北京市大興區(qū)名校2023年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)模擬試題（含解析）

北京市大興區(qū)名校2023年數(shù)學(xué)九上期末檢測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.拋物線(xiàn)y=-3（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-1,-3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（1,3）

2.拋物線(xiàn)y=2x2,y=-2x2,y=2x2+l共有的性質(zhì)是（）

A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱(chēng)軸都是y軸

C.都有最高點(diǎn)D.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

3.如圖，在△A3C中，D,E分別是48,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,若4。=4,AB=6,BC=12,則。E等于（）

A.4B.6C.8D.10

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)半徑為1的單位長(zhǎng)度，圓心角為60。的扇形組成一條連續(xù)的曲線(xiàn)，點(diǎn)尸從原點(diǎn)O出發(fā),

向右沿這條曲線(xiàn)做上下起伏運(yùn)動(dòng)（如圖），點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的速度為每1個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)P在弧線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的速度為每

秒?個(gè)單位長(zhǎng)度，則2019秒時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

C.(2019,73)D.(2019,-73)

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)B.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作圓

C.平分弦的直徑垂直于弦D.每個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAABO中，NABO=90。，OB邊在x軸上，將ZiABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ACB

D.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,26），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.(V3，1)B.(1,百)C.(1,2)D.(2,1)

7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。.若=ZBAC=Za,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

nn

C.OA=D.BD=—^—

sinatana2sinacosa

8.如圖，在菱形A3CZ）中，AB=2,ZABC=120°,則對(duì)角線(xiàn)3。等于（)

AR

A.2D.8

9.某班一物理科代表在老師的培訓(xùn)后學(xué)會(huì)了某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)操作，回到班上后第一節(jié)課教會(huì)了若干名同學(xué)，第二節(jié)課會(huì)

做該實(shí)驗(yàn)的同學(xué)又教會(huì)了同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)；若設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，則可列

方程為（）

A.x+（x+l）x=36B.l+x+（l+x）x=36

C.l+x+x2=36D.X+（X+1）2=36

10.在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，貝lisinN84c的值為（）

3344

C.D.-

54?3

11.如圖，在紙上剪一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能?chē)梢粋€(gè)圓錐模型，若圓的半徑r=l,扇形的半徑為K,

扇三形的圓心角等于90。，則R的值是()

A.R=2B.R=3C.R=4D.R=5

12.已知Y-/nr+9是關(guān)于x的一個(gè)完全平方式，則”的值是().

A.6B.±6C.12D.±8

二、填空題(每題4分，共24分)

3

13.飛機(jī)著陸后滑行的距離y(m)關(guān)于滑行時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是y=60t-112,在飛機(jī)著陸滑行中，最后2s滑行的距

離是m

14.如圖，AABC中，點(diǎn)。在AC邊上.若AABCAAOB,AB=3,AC=4,則AD的長(zhǎng)為.

A

a

15.已知A(0,3),B(2,3)是拋物線(xiàn)j=_/-5x+c上兩點(diǎn)，該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

16.若王,玉是方程了2—2%一1=()的兩個(gè)根，貝！)芯+々+2%々的值為

17.已知圓錐的底面半徑為2cm,側(cè)面積為10”cm2,則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為cm.

18.若扇形的半徑為3,圓心角120。，為則此扇形的弧長(zhǎng)是.

三、解答題(共78分)

19.(8分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)圖形Ki和K2,給出如下定義：點(diǎn)G為圖形Ki上任意一點(diǎn)，點(diǎn)H為K2圖形

上任意一點(diǎn)，如果G,H兩點(diǎn)間的距離有最小值，則稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形Ki和K2的“近距離”。如圖1,已知AABC,

A(-1,-8),B(9,2),C(-1,2),邊長(zhǎng)為正的正方形PQMN,對(duì)角線(xiàn)NQ平行于x軸或落在x軸上.

(1)填空：

①原點(diǎn)O與線(xiàn)段BC的“近距離”為—；

②如圖1,正方形PQMN在AABC內(nèi)，中心坐標(biāo)為(m,0),若正方形PQMN與AABC的邊界的“近距離”為1,

則m的取值范圍為;

(2)已知拋物線(xiàn)C：y=--x2+3x-a,且-1金=9,若拋物線(xiàn)C與△ABC的“近距離”為1,求a的值；

4

(3)如圖2,已知點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且D(5,-2),將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180"),將旋轉(zhuǎn)中的

△ABC記為AAB'C,連接DB，，點(diǎn)E為DB，的中點(diǎn)，當(dāng)正方形PQMN中心坐標(biāo)為(5,-6),直接寫(xiě)出在整個(gè)旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”.

20.(8分)在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在BC,AC上，且DC=AE,AD與BE交于點(diǎn)P,連接PC.

A

⑵若CE=CP,求證/CPD=NPBD.

(3)在(2)的條件下，證明：點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn).

21.(8分)解方程:

(1)3x(x-2)=4(x-2);

(2)2X2-4X+1=0

22.(10分)如圖，在A3C中，AB=BC,ZABC=120°,點(diǎn)。在邊AC上，且線(xiàn)段繞著點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)120。能與座重合，點(diǎn)F是￡￡>與A8的交點(diǎn).

A

D

(1)求證：AE=CD；

(2)若NDBC=45°,求N3EE的度數(shù).

23.(10分)用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定aT：rb=ab2+2ab+a.如：收3=1x32+2x1x3+1=16.

⑴求(一2*3的值；

⑵若但☆3=8,求a的值.

2

24.(10分)如圖，A3是。。的直徑，C￡＞是。O的弦，且CZ)_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：/BCO=ND；

(2)若CD=2百，AE=1,求劣弧80的長(zhǎng).

25.(12分)已知關(guān)于x的方程x2-6x+A=0的兩根分別是xi、X2.

(1)求我的取值范圍；

II

(2)當(dāng)一+—=3時(shí)，求4的值.

26.已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-/X~+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)C,直線(xiàn)y=x+4經(jīng)

過(guò)A,C兩點(diǎn)，

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)如果點(diǎn)P,Q在拋物線(xiàn)上(P點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左邊)，且PQ〃AO,PQ=2AO,求P,Q的坐標(biāo);

(3)動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)y=x+4上，且AABC與△COM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：???y=-3(x-l)2+3是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式，

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x-h)2+k中，對(duì)稱(chēng)軸為乂=山頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).

2、B

【詳解】(1)y=2x2開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；

(2)y=-2/開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；

(3)尸2爐+1開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為(0,1).

故選B.

3、C

Annr

【分析】由8c可得出△AOEsaABC,利用相似三角形的性質(zhì)可得出一=—,再代入AO=4,AB=6,BC

ABBC

=12即可求出的長(zhǎng).

【詳解】,：DE//BC,

:.△ADESAABC,

ADDE4DE

:.—=—,即an一=——，

ABBC612

：.DE=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平行于三角形一邊的直線(xiàn)與三角形的兩邊相交，所截出的三角形與原三角形相似，

故而依次得到線(xiàn)段成比例，得到線(xiàn)段的長(zhǎng).

4、B

【分析】設(shè)第“秒運(yùn)動(dòng)到凡（〃為自然數(shù)）點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找出部分P〃點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)

律“尸4”+1（蟲(chóng)里，—尸4,,+2（"+1,0）,九+3（如二，--尸4"4（2"+2,0）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論.

2222

【詳解】解：設(shè)第〃秒運(yùn)動(dòng)到尸“（〃為自然數(shù)）點(diǎn)，

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：尸烏,尸2（1,0）,P3（~,-烏,尸4（2,0）,P5（-,4,…,

222222

.4〃+14〃+3G

..尸4"+1（------------,--------）>尸4"+2（"+1,0）,尸4"+3（------------->-------）,尸4"+4（2〃+2,0）.

2222

,.,2019=4x504+3,

.2019J3

??產(chǎn)2019為（-----,------）?

22

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律并根據(jù)規(guī)律找出點(diǎn)的坐標(biāo).

5、D

【分析】根據(jù)圓的切線(xiàn)的定義、圓的定義、垂徑定理、三角形外接圓的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A、垂直于半徑且與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，此項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤

B、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)一定可以作圓，此項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤

C、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，此項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤

D、每個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓，此項(xiàng)說(shuō)法正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的切線(xiàn)的定義、圓的定義、垂徑定理、三角形外接圓的定義，熟記圓的相關(guān)概念和定理是解題關(guān)鍵.

作軸于"，如圖,

,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,2石軸于點(diǎn)B,.，.tanN3AC=%=3百，

AB

.?.NA=30,

:AA〃。繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AC5。，

:.BC=BA=26,OB=2,NCBH=30,

在RfACB"中,C"=4BC=373,

2

BH=0CH=3，

OH=BH-OB=3-2=1,

：.C（1,V3）

故選：B.

【點(diǎn)睛】

根據(jù)直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AB、OB,再利用勾股定理列式求出OA,然后判斷出NC=30。，CD〃x軸

,再根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BE,利用勾股定理列式求出CE,然后求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)

,再寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

7、D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NABC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,BO=DO,再解直角三角形求出即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

ZABC=ZDCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,

...BC

A、在RtAABC中，sina=---

AC

，AC=-J,此選項(xiàng)不符合題意

sinor

由三角形內(nèi)角和定理得：NBAC=NBDC=Na,

*qBC

B、在RtABDC中，tana=——，

DC

yj

：.CD=——,故本選項(xiàng)不符合題意；

tana

C、在RtAABC中，AC=-^—,即AO='AC=」一，故本選項(xiàng)不符合題意；

sina22sina

*?DC

D、，在RtADCB中，cosa=---

BD

［）C

：.BD=—^故本選項(xiàng)符合題意；

cosa9

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

8、A

【分析】由菱形的性質(zhì)可證得AABD為等邊三角形，則可求得答案.

【詳解】四邊形A8CD為菱形，

：.AD//BC,AD^AB,

.-.ZA+ZABC=180°,

.-.ZA=180°-i20o=60o,

.?.A4BD為等邊三角形，

：.BD=AB=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

主要考查菱形的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)證得為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

9、B

【分析】設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，根據(jù)兩節(jié)課后全班共有1人會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程,

此題得解.

【詳解】設(shè)1人每次都能教會(huì)X名同學(xué)，

根據(jù)題意得：l+x+(x+l)x=L

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10、A

【分析】延長(zhǎng)AB至D,使AD=4個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，連接CD,先證出AADC是直角三角形和CD的長(zhǎng)，即可求出

sinN84C的值.

【詳解】解：延長(zhǎng)AB至D,使AD=4個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，連接CD,如下圖所示，

由圖可知：aADC是直角三角形，CD=3個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

根據(jù)勾股定理可得：AC=F不=5個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

CD3

AsinZfiAC=—=-

AC5

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是求一個(gè)角的正弦值，掌握構(gòu)造直角三角形的方法是解決此題的關(guān)鍵.

11、C

【分析】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)是：22空=空，

1802

圓的半徑r=l,則底面圓的周長(zhǎng)是2it,

圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)則得到：—=2式，

2

?R_,

2

即：R=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓錐底面周長(zhǎng)與展開(kāi)扇形弧長(zhǎng)關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A錐底面周長(zhǎng)與展開(kāi)扇形之間關(guān)系.

12、B

【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和3這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和3積的2倍，故1?=±1.

【詳解】：（x±3）2=x2±lx+32,

x2-+9是關(guān)于x的一個(gè)完全平方式，

則m=±l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式.注意積的2倍

的符號(hào)，避免漏解.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、6

【分析】先求出飛機(jī)停下時(shí)，也就是滑行距離最遠(yuǎn)時(shí)，s最大時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，再求出最后2s滑行的距離.

【詳解】由題意，

3

=(t-20)2+6OO,

2

即當(dāng)t=20秒時(shí)，飛機(jī)才停下來(lái).

3

.,.當(dāng)t=18秒時(shí)，y=--(18-20)2+600=594m,

故最后2s滑行的距離是600-594=6m

故填：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.解題時(shí)，利用配方法求得t=20時(shí)，s取最大值，再根據(jù)題意進(jìn)行求解.

14、2

4

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案.

【詳解】AABC~AADB,

.ABAC

?茄一布’

AB=3,AC-4,

.3.4

??=-9

AD3

解得：=：9

4

9

故答案為：-

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.

15、(1,4).

【解析】試題分析：把A(0,3),B(2,3)代入拋物線(xiàn))=-、=-6x+C可得b=2,c=3,所以

;=-x：->+3=-(X-D：-4，即可得該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).

16、1

【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系得出玉+々=2,玉/=-1，然后代入即可求解.

【詳解】?.?斗王是方程/_2“-1=()的兩個(gè)根

/.X,+x2=2,XjX2=~1

原式=2+2*(-1)=2-2=0

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17、5

【解析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐的底面周長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為Rem,

圓錐的底面周長(zhǎng)=2兀X2=4兀，

則！X47rXR=10K,

2

解得，R=5(cm)

故答案為5

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是

扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng).

18、2%

1OQXX3

【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得：-i8Q—=2^,

故答案為27r.

三、解答題（共78分）

25

19、（1）①2；②14加46-血；（2）。=一彳或。=11+正；（3）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距

離”為5四

【分析】（1）①由垂線(xiàn)段最短，即可得到答案；

②根據(jù)題意，找出正方形PQMN與AABC的邊界的“近距離”為1,的臨界點(diǎn)，然后分別求出m的最小值和最大值，

即可得到m的取值范圍；

（2）根據(jù)題意，拋物線(xiàn)與AABC的“近距離”為1時(shí)，可分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C到拋物線(xiàn)的距離為1,即CD=1；當(dāng)

拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB的距離為1時(shí)，即GH=1；分別求出a的值，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，取AB的中點(diǎn)F,連接EF,求出EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)題意，求出點(diǎn)F,點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出FQ的長(zhǎng)

度，即可得到EQ的長(zhǎng)度，即可得到答案.

【詳解】解：（1）①；B（9,2）,C（-1,2）,

.,.點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)相同，

線(xiàn)段BC〃x軸，

原點(diǎn)O到線(xiàn)段BC的最短距離為2；

即原點(diǎn)O與線(xiàn)段BC的“近距離”為2；

故答案為：2；

②(-1,-8),B(9,2),C(-1,2),

，線(xiàn)段BC〃x軸，線(xiàn)段AC〃y軸，

.,.AC=BC=10,ZSABC是等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N與線(xiàn)段AC的最短距離為1,

則正方形PQMN與AABC的邊界的“近距離”為1,

此時(shí)m為最小值，

二?正方形的邊長(zhǎng)為0,

由勾股定理，得：/+/=(、②2,

/.m=1?m=-i(舍去)；

當(dāng)點(diǎn)Q到線(xiàn)段AB的距離為1時(shí)，此時(shí)m為最大值，如圖:

VQN=L△QMN是等腰直角三角形，

-,.QM=V2，

VBD=9,aBDE是等腰直角三角形，

，DE=9,

VAOEM是等腰直角三角形，

，OE=OM=7,

...m的最大值為：m=7-&-1=6-8，

；.m的取值范圍為：—J5；

故答案為：—J5；

1°

⑵拋物線(xiàn)c：「爐+3…,且-"9,若拋物線(xiàn)C與AABC的“近距離，，為L(zhǎng)

，但D的坐標(biāo)為(一1,3),

1

把點(diǎn)D代入y=—r+93%一。中，有

4

—(―1)~+3x(―1)—a—3>

4

解得：。=一2上5；

4

當(dāng)線(xiàn)段AB與拋物線(xiàn)的距離為1時(shí)，近距離為1,如圖：即GH=L

點(diǎn)H在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)H作AB的平行線(xiàn)，線(xiàn)段AB與y軸相交于點(diǎn)F,作FE_LEH,垂足為E,

.?.EF=GH=1,

VZFDE=ZA=45"，

二FD=五，

?.?點(diǎn)A(-1,-8),B(9,2),設(shè)直線(xiàn)AB為y=+"

-%+b=—8k=l

解得:

9k+b=2b=-7

直線(xiàn)AB的解析式為：y=x—7,

直線(xiàn)EH的解析式為：y=x-7—&；

.".聯(lián)合y=x-7-血與y=_；彳2+3尤_。，得

x—1~yp2.=—x~+3>x—cit

4

2=

整理得：—%+2x+7+\f2—ctOt

4

,直線(xiàn)EH與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，

A=22—4x(—―)x(7+>/?.-a)=0,

4

解得：a=l1+V2；

25_

綜合上述，a的值為：。=一彳或。=11+夜；

(3)由題意，取AB的中點(diǎn)F,連接EF,如圖：

‘AB'=AB=J(-1-9)2+(-8-2)2=10^,

在AADB'中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn),

AEF=-AB,=5s/2,

2

1?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-2),A(-1,-8),

...點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,-5）,

?.?在正方形PNMQ中，中心點(diǎn)。'的坐標(biāo)為（5,-6）,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6,-6）,

:.FQ=7（6-2）2+（-6+5）2=V17，

:.EQ=EF-FQ=5近-歷；

.?.點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為50-J萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和最短路徑問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次

函數(shù)的平移，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)，作

出臨界點(diǎn)的圖形，從而進(jìn)行分析.注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行解題.難度很大，是中考?jí)狠S題.

20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）因?yàn)閊ABC是等邊三角形，所以AB=AC,ZBAE=ZACD=60°,又AE=CD,即可證明AABEgACAD；

（2）設(shè)ZABE=ZCAD=&則APEC=ZBAC+ZABE=60。+c由等邊對(duì)等角可得NCPE=ZCEP=60。+a可得

NCPQ=18（）o-NBPD-NCPE=180。—60。一（60。+0=60。—e以及^4^=6^-a,故

NCPD=ZPBD；

CDCP

（3）可證ACPAACBP可得片=總，故CP2=CD-CB由于CP=CE=BD可得BD?=CD?CB,根據(jù)黃金分割點(diǎn)可

證點(diǎn)。是3C的黃金分割點(diǎn)：

【詳解】證明：

（1）VAABC是等邊三角形，

/.AB=AC,ZBAE=ZACD=60°,

在AABE與ACDA中，AB=AC,NBAE=NACD=60°,AE=CD,

.,.△AEB^ACDA；

（2）由（1）知NA3E=NC4D,

則JNBPD=NABE+NR4P=NCW+=60°,

i^ZABE=ZCAD=a,

貝?。〢PEC=NBAC+ZABE=60。+a,

,:CE=CP,

：.ZCPE=ZCEP=60°+a,

...ZCPD=180°-Z.BPD-ZCPE=180°-60°-（60°+a）=60°-a,

又NPBD=ZABC-ZABE=60°-(z,

:./CPD=/PBD；

(3)在AC尸。和ACBP中，

/PCB=ZDCP,/CPD=/PBD,

：.ACPAACBP,

.CDCP

.?=—.

CPCB

:.CP°=CDCB,

又CP=CE=BD,

：.BD2=CDCB,

...點(diǎn)。是BC的黃金分割點(diǎn)；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

91小,42+V22-V2

21、(1)xi=2,X2=-；(2)x,=----------,x,=-----------.

3,222

【分析】(1)先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)先求出bZ4ac的值，再代入公式求出即可.

【詳解】解：(1)3x(x-2)=4(x-2),

3x(x-2)-4(x-2)=0,

(x-2)(3x-4)=0,

x-2=0,3x-4=0,

4

Xl=2,X2=—；

3

(2)2x2-4x+l=0,

b2-4ac=42-4X2X1=8,

4±V8

x=------,

2x2

2+V22-V2

王,x,=-----------

2------'2

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程，能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.

22、(1)證明見(jiàn)解析；(2)NBFE=105°

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AABEMACBD,進(jìn)而得證；

(2)結(jié)合(1)得出NBED=NBDE,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：???線(xiàn)段80繞著點(diǎn)3按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。能與8E重合，

:.BD=BE,NEBD=120",

,:AB=BC,ZABC=120。，

/.ZABD+ZDBC=ZABD+ZABE=12Q°,ADBC=ZABE,

:.gBEwNCBD,

：.AE=CD；

(2)解：由(1)知，ZD3C=ZABE=45°,BD=BE,NEBD=120",

ABED=NBDE=；x(180°-120°)=30°,

ANBFE=180°-30°-45°=105°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AABEwACBD是解題

的關(guān)鍵.

23、(1)-32；(2)a=l.

【解析】分析：(1)原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果；

(2)已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，即可求出a的值.

詳解：(1)(-2)☆3=-2X32+2X(-2)x3+(-2)=-32；

(2)------☆?=------x3~+2x------x3d--------=8a+8=8,

2222

解得：a=l.

點(diǎn)睛：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

4

24、(1)見(jiàn)解析t；(2)—n.

3

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理，易得NBCO=NB=ND；

(2)由垂徑定理可求得CE與DE的長(zhǎng)，然后證得ABCEsaDAE,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BE的長(zhǎng),

繼而求得直徑與半徑，再求出圓心角NBOD即可解決問(wèn)題；

【詳解】(1)證明：???OB=OC,

AZBCO=ZB,

VZB=ZD,

：.ZBCO=ZD；

(2)解：連接0D.

是。。的直徑，CDA.AB,

：.CE=DE=-CD=&,

2

?；NB=ND,NBEC=NDEC,

:.△BCEsADAE,

：.AE：CE=DEtBE,

???1：6=G：BE，

解得：BE=3,

：.AB=AE+BE=4,

...(DO的半徑為2,

EDr~

'：tanZEOD=—=V3,

OE

：.NEOZ)=60。，

：.ZBOD=120°,

120?乃?24

:.BD的長(zhǎng)=----------71.

bu1803

【點(diǎn)睛】

此題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等.證得△BCEsaDAE是解題關(guān)鍵.

25、(1)*<9；(2)2

【分析】(1)根據(jù)判別式的意義得到/=(-6)2-4&=36—4行0,然后解不等式即可；

x.+x6

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到XI+X2=6,xiX2=k,再利用二~-2=3得到一=3,得到滿(mǎn)足條件的k的值.

工也k

【詳解】(1)???方程有兩根

，/=(-6)2—4仁36—4掄0

(2)由已知可得，XI+X2=6,xiX2=k

11M+x,

------=3

%1x2x1x2

：.-=3

k

：.k=2<9

11

...當(dāng)—+—=3時(shí)，4的值為2.

玉x2

【點(diǎn)睛】

bc

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,X2是一元二次方程ax?+bx+c=O(a#0)的兩根時(shí)，“+工2=一％，”工2=「.也

考查了根的判別式.

17784

26、(1)y=—X2—x+4(2)P點(diǎn)坐標(biāo)(-5,-----)，Q點(diǎn)坐標(biāo)