14.1.3積的乘方（解析版）

積的乘方知識點管理瞄準目標，牢記要點知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究積的乘方法則積的乘方法則:積的乘方，先把積中的每一個乘數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘。.符號語言：(其中都是正整數(shù)).題型一：積的乘方法則【例題1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級期末）計算：______．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了冪的乘方，積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．變式訓練【變式1-1】（2022·湖南永州·七年級期中）計算______．【答案】【分析】直接利用積的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】．故答案為．【點睛】本題考查了積的乘方運算，熟練掌握積的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇鹽城·七年級期中）計算的結(jié)果為________；【答案】【分析】根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘計算．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查積的乘方的性質(zhì)，冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級階段練習）____________．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方計算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了積的乘方運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．題型二：冪的混合運算【例題2】（上海民辦行知二中實驗學校七年級階段練習）計算:【答案】．【分析】原式先分別計算積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，再進行合并同類項即可．【詳解】，==．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及積的乘方與冪的乘方，熟練掌握各運算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓練【變式2-1】（2022·江蘇連云港·七年級階段練習）計算：（﹣x）3x5+（2x4）2．【答案】3x8【分析】直接利用冪的混合運算即可解答.【詳解】解：原式＝﹣x8+4x8＝3x8．【點睛】本題考查冪的混合運算，熟練掌握冪的運算法則是解答的關(guān)鍵.【變式2-2】（2022·福建·廈門雙十中學思明分校八年級期中）計算：(2x2)3x4x2【答案】【分析】先根據(jù)冪的乘方運算法則和同底數(shù)冪的乘法法則計算原式中的乘方運算，再根據(jù)同底數(shù)冪的加法法則算加法即可．【詳解】【點睛】本題考查了冪的運算問題，掌握冪的乘方運算法則和同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的加法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021·福建八年級期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)冪的運算法則計算即可．【詳解】解：原式，，．【點睛】本題考查了冪的運算，解題關(guān)鍵是熟知冪的運算法則，熟練進行計算．【變式2-4】（2021·上海市民辦新復興初級中學七年級期末）計算：．【答案】0【分析】先根據(jù)冪的乘方計算，計算同底數(shù)冪，最后合并，即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，熟練掌握相關(guān)冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．積的乘方逆運算逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用積的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.題型三：積的乘方逆運算【例題3】（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）82016×（﹣0.125）2015＝________．【答案】﹣8【分析】先逆用同底數(shù)冪的乘法法則，得到8×82015×（﹣0.125）2015，再逆用積的乘方法則即可得到答案．【詳解】解：82016×（﹣0.125）2015＝8×82015×（﹣0.125）2015＝8×[8×（﹣0.125）]2015＝8×（﹣1）2015＝8×（﹣1）＝﹣8．故答案為：﹣8【點睛】此題考查了同底數(shù)的乘法和積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓練【變式3-1】（2022·廣西崇左·七年級期中）計算：______．【答案】－4【分析】根據(jù)逆用積的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法，即可求解．【詳解】解：原式＝，故答案為：．【點睛】本題考查了逆用積的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法，掌握積的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·安徽安慶·七年級期中）(-0.5)2022×22023=______【答案】2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用即可得．【詳解】解：原式，故答案為：2．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用、積的乘方的逆用，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學校七年級期中）計算_________．【答案】-4【分析】將式子轉(zhuǎn)化為，再利用積的乘方的逆運算進行計算即可．【詳解】解：原式=．故答案為：．【點睛】本題考查了積的乘方的逆運算，掌握積的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2021·江蘇七年級期中）計算：______．【答案】5【分析】根據(jù)冪的意義，2021個5相乘可以看做2020個5相乘，再乘以1個5，然后根據(jù)積的乘方法則的逆用運算即可．【詳解】原式

故答案為：5．【點睛】本題考查了積的乘方(先把積中的每一個乘數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘)，解題的關(guān)鍵是會逆用法則進行運算．題型四：積的乘方自定義運算【例題4】（2021·廣東七年級月考）如果，那么我們規(guī)定．例如：因為，所以．（1）（理解）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）=，；（2）（說理）記，，．試說明：；（3）（應用）若，求t的值．【答案】（1）3，－2；（2）見解析；（3）80【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運算法則解答；（2）根據(jù)積的乘方法則，結(jié)合定義計算；（3）根據(jù)定義解答即可．【詳解】（1）23=8，（2，8）=3，，（2，）=-2，故答案為：3；-2；（2）∵（4，12）=，（4，5）=，（4，60）=，∴，，，∵，∴，∴，∴；（3）設(shè)（m，16）=，（m，5）=，（m，t）=，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方以及新定義下的實數(shù)運算，掌握冪的乘方和積的乘方法則是解題的關(guān)鍵．變式訓練【變式4-1】（南陽市第三中學八年級月考）如果ac＝b，那么我們規(guī)定（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）詳見解析【分析】（1）由題意直接根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運算法則進行分析即可解答；（2）由題意根據(jù)積的乘方法則，結(jié)合定義進行分析計算即可．【詳解】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案為：3；2；4；（2）證明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c【點睛】本題考查的是冪的乘方和積的乘方以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握冪的乘方和積的乘方法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（江蘇七年級期末）一次數(shù)學興趣小組活動中，同學們做了一個找朋友的游戲：有六個同學A、B、C、D、E、F分別藏在六張大紙牌的后面，如圖所示，A、B、C、D、E、F所持的紙牌的前面分別寫有六個算式：．游戲規(guī)定：所持算式的值相等的兩個人是朋友．如果現(xiàn)在由同學A來找他的朋友，他可以找誰呢？說說你的看法．【答案】D、E．【詳解】試題分析：首先利用同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方以及合并同類項的知識，求得各紙牌上的答案，繼而可知同學A的朋友可以是誰．試題解析：∵A：，B：，C：，D：，E：，F(xiàn)：．∴同學A的朋友可以是D、E．考點：冪的乘方與積的乘方．【變式4-3】我們知道一般地，加減運算是互逆運算，乘除運算也是互逆運算；其實乘方運算也有逆運算；如我們規(guī)定式子23=8可以變形為log28=3，log525=2也可以變形為52=25．在式子23=8中，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n）．根據(jù)上面的規(guī)定，請解決下列問題：（1）計算：log31=，log10100=；（2）已知x=log32，y=log318，請你用x的代數(shù)式來表示y．（請寫出必要的過程）【答案】（1）0,2（2）y=x+2【詳解】試題分析：（1）由題目中的規(guī)律23=8可以變形為log28=3，log525=2也可以變形為52=25即可得到答案.（2）由x=log32，y=log318可得3x=2，3y=18，又因3y=18=2×9=3x×32=3x+2,所以y=x+2.試題解析：（1）0,2（2）∵x=log32，y=log318,∴3x=2，3y=18,∴3y=18=2×9=3x×32=3x+2∴y=x+2.考點：冪的乘方；積的乘方.鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·福建·中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方進行計算即可．【詳解】，故選：C．【點睛】本題考查冪的乘方和積的乘方，熟記冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．【真題2】（2022·湖北武漢·中考真題）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接運用冪的乘方、積的乘方計算即可．【詳解】解：.故答案為B．【點睛】本題主要考查了冪的乘方、積的乘方的運算，靈活運用相關(guān)運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．【真題3】（2021·四川德陽·中考真題）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3+a4＝a7 B．a(chǎn)3?a4＝a12C．（a3）4＝a7 D．（﹣2a3）4＝16a12【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方的法則計算即可．【詳解】解：A、a3與a4不是同類項不能合并，故錯誤，不符合題意；B、a3?a4=a7，故錯誤，不符合題意；C、（a3）4=a12，故錯誤，不符合題意；D、（-2a3）4=16a12，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了合并同類項，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，熟記法則是解題的關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（全國七年級課時練習）已知，求的值.【答案】14【分析】先將與寫成含有的形式即、，再將代入求值即可.【詳解】∵，∴原式.【點睛】此題考察代入求值，根據(jù)已知的條件將所給式子進行變形是解題的關(guān)鍵.【拓展2】（2021·安徽九年級月考）找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計算過程）（3）思維拓展：計算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計算過程）【答案】（1）；；（2）1622600；（3）【分析】（1）觀察等式右邊都是平方數(shù)，且底數(shù)正好是等式左邊各底數(shù)的和，依此規(guī)律類推可分別解決以上兩個問題；（2）由于上面的等式都是從底數(shù)是1開始的，所以可以把該式子前面的部分從1開始補上，再把補上的部分減掉即可；（3）該式中的底數(shù)并不是題干中所給出的從1開始的連續(xù)整數(shù)，因此不能直接用上述規(guī)律解題，但該式中的底數(shù)卻都是從1開始的連續(xù)整數(shù)的2倍，因此提出2后，各項都含有，逆用乘法分配律即可解決問題．【詳解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）＝＝1622600；（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）＝23×＝．【點睛】本題屬于數(shù)式規(guī)律題，考查了學生對數(shù)的觀察和分析的能力，首先學生應對平方數(shù)有一定的認識和感知力，這樣才能邁出解決問題的第一步，其次學生要學