5.1.2 垂線 第1課時(shí) 課件　 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)

第五章相交線與平行線5.1相交線

5.1.2垂線第1課時(shí)人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)（1）垂直概念：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是90°時(shí)，叫做這兩條直線互相垂直，記作a⊥b.知識(shí)點(diǎn)1垂線知識(shí)講解兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如圖，AB垂直CD，垂足為

O．記作：AB⊥CD于點(diǎn)

O．（2）符號(hào)語(yǔ)言：

因?yàn)锳B⊥CD，

所以∠AOC=90°．

反之，因?yàn)椤螦OC=90°，

所以AB⊥CD．問(wèn)題:（1）兩條直線垂直和相交是什么關(guān)系？（2）能否認(rèn)為在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有3種：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情況不能，因?yàn)榇怪笔窍嘟坏奶厥馇闆r

思考（3）如何判定兩條射線垂直？?jī)蓷l線段呢？?jī)蓷l線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．（4）你能舉出一些生活中與垂直有關(guān)的實(shí)例嗎？用三角尺或量角器畫已知直線

l

的垂線．（1）用三角尺或量角器畫已知直線

l

的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？無(wú)數(shù)條知識(shí)點(diǎn)2垂線的畫法探究（2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線

l

的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？①

經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線

l的垂線有幾種情況？②

通過(guò)畫圖，你發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以畫幾條直線與已知直線垂直？2種過(guò)直線上一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．PlPlAB過(guò)點(diǎn)

P

畫出射線

AB

或線段

AB

的垂線．PABP（1）（2）即學(xué)即練ABP（3）1.如圖所示，若

AB⊥CD于點(diǎn)O

，則∠AOD=_____；若∠BOD=90°，則AB_____CD.90°⊥隨堂練習(xí)2.如圖所示，直線AB⊥CD

于點(diǎn)O

，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O

，若∠1=26°，則∠2的度數(shù)是（）A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不對(duì)B3.如圖，AB⊥l

，BC⊥l

，B

為垂足，那么A、B、C

三點(diǎn)在同一直線上嗎？為什么？解：A、B、C

三點(diǎn)在同一直線上.∵AB⊥l

，BC⊥l.且交點(diǎn)都為B.∴A、B、C

三點(diǎn)在同一直線上（在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直）.4.如圖，直線AB，CD

相交于O

點(diǎn)，OM⊥AB

于O.（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC

與∠MOD.拓展練習(xí)解：（1）因?yàn)镺M⊥AB

，所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，所以∠NOD=180°-（∠2+∠AOC）=180°-90°=90°.（2）由已知條件∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1，可得∠1=30°，所以∠AOC=90°-30°=60°，所以由對(duì)頂角相等可得∠BOD=60°，所以∠MOD=90°+∠BOD=150°.垂線定義畫法當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角為90°時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線利用三角尺或量角器畫：一靠、二過(guò)、三畫課堂小結(jié)第五章相交線與平行線5.1相交線

5.1.2垂線第2課時(shí)人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)1．能說(shuō)出垂線的意義、會(huì)用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線.2．記住垂線的性質(zhì)并會(huì)利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖所示，背著沉重貨物的小馬要過(guò)河，它有3條線路可以走，選哪一條路走的路程最少呢？睿智的你能幫小馬選出最近的路嗎？新課導(dǎo)入在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖掘能使渠道最短？思考知識(shí)點(diǎn)垂線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離知識(shí)講解（1）你能將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（2）在直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，試著取幾個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)

P

相連，比較一下線段的長(zhǎng)短．你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）你能猜想一下最短的位置會(huì)在哪兒？它唯一嗎？為什么？（4）你能用一句話總結(jié)出觀察得出的結(jié)論嗎？垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫點(diǎn)到直線的距離．（5）如果圖中的比例尺為1:100000，水渠大概要挖多長(zhǎng)？（6）你能列舉生活中類似的實(shí)例嗎？如圖，三角形ABC中，∠C＝90°.（1）分別指出點(diǎn)A到直線BC，點(diǎn)B到直線AC的距離是哪些線段的長(zhǎng)？（2）三條邊AB、AC、BC中哪條邊最長(zhǎng)？為什么？ABACBC理由：連接線段外一點(diǎn)與線段上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.即學(xué)即練1.點(diǎn)到直線的距離是指（）A.直線外一點(diǎn)到這條直線上一點(diǎn)之間的距離B.直線外或直線上一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度C.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長(zhǎng)度D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度D隨堂練習(xí)2.

P

是直線AB

外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PO⊥AB

，垂足為O

，若C

為直線AB

上任意一點(diǎn)，則線段PC

與線段PO

的大小關(guān)系是（）A.PC

＞PO B.PC

＜POC.PC≥PO D.PC≤POC3.一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，C、D

是分別位于公路AB兩側(cè)的加油站.（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)M的位置時(shí)，距離加油站C最近；行駛到點(diǎn)N的位置時(shí)，距離加油站D最近，請(qǐng)?jiān)趫D中分別畫出點(diǎn)M、N的位置；ABCD（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離C、D兩加油站都越來(lái)越近？在哪一段路上距離加油站D越來(lái)越近，而離加油站C卻越來(lái)越遠(yuǎn)？ABCD解：（1）如圖.（2）在公路AB

的AM

段距離C、D

兩加油站都越來(lái)越近，在MN

段距離加油站D

越來(lái)越近，而加油站C

卻越來(lái)越遠(yuǎn).MN4.如圖，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備修建一個(gè)蓄水池.（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫圖確定蓄水池H

點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最小；（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池H

中，怎樣開(kāi)渠最短并說(shuō)明根據(jù).拓展練習(xí)解：（1）∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴連接AD，BC

交于H

，則H

為蓄水池位置，它到四個(gè)村莊距離之和最小.H（2）過(guò)H

作HG⊥EF

，垂足為G.“過(guò)直線外一點(diǎn)與直線各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池H

中開(kāi)渠最短的根據(jù).GH知識(shí)點(diǎn)?

垂線段的定義：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，連接這點(diǎn)與垂足之間的線段，叫做這點(diǎn)到已知直線的垂線段．如圖，連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l，則稱PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段．典例1如圖，在三角形ABC中，∠C是直角，其中能表示點(diǎn)到直線的垂線段的條數(shù)是(

)A．0

B．1

C．2

D．3C變式1如圖所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，下列說(shuō)法不正確的是(

)A．點(diǎn)A到BC的垂線段為AD

B．點(diǎn)C到AD的垂線段為CDC．點(diǎn)B到AC的垂線段為ABD．點(diǎn)D到AB的垂線段為BDD知識(shí)點(diǎn)?

點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．如圖，點(diǎn)P到直線l的距離是指垂線段PO的長(zhǎng)度．典例2如圖，點(diǎn)A到直線l的距離是(

)A．線段AD的長(zhǎng)度B．線段AE的長(zhǎng)度C．線段AB的長(zhǎng)度D．線段AC的長(zhǎng)度A變式2如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，那么點(diǎn)A到BC的距離為

，點(diǎn)B到AC的距離為

，A，B兩點(diǎn)之間的距離為

．

10

cm

8

cm

6

cm

知識(shí)點(diǎn)?

垂線段的性質(zhì)及應(yīng)用連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．典例3如圖，計(jì)劃把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足為B，然后沿AB開(kāi)渠，能使所開(kāi)的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是(

)A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．垂線段最短C．過(guò)一點(diǎn)只能作一條直線D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直B變式3如圖，要從小河l引水到村莊B，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)并作出一條最短路線，并說(shuō)明理由．解：如圖，過(guò)B作BA⊥l，則沿BA引水距離最短，理由：垂線段最短．答圖1．如圖，從位置P到直線公路MN有四條小道，其中路程最短的是(

)A．PA

B．PB

C．PC

D．PDB第1題圖課堂檢測(cè)第2題圖2．如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，則線段AD的長(zhǎng)不可能是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A第3題圖3．如圖，某單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處．他們的做法是：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是

．

垂線段最短

第4題圖4．如圖，已知AB⊥AC，AD⊥BC，AB＝4cm，AC＝3cm，AD＝2.4cm，BC＝5cm，CD＝1.8cm．(1)點(diǎn)B到直線AD的距離為

；

(2)點(diǎn)C到直線AD的距離為

；

(3)點(diǎn)B到直線AC的距離為

；

(4)點(diǎn)C到直線AB的距離為

．

3

cm

4

cm

1.8

cm

3.2

cm

5．如圖，直線l表示草原上的一條河．小明家為B處，小紅家為A處，小明從家出發(fā)到小紅家取釣魚工具再去河邊釣魚，問(wèn)小明按怎樣的路線走能使總路程最短？請(qǐng)作出這條路線．解：如圖，折線段BA，AO即為所求．答圖6．(教材P6練習(xí))如圖，三角形ABC中，∠C＝90°．(1)分別指出點(diǎn)A到直線BC，點(diǎn)B到直線AC的距離是哪些線段的長(zhǎng)；(2)三條邊AB，AC，BC中哪條邊最長(zhǎng)？為什么？解：(1)點(diǎn)A到直線BC的距離為線段AC的長(zhǎng)，點(diǎn)B到直線AC的距離為線段BC的長(zhǎng)．(2)AB邊最長(zhǎng)．理由如下：由垂線段最短，可得AB＞AC，AB＞BC，所以AB邊最長(zhǎng)．7．如圖，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池．(1)不考慮其他因素，請(qǐng)你畫圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊的距離之和最??；(2)計(jì)劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開(kāi)渠最短？請(qǐng)你畫圖確定渠道的位置，并說(shuō)明理由．解：(1)如圖，連接AD，BC，交點(diǎn)H就是蓄水池的位置．(2)如圖，應(yīng)沿線段HG開(kāi)渠．理由如下：垂線段最短．答圖D1．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，那么點(diǎn)C到直線AD的距離是指()A．線段AC的長(zhǎng)

B．線段AD的長(zhǎng)

C．線段DB的長(zhǎng)

D．線段CD的長(zhǎng)基礎(chǔ)小練2．如圖，AC⊥BC，AB⊥BD，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD＝12，AD＝13，則點(diǎn)A到BC的距離是

，點(diǎn)D到AB的距離是

．

12

3

3．如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路l旁有一超市O，現(xiàn)要建一個(gè)汽車站，為了使超市離車站最近，請(qǐng)你在公路上選一點(diǎn)來(lái)建汽車站，應(yīng)建在

，依據(jù)是

.

垂線段最短

C點(diǎn)

4．如圖，某國(guó)道a上有一出口M，現(xiàn)想在附近公路b旁建一個(gè)加油站，欲使出口M到加油站的通道長(zhǎng)最短，應(yīng)沿怎樣的線路施工？在圖中畫出來(lái)．答圖

解：如圖，應(yīng)沿線段MN施工．

1．如圖，點(diǎn)C到直線AB的距離是(

)A．線段CA的長(zhǎng)度 B．線段CB的長(zhǎng)度C．線段AD的長(zhǎng)度 D．線段CD的長(zhǎng)度D基礎(chǔ)提升2．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有(

)A．3條

B．4條C．5條

D．6條C3．如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝3cm，則點(diǎn)C到AB的距離為

cm．

2.4

4．如圖，想在河的兩岸搭建一座橋，沿線段

搭建最短，理由是

．

垂線段最短

PM

5．如圖，火車站、碼頭分別位于A，B兩點(diǎn)，直線a，b分別表示鐵路、河流．(1)從火車站到碼頭怎樣走最近？請(qǐng)畫圖并說(shuō)明理由；(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近？請(qǐng)畫圖并說(shuō)明理由．解：(1)如圖，連接AB，沿線段AB走最近．理由：兩點(diǎn)之間，線段最短．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥直線a，沿線段BD走最近．理由：垂線段最短．答圖

6．點(diǎn)A為直線a外一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線a上一點(diǎn)，點(diǎn)A到