向量法求空間角（二）課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_第1頁
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7.6用向量法求空間角（二）二輪專題復(fù)習(xí)-空間向量與立體幾何年級：高三學(xué)科：高中數(shù)學(xué)教材版本：人教A版（2019）執(zhí)教教師：董超凡深圳市鹽田高級中學(xué)一、二面角的平面角定義：如圖1，在二面角的棱上任取一點，以為垂足，在半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則射線構(gòu)成的叫做二面角的平面角（如圖1），范圍為，特別地，相交形成四個二面角中，不大于的二面角稱為兩平面的夾角.圖1在中作，易知，二面角的平面角二、用向量法求平面與平面的夾角的原理：因兩相交平面夾角與二面角大小相等或者互補，且范圍為，只需研究二面角的平面角.如圖2,3所示，設(shè)為二面角的平面角.圖2圖3設(shè)為二面角的平面角,當(dāng)法向量取為如圖4,5所示,就有：圖4圖5用向量法求平面與平面的夾角的原理：設(shè)分別為平面的法向量，二面角的平面角大小為，向量的夾角為，則（圖6）或（圖7），則兩平面夾角滿足：圖6圖7

三、試一試圖8(2023深圳一模)如圖8，在四棱錐中，，且，底面

是邊長為2的菱形，，，求平面與平面的夾角余弦值.圖9解法1：設(shè)交于，以為原點，

為軸，過作與底面垂直的射線（如圖所示）為軸建立空間直角坐標系；設(shè)，根據(jù)已知條件，易得，以上三式容易算出圖9設(shè)平面的法向量為，則令得為平面的一個法向量.同理可算得為平面的一個法向量.設(shè)平面

與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.通過以上步驟，可以觀察到利用法向量求平面與平面的夾角思路比較清晰，但是運算量偏大，本題是否還有更為簡潔的方法？通過計算可看的到只需研究平面與平面,前者是邊長為2的正三角形，后者為以為直角的直角三角形，如圖11，取中點，兩平面夾角滿足圖10圖11通過以上步驟，可以觀察到利用法向量求平面與平面的夾角思路比較清晰，但是運算量偏大，本題是否還有更為簡潔的方法？通過計算可看的到只需研究平面與平面,前者是邊長為2的正三角形，后者為以為直角的直角三角形，如圖11，取中點，兩平面夾角滿足圖10圖11圖12思考：如果不是特殊三角形，如何求與垂直的向量？方法2解：建系方式與方法1一樣，只需求以下點坐標則設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角余弦值為.四、向量法求平面與平面夾角方法小結(jié)兩種方法向量運算求兩個平面的法向量的夾角求半平面內(nèi)分別與棱垂直的向量的夾角三個步驟建立空間直角坐標系求點坐標求出法向量或與棱垂直

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