2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）9 圓錐曲線小題歸類（9大題型）（解析版）

秘籍09圓錐曲線小題歸類

r高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題眾☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)圓錐曲線定義、直線與圓錐曲線位置關(guān)系

事應(yīng)試秘籍

圓錐曲線屬于高考難點(diǎn)，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏

多，需要學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來解決

相應(yīng)問題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過梳理題型來理解其

中的含義和方法。

【題型一】圓錐曲線定義型

基本定義：

（1）橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：IPF11+1PF2|=2a,|FlF2|=2c且a>c（其中a>0,c0,且a,c為常數(shù)）

（2）雙曲線定義:動(dòng)點(diǎn)P滿足:||PF1|-|PF2||=2a,F1F21=2c且a<c（其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0）.

（3）拋物線定義：|P/q=『M，點(diǎn)尸不在直線/上，于歷

拓展定義：

避nb?

l.A,B是橢圓C：京+3=1（a>0,力>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則KAB?KOW=---

a-（可用點(diǎn)差法快速證明）

■2,2b2

2.A,B是雙曲線C:5一6=13>0,Z?>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則KAB9K0M=—

'a-（可用點(diǎn)差法快速證明）

?典例剖析

1.已知拋物線。：,2=2。%（。>0）的焦點(diǎn)為尸，直線/與C交于A,B兩點(diǎn),AF±BF，線段AB的中

點(diǎn)為M，過點(diǎn)”作拋物線。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則扁\AB的\最小值為.

【答案】V2

【詳解】如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/，作AQ，/于點(diǎn)。，BPLZ于點(diǎn)P,

山拋物線的定義可設(shè)：|AF|=|AQ|=a,忸可=忸"=。，由勾股定理可知:

\AB\=yj\AFf+\BFf=^a2+b2，

由梯形中位線的性質(zhì)可得：|MN|="2,貝ij：W=VE^E>I2一_=日

2\MN\a+ba+b

\AB\「

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為V2.

v-22

2.已知耳，工分別為雙曲線會(huì)一v方=l(a>(),人>())的左、右焦點(diǎn)，以耳工為直徑的圓與雙曲線在第一

象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M，N,設(shè)四邊形片NF2M的周長(zhǎng)為P,面積為S,且滿足32s=/,則

該雙曲線的離心率為.

【答案】顯

2

【詳解】快捷解法

由面積公式可推得：P=8b=>r,+r2=4b；定義得：r,-r2=2a,Wr,=a+2b,r2=2b-a

瓜

e=---

2

根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)用(x「x),

由圓與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以5巧外”=S.眇，

因?yàn)閳A是以大居為直徑，所以圓的半徑為。，因?yàn)辄c(diǎn)何(玉，y)在圓上，也在雙曲線上，所以有

f22

1_T=1

a2b2，

H2+M2=1L

聯(lián)立化簡(jiǎn)可得。21,yj)_a2y2=a2b2,整理得2c2-=y2+/〉：，

b4=c2V]2,y=—,所以S=2S巧A”=2c?x2b1,因?yàn)?2s=/??,所以“2=64〃，p=Sb,

1c

因?yàn)閜=MF1+MF?+NR+NF?=2(^MFi+MF2),所以M￡+g=4b,

ME+MF,=4b

因?yàn)椤癎-A/E,=2。，聯(lián)立《-可得MK=2b+a,MF,=2b-a,

[MF}-MF?-2a

因?yàn)椤犋B為圓的直徑，所以“"2+班2=6工2,

BP(2b+aj2+(2Z>-tz)2=4c2>Sb2+2a2=4c2>4b2+a2=2c2-

c23cV6

———e——二—

4c2-4/+/=2c?,2c2=3〃-cr2,所以離心率a2

22

3.已知雙曲線C：^—抬=1的左焦點(diǎn)為點(diǎn)R，右焦點(diǎn)為點(diǎn)F2，點(diǎn)M(x,y)(xR±5)為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，則

直線M6與的斜率的積卻歷?仆代的取值范圍是.

【答案】(一8,。]口(小+8]

16,2C、

【解析】因?yàn)?,y）'916..16、

L=x+5＞5=j=9r

一一25

。16八?16,1..16..16

?xN9.?f_25〉°%_25=1，1%（1\2-25）＞9或qQ+2/）＜°'故填

99x-25

：-8,0]U（T，+°°]?

r名校模擬

22

（多選）1.（2023?山東濟(jì)南?一模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，由直線x=T上任一點(diǎn)尸向橢圓三+匕=1作

43

切線，切點(diǎn)分別為A，8,點(diǎn)A在X軸的上方，則（）

A.NAP5恒為銳角B.當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，直線"的斜率為方

C.IAP|的最小值為4D.存在點(diǎn)P,使得(PA+PO)04=O

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)切線方程為/：y=H+m,P（Tf卜A（x,，x）、

y=kx+m

聯(lián)立得:(4〃+3)d+85+4>_]2=0,

3x2+4y2-12=0

,4km3m.3x.3

直線與橢圓相切，故△=0,則為=--7r-T,.y,=J7F-T--k=,

QKi3QK?34yl

.?.切線外的方程為〃：與+與=1,同理切線尸5的方程為1苦+弩=1

而P點(diǎn)在必、而上,

=1

又A&，X）、8（%,%）滿足該方程組，故&，:岑+]=1，

顯然必過定點(diǎn)（-1,0）即橢圓左焦點(diǎn).

以m為直徑的圓半徑最大無限接近“，但該圓與x=-4一直相離，即NAP3始終為銳角，A正確；

3

對(duì)于B項(xiàng)，由A得加:蘭+與=1,A84軸時(shí)，f=0,易得P（-4,0）,.卜一」

4372）PA2

故B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由B知軸時(shí)，A（T.|}P（-4,0）此時(shí)巳4=孚＜4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，取AO中點(diǎn)若（PA+PO）-OA=0則2PM乂。：。,r.PM_LAO,

即，PAO為等腰三角形，PA?=&+"2+(兇-y="p=]6+?,

化簡(jiǎn)得為2+丫；+8再-2以=0,由A知:(y,=3芭+3,y：=3

整理得：玉2+8毛-12=0,.?.玉=2近一4,顯然存在戶滿足題意，故D正確；

故選：ABD

22

2.（2022?江蘇?統(tǒng)考三模）關(guān)于橢圓C：5+方=1（。＞匕＞0）,有下面四個(gè)命題：甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；乙：短

軸長(zhǎng)為2；丙：離心率為3：T：右準(zhǔn)線的方程為x=4；如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙c.丙D.T

【答案】B

【詳解】依題意，甲：a=2；乙：。=1：內(nèi)：￡=［；T：2=4；?.?《?￡=”，...甲丙丁真命題，故乙

a2cca

為假命題.

故選：B.

22

3.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知A,3為橢圓會(huì)+《=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，|叫+囪=4,

若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T,則|口|=.

4

【答案】y

【詳解】取橢圓方程為4+《=1，c=77=F，直線方程為*=且＞。（橢圓右準(zhǔn)線），

a~bc

橢圓上點(diǎn)尸（X。,幾），右焦點(diǎn)歹（c,0）,設(shè)點(diǎn)尸伍,幾）到直線的距離為4,

2

陽?+c2-2cx0+y：cjx：+c2-2cx°+加-餞c^x^-2cxn+a

她-d-2-=---------------a--5------------------------=------------------------a--2-----x-----c------------------------=----------------a--7-----a----c----------------

---%Q

c

備［c,

Q2Toea

所以陽=，（_/）="一%

因?yàn)楸绢}橢圓離心率：e=］，設(shè)4（玉,乂）,8仇,月）

即AB中點(diǎn)（I，W耳小,。）’則,垂直平分線斜率為一及

根據(jù)點(diǎn)AB在橢圓上，則有1+支.=1,3+三=1,作差化簡(jiǎn)得/一父=，名一百2）,

則線段的垂直平分線方程為丫=一千手+"產(chǎn)，代入T（八°）得：

膽3二4一￡二§（a-年）=5（西+當(dāng)）=5,即X=：,則|口|=2—；=：.

22（^-x2）2（Xj-x2）26

4

故答案為：y.

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型

2_o\PF\=---，其中e=NPFx

1.已知F是拋物線丫=邛*的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則1-C0S。

\AB\=-^-\AB\=-^-

2.若焦點(diǎn)弦A8的傾斜角為a,則?sin-a（橫放）若AB的傾斜角為a,則cos'a（豎放）

學(xué)典例剖析

1.設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線/與拋物線交于48兩點(diǎn)，且|A尸1=4忸目，則弦長(zhǎng)|A5|=

【答案】—

8

【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（g,0）,設(shè)點(diǎn)4（斗,％）,4（%,必）設(shè)直線/方程為*=機(jī)），+；，

由拋物線的定義有I4用=%+^=%+；,[8用=々+5=々+!由同耳=4怛刊，得

]（X=my+—

x,+-=4.Vo+-L即陽|+1=4（加％+1）.所以有機(jī)（y-4y2）=3（1）,又由{2得:

2I2）卜=2%

y2-2my-\=Q,

9

所以％+必=2加，y/％=T?⑵由（1）,（2）聯(lián)立解得：〃>=工.又

16

925

2

IAB|=|AF\+\BF\=xi+x2+l-my}+my2+2=m（yx+y2）+2=2m+2=2x一+2=一故答案為：

168

25

T

222

2.設(shè)耳，用分別為橢圓=+2=1（“>0>0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=--Cc為半焦距）上存在點(diǎn)P,使歸制

abc

的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（）

【答案】B

22

【詳解】如圖所示，橢圓，方=1,可得焦距|明=2c,

因?yàn)樵谥本€x=-土上存在點(diǎn)P,使伊制的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，

C

可得用M2c,即巨-c42c,可得a243c,即解得￡〃巫

ca3a3

22

（多選）3.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F/,B分別是橢圓C:±+^=1

42

的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足則（）

A.的周長(zhǎng)為定值B.AB的長(zhǎng)度最小值為1

C.若ABLAF2,貝！I2=3D.，的取值范圍是口，5]

【答案】AC

【詳解】因?yàn)樗?2而，則A,B,耳三點(diǎn)共線，瑪周長(zhǎng)=船=8是定值，A對(duì).

AB=2'—=21,B錯(cuò).

mina

???48,4鳥，則4耳，4鳥，A在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)A（0,板），則=x+&

C對(duì).

3

AB:x=my-后,A（$,yJ,B（x2,y2）

x=my-yjl

,工2y2）肖x可得（利2+2）y?-2及相?'-2=0,

42

2y/2m-2八1rt.

2=1

%+必=，c，_y=彳％，/=0日寸'

nr+2機(jī)-+2

A,/w~+21?—I—

m/0時(shí)，返＜九＜3+2及，D錯(cuò).

故選：AC.

7名校模擬

1（皿?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為"，匕過點(diǎn)小工分別作弦的

喳Q卜[喑4可C.憐/D.愕,46

【答案】C

【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知|他|=|CD|,|明|=Q瑪忸制=|C閭.設(shè)點(diǎn)B（x2,y2）.

,所以|AB卜苧，所以|A制+|CR|=|AB|=竽.

若直線A3的斜率不存在，則點(diǎn)A,心,一叫

\7

若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+l）（k工0）,

y=k（.x+\）,2

聯(lián)立蘭/_消去y整理得（4+5公卜2+10&21+5攵2-20=。，A>0,則?又

3"+彳=，+

|4可=J（X1+1）2+y；=J（X[+1）2+4_?；=6+半F,同理可得忸制=?+半々，所以

|A胤+舊=|叫=2石+與（為+々）=2君-霧^=2石-可飛€已-，2叼，所以

j4+z-*4

5k22

M|+|C閭e苧，2后

"o/7、

綜上，|A耳|+|C周的取值范圍為受，2百

故選:C.

2.（2021?山西臨汾?統(tǒng)考一模）過橢圓內(nèi)定點(diǎn)M且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，稱作該橢圓過點(diǎn)用的〃好弦〃.在橢圓

22

彳+福=1中，過點(diǎn)“（4月,0）的所有"好弦"的長(zhǎng)度之和為（）

A.120B.130C.240D.260

【答案】C

【詳解】解：由已知可得a=8,b=4,

所以c=4y/3,故M為橢圓的石焦點(diǎn),

由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)過焦點(diǎn)的弦垂直％軸時(shí)弦長(zhǎng)最短,

所以當(dāng)x=46時(shí)，最短的弦長(zhǎng)為空=&型=4,

a8

當(dāng)弦與x軸重合時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為2。=16,

則弦長(zhǎng)的取值范圍為[4,16],

故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦有4到16的所有整數(shù)，

則〃好弦〃的長(zhǎng)度和為4+16+（5+6+7++15）x2=240,

故選：C.

（多選）3.（2023?江蘇?二模）已知橢圓備%=1,點(diǎn)尸為右焦點(diǎn)，直線尸質(zhì)（丘0）與橢圓交于P，Q兩

點(diǎn)，直線P尸與橢圓交于另一點(diǎn)M,則（）

A.尸周長(zhǎng)為定值B.直線與Q”的斜率乘積為定值

C.線段的長(zhǎng)度存在最小值D.該橢圓離心率為g

【答案】BCD

【詳解】該橢圓中〃=4,b=28c=2,則*2,0）,

所以離心率為故D正確；

設(shè)尸（蒼,%），。（一為一%），

則在PM、QM斜率都存在的前提下有“二，除=靠,

（%一%）（弘+必）二短一%?

J'是kpM.k0

MXX

（百一“2）（“I+*2）\~2

回苧耳2一第

3為定值，故B正確;

4

山題意可設(shè)的方程為》=沖+2,

22_=i

聯(lián)立1612一，消x得（3*+4）/+12陽-36=0,

x=tny+2

則y+%=_3m2+4'^1'23m2+4

144〃14424（濟(jì)+1）

所以歸根=&++一4丫跖=J1+疝一+----------------

I23m2+43m2+4

24_24

加2+1m+\

則當(dāng)，〃=0時(shí)，|P加久=6,

所以線段PM的長(zhǎng)度存在最小值，故C正確.

當(dāng)&=筌時(shí)，直線"等x與橢圓,+（=1交于點(diǎn)（3,與同-3,-警）

不妨取點(diǎn)尸為（3,呼），得直線P尸方程為丫=等（》-2）,

求得交點(diǎn)M為（卜岑），

則歸必=當(dāng)，=|Pe|=V57.此時(shí)PQM的周長(zhǎng)為扇+4！+質(zhì),

當(dāng)人：時(shí)，聯(lián)立，,解得x=±2,不妨取P（2,3）,

則RW垂直于x軸，此時(shí)|PM|=6,|QM|=4,忸0|=2屈,

此時(shí)PQM的周長(zhǎng)為10+2而,

顯然PQ"周長(zhǎng)不為定值，故A錯(cuò)誤;

故選：BCD.

【題型三】定比分點(diǎn)

1.過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為

0_1

0,且（注意方向）則ecos0=|----1（e為離心率）

2.已知AB為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦,

其傾斜角為6,1AF|=m,|BF|=n,曳1=A,則|cos6＞|=|正-1=|—|

\BF\m+n2+1

0典例剖析

1.（2023秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為%工，過五2

的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),AF2=AF2B,且6=0,橢圓C的離心率為孝，則實(shí)數(shù)4=（）

21

A.-B.2C.-D.3

33

【答案】D

【詳解】因?yàn)榭?2瑪8,設(shè)卜同=2歸B卜地＞0）,由橢圓的定義可得：|/國(guó)+|A閭=勿，則|伍|=2a—t,

因?yàn)锳耳?亞=0,所以Af；_L4g,

所以|A耳『+|A閭'I甲葉，即（2“T）2+/=4C2,又因?yàn)闄E圓C的離心率為也,

所以”=缶，則有（2“一，）2+產(chǎn)=4/=2/,

所以則九歸.=a,則歸同端,

由忸耳|+忸同=2a,所以忸制=2。-?,因?yàn)锳斗-A鳥=0,所以A￡_LAK，

A-

所以1Ml2+|陰2=忸用2,即6+〃2（1+；）2—(2a——)2,解得：2=3?

A

故選：D.

）2

2.（2。22秋?江蘇連云港?高二?？计谥校┤鐖D‘已知小工分別是橢圓C:?l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、

8在橢圓上，四邊形"；尼8是梯形，AF、呼,且|A用=2忸用，則△8片鳥的面積為（）

A.姮B.巫C.叵D.交

4242

【答案】A

【詳解】設(shè)點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,連接E^、EF2,如卜.圖所示：

因?yàn)椤槠?、8E的中點(diǎn)，則四邊形ME鳥為平行四邊形，可得跖2〃如且忸用=|班|,

因?yàn)锳￡//B鳥，故A、小￡三點(diǎn)共線，設(shè)A（為，x）、現(xiàn)々,％）,

易知點(diǎn)片（一夜,0）,的=（-夜-X|f），@=伍+夜,必），

由題意可知，A耳=2RE,可得％=-2y2，

若直線AE與％軸重合，設(shè)|前|=a+c=2+啦，|3|=2-0，則|A制片2|班不合乎題意;

設(shè)直線AE的方程為血，聯(lián)立可得"+2"一2夜吟2=0,

由韋達(dá)定理可得％+y,=—%=￥"，得力=-型”，

m+1m+2

228機(jī)21217

%%=-2￡=一一^―,則%7,八2=霜工，可得加2=亍，故y2=^_^=

m-+2（加“+2）"7+z7”+216

因此，S△明F2=；x2cx|必卜亞、［=理.

故選：A.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:5+?！?l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,直線BF與C

相交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)A在x軸上的射影為a，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若5O=2AA,則C的離心率為（）

【答案】A

【詳解】由題意得尸（c,0）,3（0,力,設(shè)A（x,y）

因?yàn)?O=24A,所以Bb=2E4，

b

所以(c,—b)=2(x—c,y),得＜

2

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓。:[+2=1（。>/>0）上,

2b2

故選：A

:名校模擬

1.（貴州省新高考"西南好卷"2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題（五））耳，心分別為雙曲線

C:/『l（a>0"）的左，右焦點(diǎn)，過耳的直線與雙曲線左支交于AB兩點(diǎn)，且|A用=3|明，以。為圓

心，。鳥為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B,則C的離心率為（）

A.叵

【答案】A

【詳解】由題意得/尸出鳥=90,

設(shè)忸耳|=AW,則|BF21=m+2a,|AF1|=3/w,|AF21=3m+2a,|AB|=4m,

在RtA叫中，由勾股定理得(24+裾+(4間2=(3m+2〃)2,解得機(jī)=〃，則忸用=凡忸閭=3〃,

在Rt片愿中，由勾股定理得/+(3“)2=(24，化簡(jiǎn)得’2=/2’所以c的離心率e=￡=亞，

4a2

故選:A.

22

2.(2023春?福建莆田?高二莆田一中?？计谥?設(shè)耳,工分別為橢圓C:T4+與=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),

a-b-

點(diǎn)A,8在C上，若耳A=2B『2后回=5^A|,則橢圓C的離心率為()

AaRV6c非nVio

2435

【答案】C

【詳解】如圖所示，設(shè)|%|=〃7,因?yàn)樵翧=2%且2怩卻=5忻A|,則|肺|=2聞明|=5用,

由橢圓的定義可得忸制+忸用=2“，即”=3用,

又由|A用+|4q=勿=6加，所以|A用=4加，

所以|明=3閡伍|=4帆忸閭=5加，可得局2=忸用「所以々Ag=9()

在直角△曲其中,可得|用：+|叫；=歸邦，即(2〃?)2+(4〃?)2=(2靖，得C=&,

所以橢圓的離心率為e=￡=@.

a3

故選：C.

3.（2022?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線!-?=1的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)1,P為雙曲線右支上一點(diǎn),

|尸耳|=3儼閭，則/耳尸瑪?shù)拇笮椋ǎ?/p>

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得|p6Hp閭=4,

又因?yàn)闅w附=3|尸勾，所以|「￡|=6,|尸聞=2.

又因?yàn)樾瞄?2后,

所以在△"PF中結(jié)合余弦定理的推論得:

8+展-Q幣￥

COSZFPF=

}22x6x22

因?yàn)?<N耳尸8<180,得N￡P(guān)K的大小為60.

故選：C

【題型四】離心率綜合

解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為。，4c的關(guān)系式.求離心率的常用方法有：

（1）根據(jù)條件求得*利用e=￡或e=JlZ5求解；

aVa2

（2）根據(jù)條件得到關(guān)于。力,c的方程或不等式，利用e=￡將其化為關(guān)于e的方程或不等式，然后解方程或

a

不等式即可得到離心率或其范圍.

:典例剖析

1.（2023?江西南昌?校聯(lián)考二模）已知橢圓C:=l（a>人>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)2,直線/經(jīng)過

點(diǎn)K交C于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，AM//FtF2,\AE\=\MF\,NR隼=60。，則C的離心率為（）

A.1B.3C.巨D(zhuǎn).B

2322

【答案】B

【詳解】分別取A,5關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,B',連接AE，AF2,B'F',B'F2,

由AM〃「瑪以及橢圓的對(duì)稱性及幾何知識(shí)可得|AB|=|A'閉，且A,M關(guān)于y軸對(duì)稱，

則A',M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則四邊形A'F2MFt是平行四邊形，

所以鳥=60。，用=.月，

又|45|=附耳|,所以|A閭=|次叫,所以，48罵是等邊三角形,

又，A!B'F2的周長(zhǎng)為|AE|+|A閭+W段=4a,

所以|A閭=?，|A止2a-g=

△A'K心中，山余弦定理|A'用2+|A周2-2|4用|4閭8$/耳4&=|百用2,

得+與'-2,三,fcos]=4c，,整理得/=3c,2,

所以e=￡=,

a3

故選：B.

22

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:「-斗■=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)一,尸為c右支

ab~

上一點(diǎn)，P耳與C的左支交于點(diǎn)。.若|PQ|=|戶8|,則C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,31B.（2,3]C.（0,3]D.Q而

由題意易得：尸"-PB=PQ+QK-PE=Q6=2a,所以。鳥=4"

(m+2a\+m2-4c2_m2+m2-\6a28a3

設(shè)Nff用=6,PF2=m,由余弦定理可得cos?=,=>m

2m\m+2a')2m~c2-5a2

則c2-5/>()ne>石

設(shè)點(diǎn)P(%,％)(%")，則§T，加之=(xo-c、y+y；=(ex0-a)2,

iaJ

m=ex()-a>c-a

所以28；2Nc-a=（e+l）（e+l）（e~~3）?0=eW3,故ec（石,3].

故選：C

22

3.（2023?江西新余?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：「-與=1（〃>0力>0）,過右焦點(diǎn)尸作C的一條漸近線的垂

ab,

—.2一

線/,垂足為點(diǎn)A,/與。的另一條漸近線交于點(diǎn)B,若則。的離心率為（）

A.叵B.2C.亞D.B

532

【答案】A

【詳解】如下圖所示：

雙曲線的漸近線方程為》=±々乂，即以土毆=0,

a

所以，k日==6,則10Al=J|o殲_|A殲="2-從=a,

25

因?yàn)锳F=§A8,貝=

設(shè)ZAOb=a,則ZBQF=a,所以，ZAOB=2a,

tan2c=悝0

網(wǎng)2a

2b

丁5b2i

由二倍角的正切公式可得.2a=六即H五,可得鴻b,

因此,八一舊二R粵

故選：A.

0名校模擬

一+)'2

1.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模)已知橢圓靛十記=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,若直線A尸與圓0：

X-=邛相切，則該橢圓的離心率為()

16

B-1

>/一3

AU.4

避D瑪或日

2

【答案】D

【詳解】設(shè)尸(c,0),則直線AF的方程為±+*=1,即加+①-加=0,

cb

圓心0到直線AF的距離d=

兩邊平方整理得，16(/—。2卜2=3",

于是16(1-e?)e2=3,解得02=；或/=:,

貝|]0=(或0=且，

22

故選：D

2.(2023?浙江金華?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓G:5+/=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為F,左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P

是橢圓G上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，過F作直線AP的垂線交直線B尸于點(diǎn)”(〃?,”)，若初+。=0,則橢圓G的

離心率為.

【答案】；/0.5

不妨設(shè)直線AP的斜率大于0,設(shè)為公

則直線AP的方程為y=k(x+a),直線FM的方程為y=-J(x-c),

k

/a+c1p,a+c

加以M-a,——，則k=，

kk)BM-2ak

由%=^^,如=工^,則即內(nèi)8=塞方，又營(yíng)+4=1,即療=/一陣,

22P2

Xp+axP-aXp-a-aha

所以%=-與且萬=儲(chǔ)-‘2,解得e=?（負(fù)值舍去）.

-2aa2

故答案為：g

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線的中心為原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在V軸上，耳，工分別是雙

曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過上焦點(diǎn)尸2作斜率左=3的直線/交雙曲線上支于點(diǎn)M,N,若尸尸2，△N66的內(nèi)心

3

分別是P,。，且|MN|=2百|(zhì)PQ|,則雙曲線的離心率為.

【答案】巫二1

【詳解】如圖所示，在巴中，設(shè)邊邊上的切點(diǎn)分別為R,T,S,

則T,Q縱坐標(biāo)相等,且|M?|=|NS|,優(yōu)同=|下刀，忻刀=悔5|,

由雙曲線的性質(zhì)可得|N用—|N段=|NS|+恒+優(yōu)給=但刀一同刀=24,

設(shè)T（0，%）,則c+y°—（c-%）=2a,解得%=%所以T（O,a）,

同理可得內(nèi)心P的縱坐標(biāo)也為a,則尸Q，y軸，

瓜nno-nnno.n

設(shè)直線MN的傾斜角為凡則tan6=組，ZP入7=空三，NQ6T=絲蘆

322.

c0

2tan—0

由tanO=-----^解得tan-=2-6,

1-tan--“

2

又因?yàn)殁?j=c-a,所以

\PQ\=\PT\+\TQ\=（c-a）

所以|MV卜8（c—a）.

設(shè)雙曲線方程為］-W=l,6（0,-c）,瑪（O,c）,N（x,,y,）,

ah~

則直線/為y-c=4（x-0）,即y=^-x+c,

■y2

2-1

crb24

聯(lián)立r得僅2-3叫J+2y/3bcx+36=0,

y=-^-x+c

：3

2?2c364

則x,<0,貝!]〃一3a2<0,<?=〃+。2<4〃

+x2=-廬才王"廬與T

所以|MN卜JU+（y-）j=J1+（用x2

5J（X,+X2）-4XIX2

也12/（〃-3*瓦怦從+3打8加

=V3*｛伊一3叫2-伍2-3/J=V3*V-『4*2~=4〃2-7

所以8叱_：2）,SPc2+ac-3a2=0,

4a2-c2l7

所以/+e-3=0,解得e=~~-,

2

故答案為：巫二1

【題型五】雙曲線漸近線型

漸近線

（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為一

典例剖析

22l

1.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：=r一2v=1（〃>0,b>0）的離心率為右，左，右焦點(diǎn)分別為

aIT

66，尸2關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為尸.若|尸周=2,則譙的面積為（）

B.6

【答案】D

【詳解】

bbb

設(shè)尸名與漸近線）=-X交于M，則tanNMOK=上，sin/MOg=—,

a

所以EM=。入.sinNMO^=6,OM=JOF；-MF；=a,

由。，M分別是6心與P8的中點(diǎn)，知0M”PF\且0M=；P耳=1,即a=1,

山e=>/?得°=石,6=2,所以S兩8=4SOMF>=4x^x2xl=4,

故選：D

2

2.（2023?北京朝陽?二模）已知雙曲線爐-卓=1（/，>0）的一條漸近線方程為y="c,則6=（）

A.|B.乎C.8D.3

【答案】C

【詳解】因?yàn)殡p曲線為--普=13>0),所以它的一條漸近線方程為y=6x；

因?yàn)闈u近線方程為y=6x,所以6

故選：C.

3.(2023?天津?三模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：WT=l(a