條件：①〃x)在回，句上是單調

的；②當定義域是加川時，“X)的值域也是卜〃,"]，則稱卜4〃]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧

區(qū)間'’的是

9

A.=9B./(x)=3--C.f^x)=ex-\D./(x)=lnx+2

10.函數(shù)/(力=0^+(。-3)x+l在(-1,”)上單調遞減，則實數(shù)。的取值