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文檔簡介
2023-2024學(xué)年山東省青島市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題
一、單選題
1.已知集合厶={1,2,3,4},3={2,4,6,8},。={3,6,9},則(AuB)cC的元素個數(shù)為()
A.0B.1C.2D.3
【正確答案】C
【分析】運用集合的交并集運算計算(Ac/8)cC,再判斷元素個數(shù).
【詳解】(A=8)cC={3,6},元素個數(shù)為2,
故選:C.
2.下述正確的是()
A.若。為第四象限角,貝iJsin6>0
TT
B.若cos9=0,則8=萬
C.若6的終邊為第三象限平分線,則tan9=-1
TT
D.“6=E+一,左£Z”是“sin6=cos,”的充要條件
4
【正確答案】D
【分析】對于A,利用三角函數(shù)定義即可判斷;對于B,求出。的值即可判斷;對于C,算
出e的范圍即可判斷;對于D,利用充分,必要的定義進(jìn)行判斷即可
【詳解】對于A,若。為第四象限角,根據(jù)三角函數(shù)定義可得sin8<0,故不正確;
TT
對于B,若cos9=0,則6=彳+而/€2,故不正確;
2
57r
對于C,若,的終邊為第三象限平分線,則,=^+2E,%£Z,
4
此時tan6=l,故不正確;
對于D,由。=也+四,keZ可得把一=tan?=l,即sin6=cos6,滿足充分性;
4cos。
■/j
由$山夕=8$??傻?2116=*=1,所以6=E+二,%eZ,滿足必要性,故正確
COS04
故選:D
3.函數(shù)y=Jkgx的定義域是
A.(0,IJB.(0,+8)
C.(l,+8)D.[1,冋
【正確答案】D
【詳解】由題意知log/>0,..x>\,則函數(shù)丫=匹/的定義域是[1,伊).
故選D.
2
4.若函數(shù)〃x)=a-応]■為奇函數(shù),則”=()
A.0B.1C.2D.3
【正確答案】B
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),/(0)=0,解得。=1,驗證為奇函數(shù).
2
【詳解】因為函數(shù)/(x)=a-]節(jié)為奇函數(shù),且xeR,所以/(0)=0,a=L
7—19~x—I-1
驗證當(dāng)a=l時,/(A-)=1--^-=|^|)〃-)=記=-怎滿足題意,
乙>丄4I丄乙I丄4I丄
故選:B
5.若丄<?<(),則下列不等式中正確的是()
ab
A.a<bB.a2b>ab2
_?I.-a+b
C.k/>-bD.a<------
112
【正確答案】B
【分析】根據(jù)丄<,<0可得:b<a<0,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項進(jìn)行檢驗即可求解.
ab
【詳解】因為丄<,<0,所以故選項A錯誤;
ab
因為所以必>0,則有/。,〃從,故選項B正確;
因為人<。<(),所以一〃<4,又因為。<0,所以同=-。,則—。二時〈一。,故選項C錯誤;
因為所以a+A<a+a,兩邊同時除以2可得:號<a,故選項D錯誤,
故選.B
6.已知函數(shù)則()
A.f(x)的最小正周期為2n
B.點像,0)是圖象的一個對稱中心
C.直線“強是/(力圖象的一條對稱軸
D.在上號)上單調(diào)遞增
【正確答案】D
【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可逐一檢驗
【詳解】對于A,由可得周期7=年=
九,故A不正確;
2
71
對于B,當(dāng)x=4時,2x--=-SIN2JC=0.
666,46r
則點仁,oj不是“X)圖象的一個對稱中心,故B不正確;
對于C,當(dāng)》=工時,2X-2=0,sin2x-571=0^+1,
126I6丿
則直線X=專不是“X)圖象的一條對稱軸,故C不正確;
71兀,八71兀兀
對于D,當(dāng)xw時,2x--e
6
上單調(diào)遞增,故D正確,
故選:D
7.若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:當(dāng)NV:時,/(-sinx)+2/(sinx)=3siiucosx,且
/(x+2)=/(x),則/(外)
A.上n1236c36
B.—C.D.—
2525255
【正確答案】C
【分析】利用解方程組的方法求出函數(shù)解析式,根據(jù)周期即可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)NW]時,cosx=Vl-sin2x
則/(-sinx)+2/(sinx)=3sinx\Jl-sin2x?
☆f=sinx,則。(一力+2/(。=3Tl—產(chǎn),問-1』,
用T換乙得/?)+2/(-/)=-3兇-』,
聯(lián)立解得了⑺=3/族萬,?e[-l,l]
所以,f(x)=3xjl—公,
〃x+2)=小),.丿⑴是以2為周期的函數(shù).
故選:c
8.已知函數(shù)〃X),對任意KM€(1,40。)且工產(chǎn)%2,々/(與)+藥/(々)<為/(5)+々/(電)恒成
-1
立,且/(x+1)是偶函數(shù),設(shè)。=,b=/(log34),c=/(log33),則a,尻c的大小關(guān)
系為(
A.b<a<cB.c<b<a
C.b<c<aD.a<b<c
【正確答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義,函數(shù)解析式變換,函數(shù)的對稱性即可求解.
【詳解】因為當(dāng)不,/,石*%,』_/1(再)+石/仁)〈石f(石)
所以[/a)-/(w)](々-xi)<o,
所以“辦)一”天)與々一百異號,
所以芍)與%-馬同號,
所以“X)在(l,y)是增函數(shù),
又/(X+1)是偶函數(shù),所以/(X)關(guān)于直線X=1軸對稱,
?=/[log3^=/(-log32)=/[2-(-log32)]=/(2+log32),
ft=/(log,4),c=/(log,3')=/(-1)=/(3)
4
又log34-(2+log32)=log3--2=log.,2-2<0,
所以Iog34<2+log32<3
所以/dog34)</(2+log32)</(3)
所以£><a<c.
故選:A.
二、多選題
9.已知sinx=|,xe(0,]),則()
【正確答案】AC
【分析】使用誘導(dǎo)公式化簡,用同角三角函數(shù)關(guān)系求值.
3兀-4
【詳解】sinx=-,xe0,^,則cosx=Jl-sin?x=-
525
3
sin(兀-x)=sinx=g,故A正確;
4
COS(X-7C)=-COSX=--,故B錯誤;
4
cosx=-,故C正確;
3
=-sinx=--,故D錯誤;
故選:AC.
10.已知函數(shù)/(x)=x。,則()
A.若a=3,則函數(shù)“力為偶函數(shù)
B.若a=T,則函數(shù)“同在(0,+功上單調(diào)遞減
C.若[=;,則函數(shù)“X)的定義域[0,+8)
D.若a=;,則函數(shù)y=/(x)-co&x只有一個零點
【正確答案】BCD
【分析】對于A,利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可;對于B,利用事函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;
對于C,利用根號內(nèi)大于等于。即可判斷;對于D,利用零點存在定理即可判斷
【詳解】對于A,若。=3,則〃x)=Y,定義域為R,
所以f(-x)=(-x)3=-1=_/(力,所以/(x)為奇函數(shù),故錯誤;
對于B,若a=—l,則/(耳=/,
利用慕函數(shù)的性質(zhì)可得〃x)=/在(0,+司上單調(diào)遞減,故正確;
對于C,若。=不,貝“/(%)=/=69
2
此時函數(shù)的定義域為[0,+。),故正確;
11
對于D,右a=],則/(%)=/=?,
設(shè)g(x)=>=y/x-cosx,
當(dāng)時,?-cosx>J三-1>0,故此時不會有零點;
2V2
當(dāng)04x4^時,y=?單調(diào)遞增,丫=8屮單調(diào)遞減,所以g(x)單調(diào)遞增,
且g(。)=T<。,g/-喈>0,
由零點存在定理可得在0胃僅有一個零點,
綜上,函數(shù)y=/(x)-cosx只有?一個零點,故正確
故選:BCD
11.下述正確的是()
A.若xeR,則x(10-x)的最大值是25
B.若x>0,則3+1的最大值是一3
X
C.若則siar+二的最小值是4
k2」sinx
若可嗚924
D.則急+0一嬴的最小值是12
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)基本不等式判斷各選項.
【詳解】選項A,x40或X210時,x(10-x)<0,因此最大值在0<x<10時取得,此時
X(10-X)<(A+1^~V)2=25,當(dāng)且僅當(dāng)=5時等號成立,A正確;
2
_y-□_Y_4444
選項B,4=-(x+-)+l,由于x>0,x+->4,當(dāng)且僅當(dāng)》=—即x=2時等號成
XXXX
立,所以±工14-4+1=-3,最大值為-3,B正確;
X
TT44
選項C,XG(0,—],0<sinx<l,sinx+------>4,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=------即sinx=2時等號
2sinxsinx
成立,由于OvsinxKl等號不成立,C錯誤;
選項D,則0<sinx<l,0<cosx<l,
9249114
?。+---5-----------=?)+-+2------------
sm~xcos-xcosxsin-xcos-xcosxcosx
=(sin2x+cos2x)(—+—^―)+(-----2)2-4,
sin-xcos-xcosx
.2、/91、s9cossin2xJ9cossin2x1工
(zsirr2x+cosx)(——+———)=10+——--+——>10+2J——---------=16,
sinxcosxsinxcosxVsin~xcosx
當(dāng)且僅當(dāng)竺&=包H,即cosx=1時等號成立,
sin-xcos-x2
(--------2)~在---=2即cosx=—時,取得最小值0,
cosxcosx2
1jr924
綜上,cosx=:即x=£時,三+一、-------取得最小值16+0-4=12,D正確.
23smxcosxcosx
故選:ABD.
12.已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,+e),/(力+八月=/(盯)+1,當(dāng)x>l時,/(%)>1,則
()
A."1)=1B./(/(2))<1
C./(x)是增函數(shù)D.當(dāng)0cx<1時,/(%)<1
【正確答案】ACD
【分析】對A、B:根據(jù)題意直接賦值運算求解;對C:根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證
明;對D:根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運算.
【詳解】對A:令x=y=l,可得/(1)+/(1)=/(1)+1,解得=A正確:
對B:,當(dāng)*>1時,/(%)>1,則/⑵>1,
.-./(/(2))>1,B錯誤;
/X/\
+1
對C:令彳=眞>0丿=強>。,可得,"%)+/匹=/(x2)>即〃xJ-〃X2)=l-fX,
玉I不丿\X\J
設(shè)X2">0,則上?>],可得了上>1,
則〃珀-"々)=1寸強<0,即〃百)</仁),
1%丿
故函數(shù)/(X)在(o,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,C正確;
對D::函數(shù)“X)在(0,田)內(nèi)單調(diào)遞增,
故當(dāng)0<x<l時,/(x)</(l)=l,D正確.
故選:ACD.
三、填空題
13.計算:igioo-(27戶=----------
【正確答案】-1
【分析】根據(jù)對數(shù)的定義,基的運算法則計算.
5235
【詳解】lgl00-(27)=1g10-(3)=2-3=-1-
故-1.
14.已知。為坐標(biāo)原點,點P的初始位置坐標(biāo)為等),線段OP繞點。順時針轉(zhuǎn)動90后,
點戶所在位置的坐標(biāo)為.
【正確答案】
【分析】設(shè)點P在角a的終邊上,根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得cosa=1,sina=Y3,再
22
根據(jù)題意可知轉(zhuǎn)動后點戶在角夕-90的終邊上,且0尸=1,根據(jù)誘導(dǎo)公式求出即可;
【詳解】設(shè)點尸在角a的終邊上,又員,則cosc=g,sina=#,|OP|=l,
線段O尸繞點。順時針轉(zhuǎn)動90后,此時點尸在角a-90的終邊上,且|OR=1,
所以此時點P的橫坐標(biāo)為cos(a-90)=sina=¥,縱坐標(biāo)為sin(a-90)=-cosa=-;,
即尸點坐標(biāo)為弓
故性T
15.若tana=2,則sin,a+sinacosa-cos4a=.
【正確答案】1
【分析】由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解.
【詳解】由tana=2可得
sin4a+sinacosa-cos4a=kin2a-cos2a)(sin2a+cos%)+sinacosa
22
.22.sin?-cosa+sinacos^ztan%-1+tana,
=sin"a-cos~a+sinacosa=-----------;-------------------=----------5----------=1.
sin2+cos~atan"a+1
故1
16.已知函數(shù)〃x)=|^17,若。£(一兀,兀)J2r-8sin(e-g)+3<-]在,£(0,中?)時恒
成立,則。的取值范圍是.
【正確答案】卜也2
【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷了(X)是單調(diào)遞減函數(shù)且7(1)=-;,則題意可轉(zhuǎn)化成
r-4sin,-][r+l>0,,€(-兀,兀)在1€(0,+00)時恒成立,設(shè)g(f)=產(chǎn)-4sin(?-])+l,對
稱軸為f=2sin(。-1),分兩種情況即可求解
【詳解】因為/(》)=2謂-V=點4一1
因為y=2+3,是單調(diào)遞增函數(shù),且y=2+3、?2,+8),
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可得f(x)是單調(diào)遞減函數(shù),而〃l)=-g
所以/2f2_8sinR-g)+3<-(=./■⑴,。?-兀,兀)在fe(0,E)時恒成立可轉(zhuǎn)化成
2/2—8sin[?!?3>1,9e(―兀,兀)在te(0,+<x>)時恒成立,
可整理得尸一4$淪(6?-]>+1>°,6)€(-兀,兀)在.€(°,+00)時恒成立,
設(shè)g(f)=/_4sin(e_m:+l
當(dāng)一4sin(e_1)*0時,8(。=尸_45m(9_5b+1的對稱軸為.=2.11(9_1)40,
此時,當(dāng)f>0,g(r)>g⑼=1>0恒成立,滿足題意,
所以由Tsin(e-])WO可得sin(e-])40,所以一TT+2E442版/eZ,
2TC
糸軍得一一7t+2k7i<0<-+2knkeZ
339f
因為6右(-兀,兀),所以一與
當(dāng)一4而1_?<0,g(r)=*_4sin,-W)r+l的對稱軸為f=2sin(e_?>0,
貝”=6府(6_1卜4<0,解得0<sin(e_g)<g,
所以2航<&--<—+2kit或多+2An<0--<n+2kit,keZ,
3663
jrTT77r4兀
所以一+2E<6<—+2kn或一+2kn<0<—+2kn,keZ,
3263
因為0€(-兀,兀),所以或—當(dāng)<。<一=,
3263
綜上所述,夕的取值范圍是
關(guān)鍵點睛:這道題得到“-4sin[e-g)+l>0,ee(f,7r)在r?0,一)時恒成立后,關(guān)鍵是
討論對稱軸f=2sin(嗯)是否在/?0,冋內(nèi),
四、解答題
17.已知全集為R,M=[—2,2],N={XD4X42}.
⑴求M低N);
⑵若C={H—2a4x4a},且Cu"=C,求。的取值范圍.
【正確答案】24X<0}
⑵[2,同
【分析】(1)利用補集和交集的定義即可求解;
(2)由C=M=C可得M=C,然后列出不等式即可.
【詳解】(1)因為M=J2,2],/V={A|0<X<2},
所以4N={RX<0或X>2},
所以Mc(4N)={d-2Wx<0}.
(2)因為=所以MqC,
a>\-2a
所以<a>2,解得
\-2a<-2
故。的取值范圍為[2,4w).
18.已知函數(shù)/(x)=*2+(1-m)X-〃2.
⑴若VxwRJ(x)>—l,求機的取值范圍;
(2)若機<0,解關(guān)于x的不等式f(x)>0.
【正確答案】(1)(-3,1)
(2)答案見詳解
【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式在R上恒成立問題運算求解;
(2)分類討論兩根大小解一元二次不等式.
【詳解】(1)由/(力=/+(l-m)x-加>一1,可得》2+(1-間x-,〃+l>0對VxeR恒成立,
則A=(l-w)2-4(-ZM+1)=nr+2m-3<0,解得一3<〃?<1,
故”的取值范圍(-3,1).
(2)由題意可得:/(x)=x2+(l-?7)x-m=(x+l)(x-/?7),
令〃x)=0,可得產(chǎn)-1或工=機,
對于不等式/(x)>0,則有:
當(dāng)“<-1時,不等式的解集為(—>,m)U(-1,啓);
當(dāng),”=-1時,不等式的解集為{x|x#—1};
當(dāng)-1<加<0時,不等式的解集為(y,-l)U(/n,心).
19.已知函數(shù)/(》)=$出(2》+9)-1,-5<9<],1是/(村的一個零點.
⑴求夕;
⑵若xe"當(dāng)時,方程"x)=m有解,求實數(shù)〃,的范圍.
【正確答案】(1)-2
O
-3-
⑵一],0
【分析】⑴將零點代入計算得夕=4+2EkZ,結(jié)合_[<夕<[得夕=_g
6226
⑵先算出2x-g當(dāng),結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出進(jìn)一步得
61.66」<6JL2J
,、「3-
f(x)e-1,0,由題意可知參數(shù)范圍即為函數(shù)值域.
【詳解】⑴由題意/("=sin停+租卜=0,
則夕=_E+2ht,Z:eZ,
6
兀717
------<(0<—,:.(0=一
2------2(
(2)由(1)得〃x)=sin
xe。,5,則2X一工《Tt5lt
.z」06,~6
?13
一剖,則川加--,0
,、「3一
方程/(X)=W有解,則,~p0.
20.已知函數(shù)/■(耳=108〃(2犬-4)+108“(5-*)(4>0且。*1)的圖象過點2(3,—2).
⑴求“的值及的定義域;
「9
⑵求“X)在3,-上的最大值;
⑶若2"=3"=(I<f<3),比較/(2")與43〃)的大小.
【正確答案】(1)“=;,定義域為(2,5);
(2)最大值是-log?g,
⑶/(2〃?)</(3〃).
【分析】(1)由/(3)=-2求得a,由對數(shù)函數(shù)的定義得定義域;
(2)函數(shù)式化簡為只含有一個對數(shù)號,然后由二次函數(shù)性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得最大值;
(3)指數(shù)式改寫為對數(shù)式,然后比較2,%3〃的大小,并由已知得出2肛3〃的范圍,在此范
圍內(nèi)由f(x)的單調(diào)性得大小關(guān)系.
【詳解】(1)由己知〃3)=log,,2+log,,2=-2,〃=
(2x-4>0
八=2<x<5,定義域為(2,5);
[c5-x>0
(2)/(X)=logi(2%-4)+log1(5-x)=logj(2x-4)(5-x)=log1(-2x2+14x-20),
2222
.J9057c99
-2f+14x-20=-2(x--)2+-,3<x<-,貝!]—4-2(x--)2+-<-,
2222
9)5Q
所以logiq41ogi(-2x+14x-20)41og|7,x=-時取等號,
222222
最大值為log5=TogA;
2ZZ
(3)2"=3"=f(|<f<3),(竝產(chǎn)=(兩3』,
2m=logof,3〃=log呑f,
&=冊,%=駆>酶=&>1,
所以26>3〃,<3,則機=log2,〈log??,2/7:<21og23,
77
V27>34,所以7>41og,3,log3<-,即2m<不,
242
..5_..5.125.__
n=log,t>log,-,3">3log,-=log,—>log,9=2,
2Zo
所以2,〃e(2,'1),3〃e(2,g),
?..“=-2/+4X-20在(2,白上是增函數(shù),又產(chǎn)咋丄“在">0時是減函數(shù),
22
7
.../⑴在已射上是減函數(shù),
/.f(2ni)<f(3n).
21.2022年卡塔爾世界杯剛結(jié)束不久,留下深刻印象的除了精彩的足球賽事,還有靈巧可
愛、活力四射的吉祥物,中文名叫拉伊卜,在全球范圍內(nèi)收獲了大量的粉絲,開發(fā)商設(shè)計了
不同類型含有拉伊卜元素的擺件、水杯、鑰匙鏈、體恤衫等.某調(diào)查小組通過對該吉祥物某
擺件官網(wǎng)銷售情況調(diào)查發(fā)現(xiàn):該擺件在過去的一個月內(nèi)(以30天記)每件的銷售價格P(x)
(單位:百元)與時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系式近似滿足P(X)=I+:a為正常數(shù)),
日銷售量Q(x)(件)與時間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
X(天)510152530
0(x)(件)115120125115110
已知第10天的日銷售收入為132百元.
⑴求%的值;
(2)給出以下四種函數(shù)模型:
①Q(mào)(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-15|+Z>,③Q(x)=aB,④Q(x)=a-log〃x.
請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述日銷售量。(x)(單位:件)與
時間X(天)的變化關(guān)系,并求出該函數(shù)解析式;
(3)求該吉祥物擺件的日銷售收入/(x)(14x430,xeN*)(單位:百元)的最小值.
【正確答案】(1)&=1
(2)選②,e(x)=125-|x-15|(l<x<30,xeN+).
(3)132百元
【分析】(1)根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為132元,代入即可得解;
(2)據(jù)所給數(shù)據(jù)知,當(dāng)時間變化時,該商品的日銷售量有增有減,并不單調(diào),而①,③,
④中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù),故只能選②,再代入題表數(shù)據(jù)即可得解;
x+^^+lll,l<x<15,xeN+,
(3)由(2)可得〃x)=P(x)-Q(x)=》,分類討論求最小值
------x+139,15<x<30,xeN.
.x+
即可.
【詳解】⑴由題意得P(IO)01O)=[1+厶)x120=132,解得%=1.
(2)由題表中的數(shù)據(jù)知,當(dāng)時間變化時,該商品的日銷售量有增有減,并不單調(diào),而①,
③,④中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù),故只能選②,即Q(x)=4x-15|+〃.
由題表可得Q(10)=120,2(30)=110,
15a+Z>=110,a=-\,
即解得
5a+b=120,6=125,
故Q(x)=125-k-15](14x430,xeN“).
....fl10+x,l<x<15,xeN,.,
(3)由⑵知Qx=125-x-15=z
[140-x,15<x<30,xeN+,
工+^^+111,1<x<15,xeN+,
.?.〃x)=P(x).Q(x)="
-------x+139,154x430,xeN*.
.x
當(dāng)l?x<15時,丫=%+邛在區(qū)間[1,J麗)上單調(diào)遞減,在區(qū)間[?記,15)上單調(diào)遞增,
...當(dāng)x=10時,/(10)=132,當(dāng)x=U時,"11)=132,
.?.當(dāng)x=10,ll時,/(x)取得最小值,且〃x)1rtli=132;
當(dāng)15WXK30時,),=粵14-0工是單調(diào)遞減的,
x
.?.當(dāng)x=3O時,/(x)取得最小值,且“X)二畳.
綜上所述,當(dāng)x=10,ll時,f(x)取得最小值,且〃力而0=132.
故該商品的日銷售收入/(x)的最小值為132百元.
Y*|t_1
22.已知函數(shù)/'(x)=x-hirTg(x)=e*-x-l,對r>0且....->0,恒有
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