第十九章 一次函數(shù) 知識(shí)串講+熱考題型（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》本章知識(shí)綜合運(yùn)用三個(gè)概念三個(gè)概念●●1、變量與函數(shù)：◆常量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量.◆變量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做常量.●●2、函數(shù)：◆函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).◆函數(shù)值的定義：如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.●●3、一次函數(shù)：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．特別地當(dāng)b=0時(shí)，它就是正比例函數(shù).正比例函數(shù)的概念：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．兩個(gè)圖象兩個(gè)圖象●●1、函數(shù)的圖象：◆函數(shù)圖象的定義：一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.◆描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟如下：第一步：列表——表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；第二步：描點(diǎn)——在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)；第三步：連線——按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái).●●2、一次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象是經(jīng)過(guò)（0，b）、（-bk，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y＝kx+b（k≠0）.當(dāng)b=0時(shí)，它是正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，它的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)(1，k一個(gè)性質(zhì)一個(gè)性質(zhì)●●1、一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．●●2、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．當(dāng)b=0時(shí)，（0，b）在原點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．①k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0?y＝kx+b的圖象在一、三、四象限；③＞0，b=0?y＝kx+b的圖象在一、三象限；④k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限；⑤k＜0，b＜0?y＝kx+b的圖象在二、三、四象限．⑥k＜0，b=0?y＝kx+b的圖象在二、四象限．兩個(gè)方法兩個(gè)方法確定一次函數(shù)解析式的一般常用方法：一是待定系數(shù)法；二是平移法.●●1、待定系數(shù)法◆定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法.◆待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟：設(shè)：設(shè)一次函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝kx+b；（2）列：把圖象上的點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函數(shù)的解析式，組成二元一次方程組；（3）解：解二元一次方程組得k，b；（4）還原：把k，b的值代入一次函數(shù)的解析式．●●2、平移法將直線y＝kx（k≠0）沿著y軸平移|b|個(gè)單位得到直線y＝kx+b．當(dāng)b＞0時(shí)，向上平移；b＜0時(shí)，向下平移．【注意】①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；三個(gè)關(guān)系三個(gè)關(guān)系●●1、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系從“數(shù)”的角度看:求ax+b＝0（a≠0）的解就是函數(shù)y＝ax+b（a≠0）中，y=0時(shí)，x的值.從“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).●●2、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系從“數(shù)”的角度看：解方程組，相當(dāng)于當(dāng)求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看：解方程組，相當(dāng)于確定的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).●●3、一次函數(shù)與一元一次不等式（組）的關(guān)系從“數(shù)”的角度看：就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從“形”的角度看：就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用●●一次函數(shù)的應(yīng)用◆1、利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題中的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系實(shí)際生活及以前學(xué)過(guò)的內(nèi)容，將實(shí)際問(wèn)題抽象、升華為一次函數(shù)模型，即建模，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.◆2、在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)的解題步驟：審題：認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；設(shè)自變量：根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；列函數(shù)解析式：根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)解析式；解決問(wèn)：利用函數(shù)解析式或圖象的性質(zhì)解決問(wèn)題；得出結(jié)果.題型一題型一確定函數(shù)自變量的取值范圍【例題1】（2023春?江陰市期中）函數(shù)y=3x+2中自變量A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣2解題技巧提煉自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時(shí)，自變量取全體實(shí)數(shù)．例如y＝2x+13中的x．②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零．例如y＝x+2x﹣1．③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必須使被開(kāi)方數(shù)不小于零．④對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義．【變式1-1】（2023?蘇州一模）函數(shù)y=1x-1中自變量A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≠1【變式1-2】（2023春?花山區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)y=x+1x的自變量A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1或x≠0 D．x≥﹣1且x≠0【變式1-3】（2023春?海淀區(qū)期中）函數(shù)y=xx-5中，自變量x的取值范圍是【變式1-4】（2023?白塔區(qū)一模）函數(shù)y=1x+x-1中自變量x的取值范圍是題型二實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象題型二實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象【例題2】（2023?嵊州市一模）小剛從家里出發(fā)，以400米/分鐘的速度勻速騎車5分鐘后就地休息了6分鐘，然后以500米/分鐘的速度勻速騎回家里掎回家里，s表示離家路程，t表示騎行時(shí)間，下列函數(shù)圖象能表達(dá)這一過(guò)程的是（）A． B． C． D．解題技巧提煉正確理解函數(shù)圖象橫、縱坐標(biāo)表示的意義，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，如起點(diǎn)、交點(diǎn)、終點(diǎn)的意義，明確圖象變化趨勢(shì)、快慢的意義.實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，就能夠識(shí)別實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象.【變式2-1】（2023?鹽田區(qū)二模）佳佳和爸爸一起從家出發(fā)，勻速行走25min后抵達(dá)離家1000m的報(bào)亭，佳佳隨即按原速返回，爸爸看了10min報(bào)后返回，恰好與佳佳同時(shí)到家．則表示爸爸離家后距離與時(shí)間關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2023?溫州模擬）將一圓柱形小水杯固定在大圓柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，現(xiàn)用一個(gè)注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，如圖所示，則小水杯水面的高度h（cm）與注水時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象大致是（）A．B． C．D．【變式2-3】（2023春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期中）在1000米中長(zhǎng)跑考試中，小明開(kāi)始慢慢加速，當(dāng)達(dá)到某一速度后保持勻速，最后200米時(shí)奮力沖刺跑完全程，下列最符合小明跑步時(shí)的速度y（單位：米/分）與時(shí)間x（單位：分）之間的大致圖象的是（）A．B． C．D．【變式2-4】（2023?安徽模擬）把一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊放在如圖所示的注滿水的圓柱形容器內(nèi)，容器底部有個(gè)水龍頭，現(xiàn)打開(kāi)水龍頭按一定的速度放水，1min后將容器內(nèi)水放完．那么容器內(nèi)水面的高度y（cm）與放水時(shí)間x（s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）A．B． C．D．題型三題型三從函數(shù)圖象中獲取信息解決問(wèn)題【例題3】（2023春?道里區(qū)校級(jí)月考）某油庫(kù)有一儲(chǔ)油量為40噸的儲(chǔ)油罐，在開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)只開(kāi)進(jìn)油管，不開(kāi)出油管；在隨后的一段時(shí)間內(nèi)既開(kāi)進(jìn)油管，又開(kāi)出油管直至儲(chǔ)油罐裝滿油，若儲(chǔ)油罐中的儲(chǔ)油量（噸）與時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．現(xiàn)將裝滿油的儲(chǔ)油罐只開(kāi)出油管，不開(kāi)進(jìn)油管，則放完全部油所需的時(shí)間是（）A．16min B．20min C．24min D．44min解題技巧提煉函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，用圖象解決問(wèn)題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．【變式3-1】（2023?南崗區(qū)校級(jí)二模）某天早晨，小明從家出發(fā)步行上學(xué)，小明爸爸發(fā)現(xiàn)若小明按目前步行速度每分鐘100米的速度上學(xué)則要遲到，于是立即騎上自行車從家出發(fā)追趕小明，追上小明后帶著小明一起到學(xué)校，結(jié)果比小明步行到達(dá)學(xué)校少用3分鐘，假設(shè)步行和騎車的速度均為勻速，如圖表示小明爸爸出發(fā)時(shí)間x（分鐘）與離家距離y（米）的函數(shù)圖象，則小明家到學(xué)校的距離是（）米．A．500 B．600 C．1500 D．1600【變式3-2】（2022秋?巴彥縣期末）某超市對(duì)某種水果采取促銷方式，購(gòu)買數(shù)量超過(guò)5千克后，超過(guò)的部分給予優(yōu)惠，水果的購(gòu)買數(shù)量x（kg）與所需金額y（元）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，小麗用100元去購(gòu)買該種水果，則她購(gòu)買的數(shù)量為（）A．18kg B．19kg C．20kg D．21kg【變式3-3】（2023春?嵩縣期中）小李和小陸從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，小李先出發(fā)行駛0.5h后小陸出發(fā)，他們離出發(fā)地的距離s（km）和行駛時(shí)間t（h）之間的關(guān)系圖象如圖所示，根據(jù)圖中的信息，有下列說(shuō)法：①他們都行駛了20km；②小陸全程共用了2h；③小陸出發(fā)后1h，小陸和小李相遇；④小李在途中停留了0.5h；其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-4】（2023?歷下區(qū)二模）已知A，B兩地相距1500米，甲步行沿一條筆直的公路從A地出發(fā)到B地，乙騎自行車比甲晚5分鐘從B地出發(fā)，沿同一條公路到達(dá)A地后立刻以原速度返回，并與甲同時(shí)到達(dá)B地，甲、乙離A地的距離y（米）與甲行走時(shí)間x（分）的函數(shù)圖象如圖所示，則甲出發(fā)后兩人第一次相遇所需的時(shí)間是（）A．132分鐘 B．7分鐘 C．152分鐘 D．【變式3-5】（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，底面積為30cm2的空?qǐng)A柱容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過(guò)程中，水面高度h（cm）與注水時(shí)間t（s）之間的關(guān)系如圖②，若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2，求“幾何體”上方圓柱體的底面積為（）cm2．?A．24 B．12 C．18 D．21題型四正比例函數(shù)的定義題型四正比例函數(shù)的定義【例題4】（2023春?長(zhǎng)沙期中）下列函數(shù)是正比例函數(shù)的是（）y=x3 B．y=3x C．y＝x2+1 D．y解題技巧提煉正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對(duì)比例系數(shù)的要求：k是常數(shù)，k≠0，k是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)．【變式4-1】（2022春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-2】（2023春?通州區(qū)期中）已知函數(shù)y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函數(shù)，則常數(shù)m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【變式4-3】（2022春?新華區(qū)校值為（）A．0 B．1 C．0或2 D．2【變式4-4】已知y關(guān)于x的函數(shù)y＝x|m﹣1|+m2﹣4是正比例函數(shù)，則m的值是．題型五正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型五正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例題5】已知正比例函數(shù)y=57x，下列結(jié)論：①y隨x的增大而增大；②y隨x的減小而減??；③當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；④當(dāng)x＞1時(shí)，y＞A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解題技巧提煉1、正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，因此可以用“兩點(diǎn)法”畫(huà)正比例函數(shù)的圖象，所以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線是y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象．2、正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023?金牛區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若正比例函數(shù)y＝（n﹣1）x的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則n的取值范圍是．【變式5-2】（2020?銅川一模）對(duì)于正比例函數(shù)y＝﹣3x，當(dāng)自變量x的值增加1時(shí)，函數(shù)y的值增加（）A．﹣3 B．3 C．-13 D【變式5-3】（2023?金山區(qū)二模）已知函數(shù)y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）的函數(shù)值y隨x值的增大而減小，那么這個(gè)函數(shù)圖象可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【變式5-4】（2023?東勝區(qū)模擬）一次函數(shù)y＝（1﹣m）x的圖象如圖所示，則化簡(jiǎn)1-2m+mA．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1題型六一次函數(shù)的定義題型六一次函數(shù)的定義【例題6】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）A．y=-12x2+5xC．y＝3x+5 D．y=解題技巧提煉判斷函數(shù)式是否是一次函數(shù)的方法：先看函數(shù)式是否是整式的形式，再將函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，看它是否符合一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0；（2）自變量的次數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)b可以為任意實(shí)數(shù).【變式6-1】（2023春?普陀區(qū)期中）下列關(guān)于x的函數(shù)中，一次函數(shù)是（）A．y=x-2 B．y=1x+1 C．y＝x2+2 D．y【變式6-2】下列函數(shù)①y＝﹣x+3；②y=3x；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是關(guān)于A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-3】（2022春?微山縣期末）已知函數(shù)y＝（m﹣3）xm2-8+4是關(guān)于A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【變式6-4】已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4．（1）當(dāng)m，n為何值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？（2）當(dāng)m，n為何值時(shí)，此函數(shù)是正比例函數(shù)？題型七一次函數(shù)的圖象題型七一次函數(shù)的圖象【例題7】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）下列圖象中，可以表示一次函數(shù)y＝kx﹣b與正比例函數(shù)y＝kbx（k，b為常數(shù)，且kb≠0）的圖象不可能的是（）A．B．C．D．解題技巧提煉一次函數(shù)的圖象的畫(huà)法是用“兩點(diǎn)法”畫(huà)：即經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0，b）、（-bk，0）作直線y＝kx+【變式7-1】（2023春?福州期中）若k＞0，b＜0，則函數(shù)y＝kx+b的圖象大致是（）A．B． C．D．【變式7-2】（2022秋?黃島區(qū)校級(jí)期末）如圖，同一直角坐標(biāo)系中，能表示一次函數(shù)y＝x+kb和y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖象是（）A．B． C．D．【變式7-3】（2023春?璧山區(qū)校級(jí)期中）兩條直線y1＝ax+b與y2＝bx+a在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是圖中的（）A．B． C．D．【變式7-4】（2023?蚌山區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知m為常數(shù)，且m≠2，m≠3，則關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（m﹣3）x+4﹣2m與y＝（4﹣2m）x+m﹣3的圖象可能是（）A．B． C．D．題型八一次函數(shù)的性質(zhì)題型八一次函數(shù)的性質(zhì)【例題8】（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）下列函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（）A．y＝﹣3x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣3x+10 D．y＝﹣2x﹣1解題技巧提煉1、當(dāng)k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；當(dāng)k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．2、當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．【變式8-1】（2023春?昆明期中）已知點(diǎn)A（﹣2，m），B（3，n）在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．無(wú)法確定【變式8-2】（2023春?海安市期中）已知一次函數(shù)y＝﹣0.5x+2，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y的最大值是（）A．2 B．1.5 C．2.5 D．﹣6【變式8-3】（2023春?龍鳳區(qū)期中）一次函數(shù)y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象如圖所示，下列說(shuō)法：①ak＜0；②函數(shù)y＝ax+k不經(jīng)過(guò)第一象限；③函數(shù)y＝ax+b中，y隨x的增大而增大；④3k+b＝3+a；其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式8-4】（2023春?海安市期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x﹣y＝4，并且x≥0，y≤1，則S＝x﹣y的最小值是（）A．﹣1 B．32 C．53 D【變式8-5】已知一次函數(shù)y＝（4+2m）x+m﹣4，求：（1）m為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？（2）m為何值時(shí)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方？（3）m為何值時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限？（4）圖象能否過(guò)第一、二、三象限？題型九用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式題型九用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式【例題9】若點(diǎn)A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一條直線上，則a的值是（）A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3解題技巧提煉本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，若同時(shí)有多個(gè)點(diǎn)可以選擇時(shí)，往往選取數(shù)值較小，且容易計(jì)算的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求值.【變式9-1】（2021?陜西模擬）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），每當(dāng)x增加1個(gè)單位時(shí)，y增加3個(gè)單位，則此函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝4x﹣4【變式9-2】標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長(zhǎng)（）A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8【變式9-3】（2022秋?儀征市期末）如圖，一次函數(shù)y=43x-4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作直線l將△ABO分成周長(zhǎng)相等的兩部分，則直線l【變式9-4】（2023春?如東縣期中）已知y﹣1與x+2成正比例，且x＝1時(shí)，y＝7．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)（a，﹣2）在（1）中函數(shù)的圖象上，求a的值．題型十一次函數(shù)圖象與幾何變換題型十一次函數(shù)圖象與幾何變換【例題10】（2023春?長(zhǎng)沙期中）將直線y＝2x向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的直線解析式為（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2解題技巧提煉一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：一次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”.①y=kx+b向左平移m個(gè)單位是y=k(x+m)+b,向右平移m個(gè)單位是y=k(x﹣m)+b；②y=kx+b向上平移n個(gè)單位是y=kx+b+n,向下平移n個(gè)單位是y=kx+b﹣n.【變式10-1】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），當(dāng)x增加一個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，y增加3個(gè)單位長(zhǎng)度，則將此函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝3x+4 B．y＝3x﹣8 C．y＝3x+3 D．y＝3x﹣3【變式10-2】（2023?滑縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將y＝﹣2x+1向下平移3個(gè)單位，所得函數(shù)圖象過(guò)（a，3），則a的值為．【變式10-3】（2023春?如東縣期中）把直線y＝2x+1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的直線是．【變式10-4】（2023?禮泉縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-23x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)A（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將直線l沿y軸向下平移得到直線l′，l′與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC的面積為3，求平移后的直線l′的函數(shù)表達(dá)式．題型十一一次函數(shù)與一元一次方程題型十一一次函數(shù)與一元一次方程【例題11】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線y＝3x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，3），則關(guān)于x的方程kx+b＝3的解是（）?A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x解題技巧提煉解關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0），從“數(shù)”的角度來(lái)看,相當(dāng)于當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值；從“形”的角度來(lái)看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．【變式11-1】（2022?市南區(qū)校級(jí)二模）若關(guān)于x的方程﹣2x+b＝0的解為x＝2，則直線y＝﹣2x+b一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）【變式11-2】（2022春?長(zhǎng)葛市期末）如圖，直線y＝x+5和直線y＝ax+b相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20【變式11-3】已知關(guān)于x的方程mx+3＝4的解為x＝1，則直線y＝（m﹣2）x﹣3一定不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式11-4】如圖，一次函數(shù)y＝ax+b與正比例函數(shù)y＝kx的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣1），則關(guān)于x的方程ax+b＝kx的解是．題型十二一次函數(shù)與二元一次方程（組）題型十二一次函數(shù)與二元一次方程（組）【例題12】（2023?延安一模）已知二元一次方程組x-y=-5x+2y=-2的解為x=-4y=1，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+5與直線l2：y=-12A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）解題技巧提煉利用二元一次方程組的解可以確定兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，反之，根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以確定二元一次方程組的解.【變式12-1】已知二元一次方程組x-y=-5x+2y=-2的解為x=-4y=1，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+5與直線l2：y=-12x﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)為【變式12-2】（2022秋?沈河區(qū)期末）已知直線y＝3x與y＝﹣2x+b的交點(diǎn)為（﹣1，a），則方程組y-3x=0y+2x-b=0A．x=-1y=-3 B．x=-1y=3 C．x=1y=-3 【變式12-3】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象如圖所示，則關(guān)于x，y的方程組y-kA．x=1y=1 B．x=1y=2 C．x=2y=1 【變式12-4】（2022秋?中寧縣期末）如圖，已知直線y＝ax+b和直線y＝kx交于點(diǎn)P（﹣4，﹣2），則關(guān)于x，y的二元一次方程組y=ax+by=kx的解是題型十三一次函數(shù)與一元一次不等式（組）題型十三一次函數(shù)與一元一次不等式（組）【例題13】（2023?婺城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+b與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3解題技巧提煉1、代數(shù)法：將題中信息轉(zhuǎn)化為解不等式，可求出不等式的解集；2、圖象法：先找出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，再觀察圖象，確定兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后觀察圖象交點(diǎn)兩側(cè)直線的位置，直接得出不等式的解集.【變式13-1】（2023春?即墨區(qū)期中）如圖，直線y＝kx+b交坐標(biāo)軸于A（﹣2，0），B（0，1）兩點(diǎn)，則不等式﹣kx﹣b＜0的解集為（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【變式13-2】（2023春?臺(tái)江區(qū)期中）一次函數(shù)y1＝kx﹣1（k≠0）與y2＝﹣x+2的圖象如圖所示，當(dāng)x＜1時(shí)，y1＜y2，則滿足條件的k的取值范圍是（）A．k＞﹣1，且k≠0 B．﹣1≤k≤2，且k≠0 C．k＜2，且k≠0 D．k＜﹣1或k＞2【變式13-3】（2023春?龍泉驛區(qū)期中）如圖，已知一次函數(shù)y1＝﹣2x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，一次函數(shù)y2＝x+b與x軸交于點(diǎn)D．（1）當(dāng)一次函數(shù)y2＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，若y1≤y2，請(qǐng)直接與寫(xiě)出x的取值范圍；（2）當(dāng)x＜3時(shí)，若y1＞y2，結(jié)合圖象直接寫(xiě)出b的取值范圍．【變式13-4】（2022春?明+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖象（如圖1）．（1）方程kx+b＝0的解為，不等式kx+b＜4的解集為；（2）正比例函數(shù)y＝mx（m為常數(shù)，且m≠0）與一次函數(shù)y＝kx+b相交于點(diǎn)P（如圖2），則不等式組mx＞0kx+b＞0的解集為（3）比較mx與kx+b的大?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果）．題型十四一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型十四一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題14】（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）星期天早晨，小明從家出發(fā)跑步鍛煉身體，他沿一條直路跑到與家相距1600m的公園．小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸以64m/min的速度從公園出發(fā)沿同一條道路散步回家．小明在公園休息2min后沿原路以原速跑回．設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過(guò)xmin時(shí)，小明與家之間的距離為y1m，小明爸爸與家之間的距離為y2m，圖中折線OABD、線段EF分別表示y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象．（1）求y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明從公園開(kāi)始返回到爸爸回家之前，x為何值時(shí)，兩人相遇？解題技巧提煉一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，通常是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式14-1】（2023?洪山區(qū)模擬）甲，乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了0.5h，如圖是甲，乙兩車行駛的路程y（km）與甲車行駛的時(shí)間x（h）的函數(shù)圖象，則在乙車行駛的過(guò)程中兩車相距40km時(shí)，乙車行駛的時(shí)間為（）A．74或114h B．52或92h C．12或【變式14-2】（2023?洛陽(yáng)三模）某生態(tài)體驗(yàn)園推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)入園次數(shù)為x時(shí)所需費(fèi)用為y元，選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問(wèn)題：（1）分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)入園次數(shù)12次時(shí)選擇哪種卡消費(fèi)比較合算．【變式14-3】（2023春?旅順口區(qū)期中）某工廠甲，乙兩組工人同時(shí)加工某種機(jī)器零件，乙組在工作中有一段時(shí)間停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2倍，兩組各自加工零件的數(shù)量y（單位：件）與時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）甲組的工作效率是件/h；圖中a的值為；（2）求乙組更換設(shè)備后加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩組一共加工零件500件？【變式14-4】（2023?周口二模）黨的二十大報(bào)告在總結(jié)新時(shí)代偉大變革時(shí)強(qiáng)調(diào)，十年來(lái)，我們經(jīng)歷了對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事，其中之一就是完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)．為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，脫貧致富，某市為定點(diǎn)幫扶鄉(xiāng)免費(fèi)提供一種優(yōu)質(zhì)草莓及栽培技術(shù)，鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植草莓，并將這些草莓精加工成A，B兩種飲料進(jìn)行銷售．某經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A，B兩種草莓飲料，A種草莓飲料進(jìn)價(jià)為30元/箱；B種草莓飲料的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與B種草莓飲料進(jìn)貨量x（單位：箱）之間的關(guān)系如圖所示．已知A，B兩種草莓飲料的售價(jià)分別為42元/箱和50元/箱．（1）求出0＜x＜1000和x＞1000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A，B兩種草莓飲料共5000箱，并能全部售出．其中B種草莓飲料的進(jìn)貨量不低于1000箱，且不高于4000箱，求銷售完A，B兩種草莓飲料所獲總利潤(rùn)W的最大值．題型十五一次函數(shù)的應(yīng)用---方案選擇與設(shè)計(jì)題型十五一次函數(shù)的應(yīng)用---方案選擇與設(shè)計(jì)【例題15】（2022秋?江北區(qū)期末）某市組織20輛汽車裝運(yùn)食品、藥品、生活用品三種救災(zāi)物資共100噸到災(zāi)區(qū)安置點(diǎn)，按計(jì)劃20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種救災(zāi)物資且必須裝滿，根據(jù)表提供的信息，解答下列問(wèn)題：物資種類食品藥品生活用品每輛汽車運(yùn)載量/噸654每噸所需運(yùn)費(fèi)/元120160100（1）設(shè)裝運(yùn)食品的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)為y，求y與x的函數(shù)解析式；（2）若裝運(yùn)食品的車輛數(shù)不少于5，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)不少于6，則車輛的安排有幾種方案？并寫(xiě)出每種安排方案；（3）在（2）的條件下，若要求總運(yùn)費(fèi)最少，應(yīng)采取哪種安排方案？并求出最少運(yùn)費(fèi)．解題技巧提煉選擇方案是指某一問(wèn)題中，符合條件的方案有多種，一般要利用數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)過(guò)分析、猜想、判斷篩選出最佳方案的過(guò)程，此類問(wèn)題往往要求所設(shè)計(jì)的問(wèn)題中出現(xiàn)路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等詞語(yǔ)，解題時(shí)常常與函數(shù)、不等式、幾何知識(shí)聯(lián)系在一起.【變式15-1】（2023?洛陽(yáng)二模）雙流某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種服裝共100件，已知購(gòu)進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過(guò)18750元，且其中A種服裝不少于65件，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表．服裝進(jìn)價(jià)（元/件）售價(jià)（元/件）A200300B150240其中購(gòu)進(jìn)A種服裝為x件，如果購(gòu)進(jìn)的A、B兩種服裝全部銷售完，根據(jù)表中信息，解答下列問(wèn)題．（1）求獲取總利潤(rùn)y元與購(gòu)進(jìn)A種服裝x件的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）該商場(chǎng)對(duì)A種服裝以每件優(yōu)惠m（0＜m＜20）元的售價(jià)進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，B種服裝售價(jià)不變，那么該商場(chǎng)應(yīng)如何調(diào)整A、B服裝的進(jìn)貨量，才能使總利潤(rùn)y最大？【變式15-2】（2022秋?貴池區(qū)期末）某超市雞蛋供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)雞蛋600千克．超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場(chǎng)調(diào)運(yùn)雞蛋，已知甲養(yǎng)殖場(chǎng)每天最多可調(diào)出400千克，乙養(yǎng)殖場(chǎng)每天最多可調(diào)出450千克，從甲、乙兩養(yǎng)殖場(chǎng)調(diào)運(yùn)雞蛋到該超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表：到超市的路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/千克?千米）甲養(yǎng)殖場(chǎng)900.05乙養(yǎng)殖場(chǎng)400.03設(shè)從甲養(yǎng)殖場(chǎng)調(diào)運(yùn)雞蛋x千克，總運(yùn)費(fèi)為W元．（1）從甲養(yǎng)殖場(chǎng)調(diào)運(yùn)雞蛋的運(yùn)費(fèi)，用代數(shù)式表示為，從乙養(yǎng)殖場(chǎng)需要調(diào)運(yùn)雞蛋的數(shù)量，用代數(shù)式表示為；（2）試寫(xiě)出W與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最少？【變式15-3】（2022?陜西模擬）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運(yùn)動(dòng)頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員．冬奧會(huì)來(lái)臨之際，冰墩墩玩偶非常暢銷．小冬在某網(wǎng)店選中A，B兩款冰墩墩玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：A款玩偶B款玩偶進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）2015銷售價(jià)（元/個(gè)）2820（1）第一次小冬550元購(gòu)進(jìn)了A，B兩款玩偶共30個(gè)，求兩款玩偶各購(gòu)進(jìn)多少個(gè)．（2）第二次小冬進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過(guò)B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小冬計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩款玩偶共30個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？題型十六一次函數(shù)與圖形的面積題型十六一次函數(shù)與圖形的面積【例題16】（2022?鹽城開(kāi)學(xué)）如圖，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，直線AB的函數(shù)解析式是y=-43x（1）求證：△ABC≌△BAO；（2）求△ABC的面積．解題技巧提煉一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題，首先要根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．【變式16-1】（2023春?普陀區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知直線AB：y＝2x+4與直線CD相交于點(diǎn)P（m，6），且直線CD與y軸交于點(diǎn)C（0，7）．（1）求直線CD的表達(dá)式；（2）求四邊形PAOD的面積；【變式16-2】（2022春?金川區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線y=43x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線y＝kx﹣2k交x軸于點(diǎn)C，交y軸正半軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)（1）求AC的長(zhǎng)；（2）若S△AOB＝S△EAC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及直線CD的解析式．【變式16-3】如圖，在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，6）、點(diǎn)B（10，2）的直線與兩條坐標(biāo)軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn)（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）若∠APB＝90°，求△APB的面積；（3）若△APB的面積等于20，求P的坐標(biāo)．題型十七一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題題型十七一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【例題17】（2023?金水區(qū)校級(jí)三模）正方形ABCD與正方形BEFG按照如圖所示的位置擺放，其中點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G、B、C在同一直線上，且AB＝4，BE＝2，正方形BEFG沿直線BC向右平移得到正方形B′E′F′G′，當(dāng)點(diǎn)G′與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的距離為x，正方形B′E′F′G′與正方形ABCD的重合部分面積為S，則S與x之間的函數(shù)圖象可以表示為（）A．B． C．D．解題技巧提煉動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，化動(dòng)為靜，通過(guò)看圖獲取信息，可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【變式17-1】（2023?濱湖區(qū)校級(jí)一模）如圖（1），點(diǎn)P為菱形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊CD上一定點(diǎn)，連接PB，PE，BE．圖（2）是點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速