專題06 二元一次方程與方程組（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：解二元一次方程組【高頻考點(diǎn)精講】1．用“代入法”解二元一次方程組的一般步驟（1）從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；（2）將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；（3）解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值；（4）將求得未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；（5）把求得的x、y的值寫在一起，用的形式表示，就是方程組的解。2．用“加減法”解二元一次方程組的一般步驟（1）方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；（2）把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；（3）解這個(gè)一元一次方程，求得x（或y）的值；（4）將求得未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；（5）把求得的x、y的值寫在一起，用的形式表示，就是方程組的解。知識(shí)點(diǎn)02：由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組【高頻考點(diǎn)精講】1．由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系；2．一般來說，有幾個(gè)未知量就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相符。3．找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有以下規(guī)律和方法：（1）如果題目中國(guó)給出的條件由“；”分割成兩部分，可以在“；”前、后找出對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。（2）如果題目中借助表格提供信息，可以將信息進(jìn)行橫向或縱向?qū)Ρ?，找出?duì)應(yīng)的等量關(guān)系；（3）如果題目中給出圖形，可以分析圖形的長(zhǎng)、寬，找出對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)03：列二元一次方程組解決實(shí)際問題【高頻考點(diǎn)精講】1．審題：找出已知條件和未知量以及它們之間的關(guān)系；2．設(shè)元：找出題目中兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來，直接設(shè)元與間接設(shè)元；3．列方程組：找出題目中的兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組；4．求解；5．檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答。知識(shí)點(diǎn)04：三元一次方程組的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】在解決實(shí)際問題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系列幾個(gè)方程。1．把求等式中常數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式奠定基礎(chǔ)；2．通過設(shè)二元與三元的對(duì)比，體驗(yàn)三元一次方程組在解決多個(gè)未知數(shù)問題中的優(yōu)越性。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.58一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?綿陽）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)）中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有16頭，下有44足，問雞兔各幾何．”設(shè)雞x只，兔y只，可列方程組（）A． B． C． D．解：∵上有16頭，∴x+y＝16；∵下有44足，∴2x+4y＝44．∴根據(jù)題意可列方程組．故選：A．2．（2分）（2023?泰安）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（）A． B． C． D．解：∵甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等，∴9x＝11y；∵兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩，∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．根據(jù)題意可列方程組．故選：C．3．（2分）（2023?甘孜州）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛.1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（）A． B． C． D．解：由題意得：，故選：A．4．（2分）（2023?西寧）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意列方程組得（）A． B． C． D．解：由題意可得，，故選：A．5．（2分）（2023?眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故選：B．6．（2分）（2023?黑龍江）某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計(jì)劃出資500元全部用于采購(gòu)A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購(gòu)的方案有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種解：當(dāng)購(gòu)買5本A種圖書時(shí)，設(shè)購(gòu)買x本B種圖書，y本C種圖書，根據(jù)題意得：30×5+25x+20y＝500，∴x＝14﹣y，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或，∴當(dāng)購(gòu)買5本A種圖書時(shí)，有3種采購(gòu)方案；當(dāng)購(gòu)買6本A種圖書時(shí)，設(shè)購(gòu)買m本B種圖書，n本C種圖書，根據(jù)題意得：30×6+25m+20n＝500，∴n＝16﹣m，又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴當(dāng)購(gòu)買6本A種圖書時(shí)，有3種采購(gòu)方案．∴此次采購(gòu)的方案有3+3＝6（種）．故選：B．7．（2分）（2023?宜賓）“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學(xué)問題．意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿．問雞兔各有多少只？若設(shè)雞有x只，兔有y只，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．解：由題意得：，故選：B．8．（2分）（2023?齊齊哈爾）為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐能力，某校為物理興趣小組的同學(xué)購(gòu)買了一根長(zhǎng)度為150cm的導(dǎo)線，將其全部截成10cm和20cm兩種長(zhǎng)度的導(dǎo)線用于實(shí)驗(yàn)操作（每種長(zhǎng)度的導(dǎo)線至少一根），則截取方案共有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種解：設(shè)截成10cm的導(dǎo)線x根，截成20cm的導(dǎo)線y根，根據(jù)題意得10x+20y＝150，∴x＝15﹣2y，∵15﹣2y＞0，∴y＜7.5，∵y是正整數(shù)，∴y的值為1，2，3，4，5，6，7，即截取方案共有7種．故選：C．9．（2分）（2023?紹興）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)萘繛?斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（）A． B． C． D．解：由題意得：，故選：B．10．（2分）（2023?寧波）茶葉作為浙江省農(nóng)業(yè)十大主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)之一，是助力鄉(xiāng)村振興的民生產(chǎn)業(yè)．某村有土地60公頃，計(jì)劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設(shè)茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（）A． B． C． D．解：設(shè)茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，由題意得：，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?谷城縣模擬）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙兩人各有若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有48文；如果乙得到甲所有錢的，那么乙共有錢48文，甲、乙二人原來各有多少錢？試求甲原有36文錢．解：設(shè)甲原有x文錢，乙原有y文錢，依題意，得：，解得：．故答案為：36．12．（2分）（2023?四平三模）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著，其中有一道“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何？”學(xué)了方程（組）后，我們可以非?？旖莸亟鉀Q這個(gè)問題，如果設(shè)雞有x只，兔有y只，那么可列方程組為．解：∵上有三十五頭，∴x+y＝35；∵下有九十四足，∴2x+4y＝94．∴根據(jù)題意可列方程組．故答案為：．13．（2分）（2023?朝陽）已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為2．解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2，又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2．故答案為：2．14．（2分）（2023?鹽城）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為7人．解：設(shè)該問題中的人數(shù)為x人，物品的價(jià)格為y錢，根據(jù)題意得：，解得：，∴該問題中的人數(shù)為7人．故答案為：7人．15．（2分）（2023?永康市一模）《水滸傳》中關(guān)于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報(bào)，去時(shí)順風(fēng)，用了2小時(shí)；回來時(shí)逆風(fēng)，用了6小時(shí)，則戴宗的速度為60里/小時(shí)．解：戴宗順風(fēng)行走的速度為：180÷2＝90（里/小時(shí)），戴宗逆風(fēng)行走的速度為：180÷6＝30（里/小時(shí)），設(shè)戴宗的速度為x里/小時(shí)，風(fēng)速為y里/小時(shí)，由題意得：，解得：，∴設(shè)戴宗的速度為60里/小時(shí)，答：戴宗的速度為60里/小時(shí)．故答案為：60．16．（2分）（2023?朝陽區(qū)一模）一個(gè)33人的旅游團(tuán)到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4間一人間和若干間三人間，住宿價(jià)格是一人間每晚100元，三人間每晚130元．（說明：男士只能與男士同住，女士只能與女士同住，三人間客房可以不住滿，但每間每晚仍需支付130元．）（1）若該旅游團(tuán)一晚的住宿房費(fèi)為1530元，則他們租住了1間一人間；（2）若該旅游團(tuán)租住了3間一人間，且共有19名男士，則租住一晚的住宿房費(fèi)最少為1600元．解：（1）設(shè)該旅游團(tuán)租住了x間一人間，y間三人間，根據(jù)題意得：100x+130y＝1530，∴x＝，又∵x，y均為自然數(shù)，且x≤4，∴，∴他們租住了1間一人間．故答案為：1；（2）當(dāng)租住的三人間全部住滿時(shí)，租住一晚的住宿房費(fèi)最少．∵19﹣1＝18（人），18÷3＝6（間），33﹣19﹣（3﹣1）＝12（人），12÷3＝4（間），6+4＝10（間），∴租住一晚的住宿房費(fèi)最少的租住方案為：租住的3間一人間里面1間住男士，2間住女士，另租住10間三人間，∴此時(shí)租住一晚的住宿房費(fèi)為100×3+130×10＝1600（元），∴租住一晚的住宿房費(fèi)最少為1600元．故答案為：1600．17．（2分）（2023?秦淮區(qū)模擬）關(guān)于x，y的方程組的解滿足x+y＝1，則m的值為﹣1．解：方程組兩式相加得：3x+3y＝4+m，即x+y＝，∵x+y＝1，∴＝1解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．18．（2分）（2023?上虞區(qū)模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)問題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，問井深幾尺？則該問題中的井深是8尺．解：設(shè)繩長(zhǎng)是x尺，井深是y尺，依題意有，解得，．故井深是8尺．故答案為：8．19．（2分）（2023?威海）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”題目大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價(jià)值多少元？設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意列方程組：．解：若設(shè)有x人，物品價(jià)值y元，根據(jù)題意，可列方程組為，故答案為：．20．（2分）（2023?儀征市二模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會(huì)多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為．解：設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為：．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?西藏）列方程（組）解應(yīng)用題如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長(zhǎng)方形墻磚砌成．（1）求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；（2）求電視背景墻的面積．解：（1）設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為xm，寬為ym．依題意得：，解得：，答：一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為1.2m，寬為0.3m．（2）求電視背景墻的面積為：2×1.2×1.5＝3.6（m2）．答：電視背景墻的面積為3.6m2．22．（6分）（2023?常德）解方程組：．解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，將x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程組的解是．23．（8分）（2023?重慶）某公司不定期為員工購(gòu)買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購(gòu)買兩種食品各多少份？（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買牛肉面多少份？解：（1）設(shè)購(gòu)買雜醬面x份，牛肉面y份，根據(jù)題意得：，解得：．答：購(gòu)買雜醬面80份，牛肉面90份；（2）設(shè)購(gòu)買牛肉面m份，則購(gòu)買雜醬面（1+50%）m份，根據(jù)題意得：﹣＝6，解得：m＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝60是所列方程的解，且符合題意．答：購(gòu)買牛肉面60份．24．（8分）（2023?張家界）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）4560租金（元/輛）200300（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車？（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是x人，原計(jì)劃租用y輛45座客車．根據(jù)題意，得，解得．答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車；（2）租45座客車：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），租60座客車：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14輛45座客車更合算．25．（8分）（2023?安徽）根據(jù)經(jīng)營(yíng)情況，公司對(duì)某商品在甲、乙兩地的銷售單價(jià)進(jìn)行了如下調(diào)整：甲地上漲10%，乙地降價(jià)5元．已知銷售單價(jià)調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1元，求調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)．解：設(shè)調(diào)整前甲地該商品的銷售單價(jià)為x元，乙地該商品的銷售單價(jià)為y元，由題意得：，解得：，答：調(diào)整前甲地該商品的銷售單價(jià)為40元，乙地該商品的銷售單價(jià)為50元．26．（8分）（2023?深圳）某商場(chǎng)在世博會(huì)上購(gòu)置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價(jià)比A玩具的單價(jià)貴25元，且購(gòu)置2個(gè)B玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元．（1）求A，B玩具的單價(jià)；（2）若該商場(chǎng)要求購(gòu)置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于20000元，則該商場(chǎng)最多可以購(gòu)置多少個(gè)A玩具？解：（1）設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件B玩具的進(jìn)價(jià)為（x+25）元，根據(jù)題意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，則每件A玩具的進(jìn)價(jià)為50元，每件B玩具的進(jìn)價(jià)為75元；（2）設(shè)商場(chǎng)可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，根據(jù)題意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，則最多可以購(gòu)置A玩具100個(gè)．27．（8分）（2023?宜昌）為紀(jì)念愛國(guó)詩(shī)人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購(gòu)買豆沙粽10個(gè)，肉粽12個(gè)，共付款136元，已知肉粽單價(jià)是豆沙粽的2倍．豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230（1）求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；（2）超市為了促銷，購(gòu)買粽子達(dá)20個(gè)及以上時(shí)實(shí)行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購(gòu)買數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）；①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)；②為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個(gè)粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷售價(jià)格按其中每個(gè)粽子優(yōu)惠后的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別