河南省洛陽市豫西名校2020-2021學年高二下學期第一次聯考理科數學試題

…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………河南省洛陽市豫西名校2020-2021學年高二下學期理數第一次聯考試卷一、單選題（共12題；共60分）1.已知函數y=f(x)的導函數為f'(x)，且f'(1)=-1，則A.

-1

B.

-13

C.

13

D.

32.已知f(x)=x?sinx，則導數f'(π)=A.

0

B.

-1

C.

π

D.

-π3.圖中陰影部分的面積用定積分表示為A.

012xdx

B.

4.曲線y=ax+lnx在點(1,f(1))處的切線斜率為3，則實數aA.

1

B.

2

C.

3

D.

45.如圖，函數y=f(x)的圖象在點P(2,y)處的切線是l，則f(2)+f'(2)等于（A.

-4

B.

2

C.

-2

D.

16.下列求導運算正確的是（

）A.

(lnx+3x)'=7.0416-x2A.

2π

B.

4π

C.

88.函數f(x)=13x2-A.

(62,+∞)

B.

(-62,9.隨著科學技術的發(fā)展，放射性同位素技術已經廣泛應用于醫(yī)學、航天等眾多領域，并取得了顯著經濟效益.假設某放射性同位素的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數關系P(t)=P02-t30，其中P0為時該放射性同位素的含量.已知t=15時，該放射性同位素的瞬時變化率為-32A.

20天

B.

30天

C.

45天

D.

60天10.若點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，則點P到直線y=xA.

1

B.

2

C.

22

D.

311.已知函數f(x)=xlnx-12ax2-A.

(-∞,e-2)

B.

(0,e-212.已知定義R在上的函數f(x)，其導函數為f'(x)，若f(x)=f(-x)-2sinx，且當x≥0時，A.

(-∞,π2)

B.

(π2,+∞二、填空題（共4題；共20分）13.已知f(x)為偶函數，且02f(x)dx=414.已知函數f(x)=x3-2x，則f(x)在點15.已知函數f(x)=lnx-ax-2在區(qū)間(1,2)16.若函數f(x)=m-x2+2lnx在[三、解答題（共6題；共70分）17.已知函數f(x)=13x3+ax2+bx（1）求函數f(x)的解析式；（2）求函數f(x)的單調區(qū)間.18.函數f(x)=1（1）求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；（2）求f(x)在區(qū)間[1e,e]19.已知函數f(x)=(m-3)ex+（1）求f(x)的解析式；（2）設g(x)=x2+ax-2a，若對任意x≥2，f(x)20.已知函數f(x)=sin（1）求函數f(x)在(0,π)內的單調遞增區(qū)間；（2）當x∈[0,+∞)21.某同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經過市場調查，生產一小型電子產品需投入固定成本2萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，當年產量小于7萬件時，C(x)=13x2+2x（萬元）；當年產量不小于7萬件時，C(x)=6x+lnx+e3（1）寫出年利潤P(x)（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）（2）當年產量約為多少萬件時，該同學的這一產品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（取e3=2022.已知函數f(x)=lnx-ax（1）求f(x)的單調區(qū)間;（2）若f(x)有兩個相異零點x1，x2，求證:

答案解析部分一、單選題（共12題；共60分）1.已知函數y=f(x)的導函數為f'(x)，且f'(1)=-1，則A.

-1

B.

-13

C.

13

D.

3【答案】B【考點】極限及其運算【解析】【解答】根據導數的定義，lim所以limΔx故答案為：B.

【分析】利用導數的定義進行求解即可。2.已知f(x)=x?sinx，則導數f'(π)=A.

0

B.

-1

C.

π

D.

-π【答案】D【考點】導數的運算【解析】【解答】∵f(x)=xsinx，∴f'故答案為：D.

【分析】求得f'(x)=sinx+xcosx，3.圖中陰影部分的面積用定積分表示為A.

012xdx

B.

【答案】B【考點】定積分在求面積中的應用【解析】【解答】根據定積分的幾何意義，陰影部分的面積為012xdx故答案為：B.

【分析】根據定積分的幾何意義即可得出答案。4.曲線y=ax+lnx在點(1,f(1))處的切線斜率為3，則實數aA.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】B【考點】導數的幾何意義【解析】【解答】函數f(x)=ax+lnx，可得f所以切線的斜率為k=f'(1)=a+1=3故答案為：B.

【分析】對f

(x)

求導，根據f

(x)在點(1,f(1)

)處的切線斜率為3，得到關于a的方程，再求出a的值.5.如圖，函數y=f(x)的圖象在點P(2,y)處的切線是l，則f(2)+f'(2)等于（A.

-4

B.

2

C.

-2

D.

1【答案】D【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程【解析】【解答】由圖象可得函數y=f(x)的圖象在點P處的切線是l，與x軸交于點(4，0)，與y軸交于點(0則可知l：x+y=4，∴f(2)=2，f'f(2)+f'故答案為：D．

【分析】由圖象可得函數y=f(x)的圖象在點P處的切線是l，可知l：x+y=4，進而求出f(2)+f'(2)6.下列求導運算正確的是（

）A.

(lnx+3x)'=【答案】B【考點】導數的運算【解析】【解答】A，(lnx+3x)B，(xex)C，(=3xln3D，(ln2+log2x)故答案為：B.

【分析】根據導數的運算法則求導后判斷，即可得出答案。7.0416-x2A.

2π

B.

4π

C.

8【答案】B【考點】定積分【解析】【解答】0416-x2dx表示的是圓x2+y2=16即圓x2+y2=16所以04故答案為：B.

【分析】0416-x2dx表示的是圓x2+y2=168.函數f(x)=13x2-A.

(62,+∞)

B.

(-62,【答案】C【考點】利用導數研究函數的單調性【解析】【解答】∵∴當f'(x)<0時，解得0<x<62，則函數f(x)=13故答案為：C.

【分析】利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的單調遞減區(qū)間。9.隨著科學技術的發(fā)展，放射性同位素技術已經廣泛應用于醫(yī)學、航天等眾多領域，并取得了顯著經濟效益.假設某放射性同位素的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數關系P(t)=P02-t30，其中P0為時該放射性同位素的含量.已知t=15時，該放射性同位素的瞬時變化率為-32A.

20天

B.

30天

C.

45天

D.

60天【答案】D【考點】函數模型的選擇與應用【解析】【解答】由P(t)=P02-t30因為t=15時，該放射性同位素的瞬時變化率為-32即P'(15)=-2ln2則P(t)=18?2當該放射性同位素含量為4.5貝克時，即P(t)=4.5，所以18?2-t30=4.5，即2-t30=故答案為：D.

【分析】利用實際問題的已知條件結合代入法，從而求出P0的值，進而求出含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足的函數關系式P(t)=P02-t10.若點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，則點P到直線y=xA.

1

B.

2

C.

22

D.

3【答案】C【考點】點到直線的距離公式【解析】【解答】設平行于直線y=x-1且與曲線y=x2-lnx由y=x2-lnx,x>0令2x-1x=1，整理得(x-1)(2x+1)=0，解得x=1由x=1，可得y=12-ln1=1又由點到直線x-y-1=0的距離公式，可得即點P到直線y=x-1的距離的最小值為故答案為：C.

【分析】求出平行于直線y=x-1且與曲線11.已知函數f(x)=xlnx-12ax2-A.

(-∞,e-2)

B.

(0,e-2【答案】B【考點】利用導數研究函數的單調性，函數在某點取得極值的條件【解析】【解答】f'(x)=ln因為f'(x)=lnx-ax即lnx-ax-1=0即y=a與y=lnx-因為y'=2-lnxx2，當0<x<e2時，y所以函數y=lnx-1x在(0,e當x=e2時，y=1e2，且當x>e在同一坐標系中作出y=a與y=lnx由圖象得a∈(0,故答案為：B.

【分析】根據題意可得f'(x)在(0,+∞)上有兩個不同的零點，即問題可轉化為a=lnx-1x有兩個不同的正根，即y=a與y=12.已知定義R在上的函數f(x)，其導函數為f'(x)，若f(x)=f(-x)-2sinx，且當x≥0時，A.

(-∞,π2)

B.

(π2,+∞【答案】D【考點】函數單調性的性質，利用導數研究函數的單調性【解析】【解答】令g(x)=f(x)+sinx，則又由f(x)=f(-x)-2sin故g(-x)=g(x)，即g(x)為定義在R當x≥0時，g'(x)=f'(x)+cosx>0又因為g(x)為偶函數，故g(x)在(-∞,0]由f(x+π2)+cosx=f(x+π所以|x+π2|>|x|，解得所以不等式f(x+π2)>f(x)+sinx故答案為：D.

【分析】根據題意令g(x)=f(x)+sinx,根據條件判斷g(x)的單調性和奇偶性,進一步得到g(x+π2二、填空題（共4題；共20分）13.已知f(x)為偶函數，且02f(x)dx=4【答案】8【考點】定積分【解析】【解答】∵f(x)為偶函數，且02f(x)dx=4∴-故答案為：8

【分析】利用被積函數是偶函數得到-22f(x)dx=2014.已知函數f(x)=x3-2x，則f(x)在點【答案】π【考點】導數的幾何意義【解析】【解答】因為f(x)=x3-所以f'(x)=3所以f(x)在點(1,f(1))切線的斜率為f'(1)=3所以f(x)在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為π4故答案為：π4

【分析】根據導數的幾何意義，即可得出結果。15.已知函數f(x)=lnx-ax-2在區(qū)間(1,2)【答案】(【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值【解析】【解答】由f'①當a≤0時，函數f(x)②當a>0時，函數f(x)的極值點為x=1a若函數f(x)在區(qū)間(1,2)不單調，必有1<1a<2，解得故答案為：(1

【分析】對f

(x)求導，對a分類討論，求出極值點，可得關于a的不等式，從而得解.16.若函數f(x)=m-x2+2lnx在[【答案】(1,4+【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值【解析】【解答】令f(x)=m-x2則m=x2令g(x)=x2則由g'(x)=2xg(x)在[1e2,1]上單調遞減，在且[g(x)]min=g(1)=1，g(1e2∵4+1e4<5∴g(1作出函數g(x)的圖像，如下圖所示：所以函數f(x)在[1e2,e]上有兩個零點，則實數故答案為：(1,4+1

【分析】令g(x)=x2-2lnx，判斷g

(x)

三、解答題（共6題；共70分）17.已知函數f(x)=13x3+ax2+bx（1）求函數f(x)的解析式；（2）求函數f(x)的單調區(qū)間.【答案】（1）因為f依題意有{f'(-1)=-解得a=1，b=-3.故

（2）由（1）得f'(x)=x令f'(x)>0，解得x>1或x<-3；令f'所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-3)，(1,+∞)；【考點】函數解析式的求解及常用方法，利用導數研究函數的單調性【解析】【分析】(1)求出函數的導數，根據f'

(-1)

=-4,f'

(1)

=0，得到關于a，b的方程組，解出即可得到函數

f(x)

的解析式；

(2)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可.

18.函數f(x)=1（1）求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；（2）求f(x)在區(qū)間[1e,e]【答案】（1）因為f(x)=1x+lnx-1所以f'(x)=因此f'(2)=2-122=14，即曲線又f(2)=ln2所以曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y-(即x-4y+4

（2）因為f'(x)=-1x2+所以當x∈(1e,1)時，f'當x∈(1,e)時，f'(x)=x-所以f(x)min又f(1e)=e-2，f(e)=1所以f(x)在區(qū)間[1e,e]上的最大值為【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，利用導數研究曲線上某點切線方程【解析】【分析】(1)求出函數的導數，求解切線的斜率，求解切線方程即可；

(2)判斷函數的單調性，然后轉化求解函數的最大值即可.

19.已知函數f(x)=(m-3)ex+（1）求f(x)的解析式；（2）設g(x)=x2+ax-2a，若對任意x≥2，f(x)【答案】（1）∵f(x)=(m-3)ex+x2，∴f'(x)=(m因此，f(x)=3ex

（2）①當x=2時，則f(x)=3ex+x2≥x②當x>2時，由題意得a≤3令h(x)=3exx-2，其中x>2，得h'(x)=3ex(x-3)(x-2)2，當當x>3時，h'(x)>0，h(x)所以h(x)min=h(3)=3綜上所述，實數a的取值范圍是(-∞【考點】函數解析式的求解及常用方法，利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值【解析】【分析】(1)求得f'(x)，利用f'(0)=3求出m的值，即可得出f(x)

的解析式；

(2)分x=2，x>2兩種情況討論，在x=2時可得出a∈R；在x>2時，由參交量分高法得出

a≤3exx-

20.已知函數f(x)=sin（1）求函數f(x)在(0,π)內的單調遞增區(qū)間；（2）當x∈[0,+∞)【答案】（1）由題意知，f'(x)=1-2sinx所以當f'(x)>0時，解得x即f(x)在(0,π)的單調遞增區(qū)間是(0,π6)

（2）令g(x)=f(x)-x，(x≥0)，只需證g令h(x)=1-2sinx當x∈[0,π6]時，h'即g'(x)在[0,π6]單調遞減，即所以g'(x)≤0，從而g(x)在[0,π6當x∈(由（1）知，f(x)的極大值點滿足sinx=12，這些極大值點使得f(x)的分子值不變，但分母隨x的增大而增大（當然∴當x∈[π6,+∞)時，綜上，f(x)≤x【考點】利用導數研究函數的單調性，分析法和綜合法【解析】【分析】(1)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可;

(2)令

g(x)=f(x)-x

，

(x≥0)

只需證g

(x)

≤0即可，求出g

(x)

21.某同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經過市場調查，生產一小型電子產品需投入固定成本2萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，當年產量小于7萬件時，C(x)=13x2+2x（萬元）；當年產量不小于7萬件時，C(x)=6x+lnx+e3（1）寫出年利潤P(x)（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固定成