2023 年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷

2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷（新高考I卷）

數(shù)學(xué)-全解全析

123456789101112

DCACDCDDBCDABDACBCD

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.【答案】D

【詳解】由log(X+1)<2得:0<x+1<4,解得:_1<x<3,即8=般_1<x<3),

2

:A/FB={x_1<x<D.

2【答案】C

【詳解】=cos^+isin+cos^1+isin^+1+^i>

336622

因此■+自[=石木姆：C.

3.【答案】A

【詳解】若[x]=[y]=a,則a<x<a+1,a<y<a+1,故_a_1<_y<_a

則_1<x_y<1,貝ij|x_y|<1,故充分性滿足；

若|x_y|<1,取x=0.5,y=1.2,滿足|x_y|<1,但[x]=0,[y]=1,故必要性不滿足.

故"[x]=[y>是"|x_y|<1成立”的充分不必要條件.故選：A.

4.【答案】C

【詳解】解：VInf=1水_皿(其中f是脈搏率(心跳次數(shù)/min)，體重為W(g),k為正的常數(shù))，

3

：當(dāng)W=300g時，則脈搏率Inf=3!nk」n3QQ,即Inf3=Inks_|n300,則f3=

1311300

當(dāng)W=8100g時，則脈搏率Inf=3冰」*1。。，即Inf3=I#」n8100,則f3=J2一

23228100

ks

：[(L[=*6=27,即1■=3：體重為300g的豚鼠和體重為8100g的小狗的脈搏率之比為3,故選：C.

(<2),!2.2

8100

【詳解】由題意可知，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

因為正八邊形ABCDEFGH,

360

所威主AOH=經(jīng)1~100=經(jīng)償=經(jīng)曰＞=經(jīng)同況=經(jīng)00￡=經(jīng)006=經(jīng)000=45。

8

作AMJHD,則0M=AM，因為OA=2,所以O(shè)M=AM=尤,

（-￡-￡）,同理可得其余各點坐標(biāo),

所以A

B(0,-2),E(^,V2),G(-<2,<2),D(2,0),H(-2,0)，

對于A,^OB+OE+OG=(0+<2+(7萬),-2也-+五+、萬)=0,故A正確;

(-必)根2+(j^)根0=-2/2,故B正確;

對于B,OAOD

對于C,AH=(-2+6,旄)(-2-V2,-x/2),AH+EH=(-4,0)

,EH

所以|AH+EH|=J(-4)2+8=4,故C正確;

對于D,AH=(-2+五,、份),AH+GH=(-4+272,0)

帕+GHl|=jQ+%）2+Q=4-2石，故D不正確.故選：D.

6.【答案】C

PF'PF'）

【詳解】因為PH=入

詞，屜j）『所以PH是經(jīng)的角平分線,

又因為點H在直線x=a匕且在雙曲線中，點P是雙曲線C右支上異于頂點的點,

則4PFF的內(nèi)切圓圓心在直線x=a上，即點H是4PFF的內(nèi)心,

1212

如圖，作出“個，并分別延長HP、H『至點P,、F；、F,2,使得HP,=5HP,

HF,=3HF,HF,=4HF,可知H為△P,F,F,的重心，

112212

設(shè)."mSAHpp力SAHFF=p,由重心性質(zhì)可得15m=20n=12p,即m:n:p=4:3:5‘

1212

又H為△PF「2的內(nèi)心，所以pFJ?FJJ=5:4:3,

因為||=，所以叫中巴|《呵爭打喈，則2a=1PFj-|PFj=g,

C2c2c

所以雙曲線C的離心率C.

5

7.【答案】D

【詳解】解：因為函數(shù)丫=sin(|(2x卡；卜所以其最小正周期為T=專=弘，而區(qū)間■+；的區(qū)間長度是該

函數(shù)的最小正周期的=,

因為函數(shù)丫=sin(|(2x-+2在區(qū)間t,t+；上的最大值為gjt),最小值為g?(t),

所以當(dāng)區(qū)間L，t+q]關(guān)于它的圖象對稱軸對稱時，g(t"g°(t)取得最小值，對稱軸為t+t+^n

14」—=[+~^

此時函數(shù)y=sin(|(2x-；卜最值土1,

不妨設(shè)y取得最大值g(t)=1,則有sin2d(=1，所以宿Q■架I=L

解得2t+=—+2krc,k=Z,得t=ku——,k=Z,

12224

所以%。=的(|(喝=個恤弋詞產(chǎn)與吟)專

所以g(t)-g(t)的最小值為2iW,故選：D.

122

8.【答案】D

【詳解】設(shè)底邊長為a,原四棱錐的高為h,如圖1,0,0分別是上下底面的中心，連結(jié)00,°，，0A,

11

根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為2,則v=」L+i⑶：上隹片打衛(wèi)工

2ABCD-A即p,3,V1(2)1北-1(2)1，2-24

由AA=J^，且四邊形A。。A為直角梯形，叵燼=邑，OA=^AB=^a,可得

11111211422

砥2+||品)=@則11，

V二匣-在乒工抱一(48-2m)<二正+&+48-232『=竺

ABCD-ABCD,2412Y848、483J3

當(dāng)且僅當(dāng)az=48-2az,即a=4時等號成立，此時棱臺的高為1.

上底面外接圓半徑r=AO=72,下底面半徑r=A0=/，設(shè)球的半徑為R,顯然球心M在。。所在的直

1111

線上.顯然球心M在。0所在的直線上.

1

當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段00上，如圖2,設(shè)OM=x，則0M=1-x,0<x<1,顯然

11

MA=MA1=R則，有#2+*=4：+(l-xb,即jG/2)+X2=jC/+

(1-x)2解得x<0,舍去.

當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段00的延長線上，如圖3,設(shè)OM=x,則0M=1+x,顯然

11

MC=MA,

解得X=1

D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.【答案】BCD

【詳解】對于A：-0.1x2=0.2<0.5,(0.1+0.2)x2=0.6>0.5,

所以騎車時間的中位數(shù)在［20,22)這一組，為20+收三產(chǎn)x2=21.5分鐘，故A錯誤；

0.4

20+22

對于B：騎車時間的眾數(shù)的估計值是上產(chǎn)=21分鐘，故B正確；

2

對于C：v(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.4,(0.025+0.050+0.075+0.100)x2=0.5>0.4,所以坐公交車

時間的40%分位數(shù)的估計值在［18,20)這一組，為■|8+0.4U3x2=■|9分鐘，故C正確；

對于D：坐公交車時間的平均數(shù)的估計值為：

2x(0.025X13+0.050X15+0.075x17+0.100x19+0.100x21+0.075x23+0.050x25+0.025x27)=20,

騎車時間的平均數(shù)的估計值為：2x(0.10x19+0.20x21+0.15x23+0.05x25)=21.6,

則坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值，故D正確.故選：BCD.

10.【答案】ABD

|PA|1

【詳解】設(shè)P(x,y),因為岫。)同一2,。)’且點P滿足兩次可得

2

整理得(x—2g+辟=4,即曲線C的方程為(x-2>+yz=4.

對于A中，曲線C為半徑為2的圓，所以周長為2TTX2=4TT,所以A正確;

|OA|_1|OA|PA

對于B中，因為A(1,0),B(—2,0),所以同一多所以函=同，

延長BP到Q,使lAP|=|PC|,連結(jié)AQ,如圖所示,

因為|AP|=12,所以瑞假?招，所以O(shè)P//AQ,所以經(jīng)OPB=經(jīng)Q,經(jīng)OPA=經(jīng)QAP,

因為|AP|=|Pd，所以經(jīng)0「人=經(jīng)0,所以經(jīng)OPB=^PA,即OP平分經(jīng)APB,所以B正確.

1?

對于C中，由熱BP的面積為S=5卜8|.卜「|=5以「|,要使得&ABP的面積最大，只需|Yp|最大，

由由點P的軌跡為C:(x—2)2+y2=4,可得|yI=2,所以AABP面積的最大值為3,所以C錯誤;

Pmax

對于D中，當(dāng)AP」AB時，「(1,、6)或(1,-向)，

不妨取P(1,場，則直線BP:y=吾券(x+2)，即丫=乎優(yōu)+2),

1\U)J

理(2+2)

3

因為圓心C(2,0)到直線BP的距離為d=^——=2,

所以d=r,即直線BP與圓相切，所以D正確.故選：ABD.

11.【答案】AC

【詳解】對于A：不妨令x=y=0,則f(0+0)之f(0)+f(0)常f(0)<0,

因為vxe[0,+偽)，f(x)之0,所以f(0)之0,故f(0)=0,故A正確；

對于B：不妨令X=1,y=2,則f⑴=1,f(2)=0,f(1+2)=0,即f(1+2)<f(1)+f(2),

這與vx之0,y之0,f(x+y)之f(x)+f(y)矛盾，故B錯誤；

對于C：由題意可知，vxe[0,+偽)，f(x)=岡之0,

不妨令x=m+n之0,其中m為整數(shù)部分，n為小數(shù)部分，則f(x)=^x]=m；

再令y=a+b之0,其中a為整數(shù)部分，b為小數(shù)部分，貝ijf(y)=[y]=a；

若0<n+b<1,貝!lf(x+y)=[x+y]=m+a；若n+b之1,則f(x+y)=[x+y]=m+a+1,

從而vx之0,y之0,f(x+y)之f(x)+f(y)成立，故C正確；

對于D：由題意可知，常函數(shù)f(x)=0為“H函數(shù)”，但f(x)不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.

12.【答案】BCD

【詳解】對于A、B,由拋物線的焦點F(1Q)，則p=2,即yz=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為d皆則pM卜pF=|PM+,

設(shè)點M（3,2）到準(zhǔn)線的距離為d,易知PM+d之d=4,如下圖:

PM

對于C,由題意可知，過點M（3,2）的直線I可設(shè)為x=m（y—2）+3,

代入拋物線Cw=4x,可得yz—4my+8m-12=0,

?gA(x,y),B(x,y),則y+y=4m,yy=8m—12,

11221212

OA.OB=xx2+yy=[m(y—2)+3jm(y12)+3]+y/=(rr^+1)yy+2m(3—2m)(y+y)+(3—2m)2,將

匕+丫2=的/工=8m—12代入上式，可得

=(nr+I)(8m-12)+m(3-2m).4m+(3-2m)2=4m2-4m-3=4(|(m-lT-4^.-4,故C正確;

對于D,由C可得直線I的方程為x-my+2m-3=0,可設(shè)直線PF的方程為x-my—1=0,

|2m-3+1

易知點P到直線I的距離等于兩平行線I與PF的距離d=:32

、’1+m2

2(1+X3)-2X.2X2(1-X)(1+X)

2x

令y=7^';+、1+笈）2

當(dāng)xe（T為,T）不（1,+偽）時，y,<0,當(dāng)xe（fi）時，y,>0,

貝Ijy二也在（T為,T）和（1，+偽）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

1+X2

由當(dāng)X<-1時，y<0,當(dāng)x>1時，y>0,貝Ijy=-1,y=1,可得0<d<a/"^,故D正確.故選：BCD.

minmax

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

（兀）

13.【答案】cos|（2x|（答案不唯一）

【詳解】：f（x）為R上的偶函數(shù)，..」（一x）=f（x）,

又f(1+x)=f(3-x),.?.用3+x替換x,得f(x+4)=f(-x),

f(x+4)=f(x),???f(x)的周期為4,

則f(x)的一個解析式可以為f(x)=cos(|(gxj故答案為：cos(1(^x|(答案不唯一).

14.【答案】84

【詳解】依題意，冬至日唇長為13.5尺，記為a=13.5,芒種日唇長為2.5尺，記為a=2.5,

112

因相鄰兩個節(jié)氣的日唇長變化量相同，則從冬至日皆長到芒種日唇長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列

{a},neNA,n<12,

n

數(shù)列{a}的公差d=%-a「2.5-13.5

n12-112-1

因夏至與芒種相鄰，且夏至日唇長最短，則夏至的日辱長為a+d=1.5,

1

又大雪與冬至相鄰，且冬至日唇長最長，則大雪的日?長為a+d=12.5,

12

顯然夏至到大雪的日辱長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，

15+125

所以一年中夏至到大雪的日署長的和為根12=84(尺).故答案為：84

2

Q7

15.【答案】—

840

【詳解】解：8個程序題目全排列共有As種方法；全尺寸太陽能排在前兩位，可分類討論：

8

①全尺寸太陽能排在首位：太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有A2種方法，兩者均不與空間運

2

輸相鄰，可先將其余4個全排列，有A4種方法，再插空有Az種排法，故此時共有A2A4A2=2根24根20=960

45245

種方法；

②全尺寸太陽能排在第二位，再分兩種情況

⑴首位排空間運輸，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有A2種方法，和余下4個元素一起全排

2

列，有A5種方法，共A2A5=240種方法；

525

(ii)首位不排空間運輸，余下四個一般元素挑一個排在首位，有A1種方法，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將

4

二者捆綁起來有A2種方法，余下3個一般元素全排列，有A3種方法，最后在4個空位中對空間運輸和捆綁元

23

素插空有A2種，共AlA2A3A2=576；

44234

由①②所有符合條件的排法有960+240+576=1776；

1776177637,37

故所求概率為：.Q/iri故答案為：,-

As8根7根6根5根4根3根2根18408040n

16.【答案】(T為,0)不［1,明

e

(詳解］解：因為a+t(b—2ea)lnb=t(b—2ea)lna，所以a+t(b—2ea)(lnb—Ina)=0,

當(dāng)t=0時，上式變?yōu)閍=0,與a>0矛盾，當(dāng)t牛。時，上式為(b=2e)ln0二：一1,

aat

令x=B,則f(x)==(x—2e)lnx,x>0,f,(x)=Inx+(x—2e).—=Inx+1——,

axx

9pI9p

令g(x)=Inx+1-x>0,g,(x)=-+_>0,

XXX2

所以g(x)在(0,+偽)上單調(diào)遞增，又g(e)=lne+1—空■=0,

e

所以在(0⑻上，g(x)<0,f,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

在(e,+偽)上，g(x)>0,f/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以f(x)=f(e)=(e-2e)lne=-e,x趨向于?；?偽時，f(x)均趨向于+偽，

min

所以-L?-e,即」we，所以t<0或t2l>，故t的取值范圍為(T為⑼不山+偽).

ttee

故答案為：(T為,0)不己+偽).

e

四、解答題：本題聶小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【答案】(1嚕1(2)①③正確,⑴sinA=*(ii)BD=7

【詳解】(1)解:由題意知T，3sinfB+47B;L

6)1?(6)1

定Csin,B+/j+呼+］=()，即例〉+；卜0

?.?Be(o,n),定B+1=n,故B=2;(4分)

33

2TT

(2)由(1)得B=w定b>a,故條件②不成立，即條件①③正確，

O

在AABC中，由余弦定理可得:a2+C2—2accos—=也，即a2+C2—b2+ac=0,

3

對于條件①:a2-b2+C2+3c=0，與上式結(jié)合可得a=3,

對于條件③：LacsinB=—ac=15H，故ac=15,所以c=5,

244

將a=3,c=5代入d2+C2—b2+ac=0可得：b=7,(6分)

(i)在△ABC中，由正弦定理可得：

37「

^7二^~5■，即?nA.2TT,^sinA=^,COSA=^(8分)

sinAsinBsin_1414

o

(ii)'.BD是經(jīng)ABC的角平分線，諼ABD=經(jīng)CBD,

JAD[AB.BD.sin經(jīng)ABDAB5

‘ABD="，=-，=*,=—

：-BCDCD】BC.BD.sir^CBDBC3

2

?/AC=7:AD=—在AABD中，由余弦定理可得

8

(35)23513225_15

BDz=AB2+AD2-2AB.AD.COSA=25+|(科一？未/根萬根森=育，故BD=-&-

綜上滌件①③正確，sinA=￥BD=g.(10分)

14o

18.【答案】⑴a=2n—1(2)證明見解析(3)20

n

【解析】(1)當(dāng)n=1時，4a=4S=(a+1)2,解得：a=1；

1111

當(dāng)n>2且neN*時，4a=4S-4S=(a+1)2-(a+1)2,

nnn-1nn-1

整理可得：(a+a)(a-a-2)=0,又a>0,：a-a=2,(2分)

nn—1nn-1nnn-1

:數(shù)列｛a｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，：a=1+2(n-1)=2n—1.(4分)

nn

/23-I1(11)

⑵由⑴得：與=/方￡,+1)，而市荔7川，(6分)

n3'(2l+12?+12+12s+12+12+122n~3+12n-1+122n-1+12n+1+1)

1(11)1(11)111

'引百一由1=同(丁瑟西)1%根3)?(8分)

(3)[1|4S=(a+1)2得：4S=(2n-1+1)2=4ri2,:S=re,:c=(-I)n(n+1)2；(9分)

nnnnn

①當(dāng)n為偶數(shù)時，

T-22)+(&-4?)+(&-a)+.“+((n+11-0)

n

=(3+2)+(5+4)+(7+6)+(n+1+n)=2+3+..+(n+1)=n'二".

2

n(n+3)

由T>200得：------->200,又neN:：n=20；(10分)

n2mtn

②當(dāng)n為奇數(shù)時，T=T—c=(n+1)(n+4)_w=」+3n+4

<0；(11分)

nn+1n+122

綜上所述：滿足T>200的最小正整數(shù)n的值為20.(12分)

n

19,【答案】⑴2(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望：6(3)至少要進(jìn)行11輪測試

55

【詳解】(1)由題可知10個學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27,15,43,41,32,26,56,36,49,

20,參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46,52,26,37,58,18,25,48,33,30,

其中參與“單板滑雪，，的人數(shù)超過30人的學(xué)校有6個，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人，且“自由式滑雪”的人

數(shù)超過30人的學(xué)校有4個，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件A，“這

10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件B,

則P（A）=P（AB）=3-=-,（2分）

C23C215

1010

P（AB）2

所以,（4分）

PU）5

（2）參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，X的所有可能取值為0,1,2,3,

所以p（x=o）=也L,p（x=1）=9^>=更=」，

C31206C31202

1010

p（x=2）=2^=理=3,p（x=3）=2L^.=JL=J.,（6分）

Q12010Cs12030

1010

所以X的分布列如下表:

X0123

1j31

p

62ib30

所以E（x）=1+2x3+3x1=6（8分）

210305

on

（3）記“甲同學(xué)在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件C,則P%（|（3卜⑹3）胡（3）=2〉

（20）

由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布B|（n,27）|,（10分）

2054

由題意列式下9之8,得n之行，因為nEN-，所以n的最小值為11,故至少要進(jìn)行11輪測試（12分）

20.【答案】⑴證明見解析⑵存在，入=4

【詳解】（1）依題意ABCD矩形，AB=4,BC=2,E是CD中點，所以AE=BE=人份，

又AB=4,所以，AE2+BE=AB2,AEJBE,（2分）

因為平面BEF」平面ABCD,平面BEFfl平面ABCD=BE,所以AEJ平面BEF,

乂BF仁平面BEF，所以AE」BF.（4分）

以C為原點，CD所在直線為X軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則C（0,0,0）,D（4,0,0）,B（0,2,0）,E（2,0,0）,（6分）

設(shè)N是BE的中點,

因為FE=FB,所以FN」BE,

又平面BEF」平面ABCD,平面BEFCI平面ABCD=BE,

所以FN」平面ABCD,（8分）

假設(shè)存在滿足題意的入，則由DP=入口8（0（入＜1）.

（4人_3,1-9旄）.

可得,PF=一入DB+DF=

設(shè)平面DEF的一個法向量為n.=（x,y,z）,

則〈“竺一f-。，令丫英，可得x=0,z=—1,即n=Q,應(yīng)一）（10分）

|ln.DF=-3x+y+v2z=0

設(shè)PF與平面DEF所成的角為0,所以sin。=

|V2（2A-I）+V2|n

v3.^（3~4A）2+（2X-1）2+（-\/2）23

3

解得入二:（X=1舍去），

4

綜上，存在入=0,使得PF與平面ADE所成的角的正弦值為（12分）

43

21.【答案】⑴f+2!=1（2）存在入=2

43

【詳解】（1）解：拋物線yz=4x的焦點為F（1,0）,

由題意可Wc=1,--:a=2,她八C2=石,

a/

因此，桶圓C的方程為%1.（3分）

43

（2）解：設(shè)M（x,y）、N（x,y）,設(shè)直線MN的方程為*=my+1,其中m牛。,

1122

凝1h=“，得+4)y2+6my-9=0,A=36m2+36(3rw+4)>0,

x=/nv+1

6m9

由韋達(dá)定理可得y+y----------,yy（6分）

123np+4—

所以myy=-（y+y）,

122i2

易知點A（-2,0）、B（2,0）,k=.」

1my1+3

所以，直線AM的方程為y=-L（,X+2),(8分)

my1+3

6y（6y

將x=4代入直線AM的方程可得y=菰有'即點4

my,+3]

6y1

匕=