2022-2023學(xué)年河北省張家口市高二年級下冊期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省張家口市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合A={xeZ|x+l±O},8={#4兀},則AB=()

A.|xeZ|x>-l|B.|x|-l<x<7t}

C.{-1,0,1,2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.

【詳解】因?yàn)锳={xwZ|xN-l},B={x|x<7t},

所以A8={-1,0,1,2,3},

故選：C.

2.已知a>0,b>0,則“a=6=l”是“l(fā)ga+lgb=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由lga+lg^=0可得而=1,利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閍>0，b>0,由lga+lgb=lgS6)=0,可得必=1,

所以，"a=b=l"n"a〃=l"；但"。=匕=1"及“4人=1”.

所以，已知”>0,b>0,則“a=b=l”是“l(fā)ga+lg厶=0”的充分不必要條件，

故選：A.

3.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)f(x)=e2'-1的圖象在原點(diǎn)處的切線方程是()

A.y=xB.y=2x

C.y=sD.y=e2x

【答案】B

【分析】求導(dǎo)得/'(x)=2e2x,計(jì)算f(o)=o,r(o)=2,則得到切線方程.

【詳解】因?yàn)?(0)=0,/。)=2/，所以八0)=2,

所以函數(shù)/(x)的圖象在原點(diǎn)處的切線方程為y=2x,

故選：B.

4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中。<”l),D(X)表示X的方差，則當(dāng)P從0增大到1時(shí)()

X012

丄

P1-P￡

222

A.D(X)增大B.O(X)減小

C.D(X)先減后增D.￡>(X)先增后減

【答案】D

【分析】首先根據(jù)期望公式得E(X)=g+p,再根據(jù)方差計(jì)算公式得O(X)的表達(dá)式，最后利用二次

函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】由分布列可得E(X)=Ox一+lxg+2x勺g+p,

則0?)=號\+\+鑒+夕-1)+窮+2-2)=屮+P+卜一卜一3)+3，

因?yàn)?<p<],所以￡>(X)先增后減，

故選：D.

5.回文是一種修辭手法，數(shù)學(xué)中的“回文數(shù)”是指從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，例如

132231,則從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個(gè)恰好取到奇數(shù)的概率為()

541?

A.-B.-C.*T*D.?—

9923

【答案】A

【分析】計(jì)算岀五位數(shù)字的回文數(shù)的個(gè)數(shù)和五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

【詳解】根據(jù)題意可知，五位數(shù)字的回文數(shù)中，首位有9種選擇，千位和百位都有10種選擇，

所以，五位數(shù)字的回文數(shù)的個(gè)數(shù)為9x102=9oo個(gè)，

其中，五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)，首位有5種選擇，千位和百位都有10種選擇，

所以，五位數(shù)字的回文數(shù)的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為5x102=500個(gè)，

因此，從五位數(shù)字的回文數(shù)中任取一個(gè)恰好取到奇數(shù)的概率為尸=黑=1

故選：A.

6.某校團(tuán)委對“學(xué)生喜歡體育和性別是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男

生喜歡體育的人數(shù)占男生人數(shù)的4女生喜歡體育的人數(shù)占女生人數(shù)的三3，若有95%以上的把握認(rèn)

為是否喜歡體育和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)可能是（）

a0.0500.010

Xa3.8416.635

n^ad-bc\

【附：Z2其中n=a-\-b+c-\-d]

(a+/2)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

A.35B.39C.40D.50

【答案】D

or

【分析】設(shè)男生女生人數(shù)均為1,根據(jù)卡方公式得/，根據(jù)表格得到不等式，解出即可.

【詳解】設(shè)男生女生人數(shù)均為孫則在2x2列聯(lián)表中〃=］4尤”=13=2

<83Y

2ox—x"2----x2

2=（2525丿=21

25

若有95%以上的把握認(rèn)為學(xué)生是否喜歡體育和性別有關(guān)，

2r

可知一>3.841,解得_r>40.3305,

21

又x是5的整數(shù)倍，可得男生人數(shù)可取50,

故選：D.

7.現(xiàn)有5名大學(xué)生準(zhǔn)備到甲、乙、丙3所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少有1名，每名大學(xué)生只能去一所

學(xué)校，若到甲、乙兩所學(xué)校實(shí)習(xí)的人數(shù)不相同，則不同的實(shí)習(xí)方案種數(shù)為（）

A.243B.200C.100D.50

【答案】C

【分析】依題意實(shí)習(xí)方案有兩大類：①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和

②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2人、乙1人，丙2人），分別求出各類的方案數(shù)，最后根據(jù)分類

加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】依題意實(shí)習(xí)方案有兩大類：

①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2

人、乙1人，丙2人），

若為①甲3人、乙1人、丙1人或甲1人、乙3人、丙1人，則有C；C；x2=40種；

若為②甲1人、乙2人，丙2人或甲2人、乙1人，丙2人，則有C；C：x2=60種；

綜上可得一共有40+60=100種.

故選：C

8.若x+lnaNln(x+2)對于任意的x>-2恒成立，則正數(shù)”的最小值為()

A.e-2B.1C.VeD.e

【答案】D

【分析】利用分離參數(shù)法得ln"Wln(x+2)-x,設(shè)g(x)=ln(x+2)-x,x>-2,利用導(dǎo)數(shù)求出其最大

值，則得到不等式解出即可.

【詳解】x+ln"21n(x+2)恒成立，即lna21n(x+2)-x.

1x+1

^g(x)=ln(x+2)-x(x>-2),g'(x)=--------1=---------,

x+2x+2

令夕(x)>0,解得_2a<_l,令F(x)<0,解得x>-l,

則g(x)在區(qū)間(-2,-1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-1,內(nèi))上單調(diào)遞減，

所以g(x)在(-2,+8)上的最大值是g(-l)=1,

故lna21n(x+2)-x只需InaNl,解得aNe,即。的最小值為e,

故選：D.

二、多選題

9.下列說法正確的有()

A.若一組樣本數(shù)據(jù)@,?)(，?=1,2,3,…，”)線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過

樣本中心點(diǎn)門丿)

B.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到力2=5.028,依據(jù)c=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)

^.05=3.841,則推斷X與y無關(guān)不成立，即認(rèn)為X與y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05

C.若隨機(jī)變量j和〃滿足〃=2介1,則E(")=2E⑷+1,。(〃)=4。(a+1

D.若隨機(jī)變量X~N(100,/)，且P(X<120)=0.84,則P(100<X<120)=0.34

【答案】ABD

【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷A,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷B,根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷C,

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A：若一組樣本數(shù)據(jù)（％,y）（i=l,2,3,…線性相關(guān)，

則用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)門5）,故A正確；

對于B：因?yàn)?=5.028>3.841=%。5,所以有95%的把握可判斷分類變量X與V有關(guān)聯(lián)，

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05,故B正確；

對于C：若隨機(jī)變量。和"滿足〃=2戸1,則￡何）=2￡（機(jī)+1,。⑺=4。⑷,故C錯(cuò)誤;

對于D：若隨機(jī)變量X~N（100Q2）,且尸（X<120）=0.84,

則P（100<X<120）=P（X<120）—P（X<100）=0.84-0.5=0.34,故D正確;

故選：ABD

12

10.己知。>0,且一+丁=1,則下列結(jié)論正確的有（）

ab

A.a+h<2yf2B.a+b>3+2yf2

C.ab<2>/2D.ab>S

【答案】BD

【分析】利用乘力“法即可求出a+b的最小值，利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式不等式即可求出

而最小值.

【詳解】由丄+：=1,得24+匕=出7,。>0,人>0,

ab

a+Z>=（a+^）f-+-l=l+2+-+—>3+2./--—=3+272,

[ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)6=&a，即。=&+1力=2+&時(shí)取等號，故B正確，A錯(cuò)誤;

ab=2a+b>2yj2a-b,所以疝2:2夜，即姉28,

當(dāng)且僅當(dāng)匕=為，即a=21=4時(shí)取等號,故C錯(cuò)誤，D正確;

故選：BD.

15144

11.已知a=e4—^b=^--c=ln-是自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）

435f

A.ac<0,hc>0B.ac<0,he<0

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】BD

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=e*-x-l,利用其單調(diào)性和最值一一判斷即可.

【詳解】首先證明切線不等式e'Nx+1,

設(shè)f(x)=e*-x-l,則r(x)=e'-l,令/'(x)=0,解得x=0,

又因?yàn)閒(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)有唯一零點(diǎn)x=0,

且當(dāng)XG(F,O),/'(x)<(),此時(shí)/")單調(diào)遞減，當(dāng)xe(O,s),尸(幻>(),此時(shí)/(x)單調(diào)遞增，

故/(X)1nin=/(°)=°，貝ljf(x)=e'—x-lNO,即e*Wx+l,

則4=/_；=/(；)>/(0)=0,^=/^>/(0)=0,而c=ln1<lnl=O,所以B正確，A錯(cuò)誤;

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，a=f(J,b=f(g)則a<b,

因此cya<6,故D正確，C錯(cuò)誤.

故選：BD.

12.如圖，某高速服務(wù)區(qū)停車場中有A至”共8個(gè)停車位(每個(gè)車位只能停一輛車)，現(xiàn)有2輛黑

色車和2輛白色車要在該停車場停車，則()

A.4輛車的停車方法共有1680種

B.4輛車恰好停在同一行的概率是白

C.2輛黑色車恰好相鄰(停在同一行或同一列)的停車方法共有300種

D.相同顏色的車不停在同一行，也不停在同一列的概率是g

【答案】ABD

【分析】利用排列公式結(jié)合古典概型公式逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】對A,4輛車的停車方法共有A：=1680(種)，A正確；

2A41

對B,4輛車恰好停在同一行的概率是。=舉=去，B正確；

對C,2輛黑色車相鄰且停在同一行有6種，停在同一列有4種，黑色車的停車方法共有(6+4)A；種,

白色車的停車方法共有A；種，故共有(6+4用；A：=600(種)方法，故C錯(cuò)誤；

對D,相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，第一輛黑色車8個(gè)車位都可停車,

第二輛黑色車只能有3個(gè)車位可停車，黑色車共有8x3種方法，

不妨設(shè)黑色車停在A,F兩個(gè)車位，則兩白色車只能停BE,BG,BH,CE,CH,DE,OG共7種選擇，

白色車的停車方法共有2x7種方法，故共有8x3x7x2種方法，

八8x3x7x21

其概率是尸=―屋一=§,D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)首先分析出黑色車有24種方法，然后通過假設(shè)黑色車停在A,尸兩

個(gè)車位，則兩白色車有車中選擇，則白色停車方法有14種，最后利用分步乘法和古典概型公式即可

得到答案.

三、填空題

13.在（l+x）6的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】20

C2C/

【分析】設(shè)第Z+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則＜即可求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

（詳解】V（1+X）6的展開式的通項(xiàng)為幾尸c＞尸,f=CK,

設(shè)第左+1項(xiàng)的系數(shù)最大，貝[C*＞c*+l

加7

根據(jù)公式C：=r!（；7）!，解得34%4萬,，又keZ,

：.k=3,

.??展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為方=《/=201,

即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為20,

方法二：比較C：=”,「=0,1,2,3,4,5,6）的大小,選擇最大值即可；

故答案為：20；

14.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布且X的期望E（X）=4,方差仇X）=2,則〃=.

【答案】8

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差公式得到方程組，解得即可.

【詳解】依題意X8（〃,p）,所以E（X）=〃〃=4,￡＞（X）=〃p（l—p）=2,

解得P=；，"=8.

故答案為：8

15.已知離散型隨機(jī)事件A,8發(fā)生的概率P(A)=0.3,P(8)=0.4,若P(A⑻=0.5,事件儲(chǔ)石,

4+8分別表示A,B不發(fā)生和至少有一個(gè)發(fā)生，則P(同A+8)=,

P(A+B\A+B)=.

43

【答案】0.8/-0.6/1

【分析】空1,空2：利用條件概率公式結(jié)合韋恩圖計(jì)算即可.

【詳解】由題意得尸(川砂=?黑=￡等=。5，

rytj)U.4

P(AB)=0.2,P(AB)=0.2,P(AB)=0.1,尸(A+3)=尸(A)+P(B)-P(AB)=0.5,

P(B\A+B)==—=0.8,

P(A+B)0.5

P(A+B\-8)=二耳)+尸(函=里迫"0

P(A+B)0.5

16.已知函數(shù)"x)=x-a-2xlnM"l)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值可以是.【寫出一個(gè)

符合要求的值即可】

【答案】-1(答案不唯一，只需滿足2/3即可)

【分析】由〃x)=0可得a=x—2xlnx,令g(x)=x-2xlnx=x(l-21nx),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)

的單調(diào)性與極值，分析可知，直線y=a(awl)與函數(shù)g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可

得出實(shí)數(shù)。的取值范圍，即可得解.

【詳解】由/(x)=X-a-2xlnx=?？傻胊=x—2xlnx,其中x>0且awl,

g(x)=x-2xlnx=x(l-21nx),其中太>0,則g,(x)=l-21nx-2=-21nx-l,

令g'(x)=0可得X=e4，列表如下：

11，+8)

Xe-2

g'(x)+0—

g(x)增極大值減

1」

所以，函數(shù)g（x）的極大值為e2-2e2?2e2

當(dāng)0<x<e；時(shí)，g(x)=x(l-21nx)>0；當(dāng)工>1時(shí)，g(x)=x(l-21nx)v0,

由題意可知，直線y=a（，，Hl）與函數(shù)g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，如下圖所示:

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（7,0]

故答案為：-1（答案不唯一，只需滿足2e「5即可）.

四、解答題

17.已知（2+x）'°=4+4犬+。2了2_1-----Faiox'°,其中xeR.

⑴求（2+x）'°展開式中旬和心的值（用數(shù)字表示）；

（2）求q—2旳+3%—4qH-----10?|0的值.

【答案】⑴旬=1024,4=180

⑵10

【分析】（1）求出（2+x）”’的二項(xiàng)展開式，即可求得%、6的值；

（2）令/（力=（2+*）|°=%+平+謁+…+煩°，利用賦值法可得出

4—%；+34—4a4H------100,0=，即可得解.

【詳解】（1）解：（2+w"的展開式通項(xiàng)為加=（232皿.8仏=0,1,2,,10）,

|0

所以，?0=2=1024,%=C：o"=45x4=180.

(2)解：令/(x)=(2+x)'°=4+qx+出X?+…+a]01：”),

2

則/"(X)=10(2+X)9=4+2a2x+3a,x+4a/’++1。須/,

,9

因此，a,-2?2+3tz3-4a4+--—10a10=/(-l)=10x(2-l)=10.

18.某健身俱樂部舉辦“燃脂運(yùn)動(dòng)，健康體魄”活動(dòng)，參訓(xùn)的學(xué)員700人中超過90%屬于超重人員,

經(jīng)過艱苦的訓(xùn)練，近五個(gè)月學(xué)員體重指標(biāo)變化如下表:

月份X12345

超重人數(shù)y600500420340240

（1）已知變量V與變量x具有線性相關(guān)關(guān)系,建立以x為解釋變量，），為響應(yīng)變量的一元經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

（2）俱樂部王教練每天從騎車和游泳中隨機(jī)選擇一種對學(xué)員進(jìn)行減脂訓(xùn)練.選擇方法如下：第一天選擇

騎車，隨后每天用“一次性拋擲4枚質(zhì)地均勻的硬幣”來確定訓(xùn)練方式，若正面朝上的枚數(shù)小于3,則

該天訓(xùn)練方式與前一天相同，否則選擇另一種方式.求前三天騎車訓(xùn)練的天數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n

zx-.yt-nxy

附：回歸直線￥=舐+》中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：當(dāng)_2，-凱.

工號-nx

/=!

5

參考數(shù)據(jù)：?＞比?=5420.

/=1

【答案】（1）R-88X+684

（2）分布列見解析，期望為2黑89.

12o

【分析】（1）利用線性回歸方程公式計(jì)算即可；

⑵首先利用二項(xiàng)分布公式得雖＜3）=匚，P（箕3）='再得出X的所有可能取值為1,2,3,計(jì)

1616

算對應(yīng)概率得到分布列，再利用期望公式即可.

【詳解】（1）由圖表可知二切=%，母飽=陋=420,次物=5420,

5555力’

^X；=12+22+32+42+52=55,

5

人工七丫一5百

5420-63000。

由6=---------------=-oo,

555-5x9

1=1

則》=)一》嚏=420-(-88)*3=684,

所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=-88X+684.

(2)一次性拋鄭4枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的枚數(shù)記為短則&~,

P記<為=+U+C嗚J啥P(能3)=?+C嗚j$

X的所有可能取值為1,2,3,

p(X=l)=lx—x—=—,

1616256

P(X=2)=\x—x—+lx—x—=—f

1616161616

P…(X=今3)、=1?x—11x—H=-1--2-1-,

1616256

所求分布列為

X123

555121

P

25616256

…、155c5c121289

E(X)=1x------F2x----F3x-----=------

25616256128

19.如圖，已知三棱錐P—A3C的三條側(cè)棱R4,PB,PC兩兩垂直，且P4=。，PB=b,PC=c,

三棱錐P-ABC的外接球半徑R=2.

(1)求三棱錐P-ABC的側(cè)面積S的最大值;

(2)若在底面ABC上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)A處開始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂

點(diǎn)B的概率為滾向頂點(diǎn)C的概率為g；當(dāng)球在頂點(diǎn)B處時(shí)，滾向頂點(diǎn)A的概率為：，滾向頂點(diǎn)C

121

的概率為：；當(dāng)球在頂點(diǎn)C處時(shí)，滾向頂點(diǎn)A的概率為彳，滾向頂點(diǎn)B的概率為不若小球滾動(dòng)3次,

記球滾到頂點(diǎn)B處的次數(shù)為X,求數(shù)學(xué)期望E(X)的值.

【答案】（1）8

⑵?。┕?/p>

【分析】（1）依題意可得"+加+°2=16,利用基本不等式求出"+M+加?的最大值，即可得解;

（2）依題意X的可能取值為0、1、2,求出所對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）因?yàn)槿龡l側(cè)棱R4,PB,PC兩兩垂直，且B4=a,PB=h,PC=c，且三棱錐P—48c

的外接球半徑R=2,

則以。、b、c為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即巒+尸+/=4收=16,

所以a?+/>2+c2=丄（2巒+2b2+2c2）>+2ac+2bc^=ab+ac+hc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號,

所以三棱錐的側(cè)面積S=g（"+ac+%c）48,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c■時(shí)取等號，

即三棱錐尸-ABC的側(cè)面積S的最大值為8.

（2）依題意X的可能取值為0、1、2,

八'1211"V1211112

'72326172322339

1?11

P（X=l）=l-P（X=0）-P（X=2）=l----=-）

1II?19

所以E（X）=0x丄+lx—+2x*=』.

'丿618918

20.某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)成績，其中24名

女生平均成績?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為6.

（1）高一年級全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布若用這40名參賽的同學(xué)的樣本

平均數(shù)提和標(biāo)準(zhǔn)差s（四舍五入取整數(shù)）分別作為〃，a,估計(jì)高一年級顛球成績不超過60個(gè)的人

數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；

（2）顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲2勝的概率為:，

在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.

附：若X~N（〃Q2）,pllJP（|X-/7|<cr）=0.6827,尸（|X-“42cr）=0.9545,P（|X-/Z|<3<T）=0.9973.

【答案】⑴23

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差公式求出〃、再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出P（X460）,即可估

計(jì)人數(shù);

(2)設(shè)事件A表示“甲獲勝”，事件B表示“甲前2局獲勝”，求出P(A)、尸(AB),再利用條件概率

的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)依題意I」0x24：80x16-74,即〃=74,

40

2冬e-x女)—+&-24覆

*-24-24-'

所以++舄=24(16+70),

同理$2=冬(，一溝)=4+$+…+￡「16媼=62,

男一16-16

所以y：+￡++城=16(36+80)

所以52=x；+石+++y；+y；++x；-40x

,40

24X(16+702)+16X(36+802)-40X742

40

所以s=>/48a7,即cr=7,

因?yàn)閄~7V(74,72),且網(wǎng)X-〃歸2CT)=0.9545,

i_n9545

所以「(X460)=；=0.02275,

所以0.02275x1000=22.75?23,即估計(jì)顛球成績不超過60個(gè)的人數(shù)為23.

(2)設(shè)事件A表示“甲獲勝”，事件8表示“甲前2局獲勝”，甲獲勝有3:0,3:1,3:2三類,

對應(yīng)的概率分別為(|J,C；xlx^|J,C：x]Jx(|j,

所以P(A)=(|J+C招情3+叫『?埸

3

P(AB)=

所以「(/0A、)P=(A"B\=五13，

13

所以在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率為五.

21.定義min{a,)}表示a,中的較小者，已知函數(shù)〃x)=min{sinx,cosx}[xe嗚]}/(》)的圖

象與x軸圍成的圖形的內(nèi)接矩形PQRS中(如圖所示)，頂點(diǎn)尸(點(diǎn)尸位于點(diǎn)。左側(cè))的橫坐標(biāo)為x,

記g(x)為矩形PQRS的面積，

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，并寫出g(x)的解析式；

⑵(i)證明：不等式x<tanx(0<x<g)；

(ii)證明：g(x)存在極大值點(diǎn)與,且毛<弓.

O

【答案】(1)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(),：，單調(diào)遞減區(qū)間為，，,g(x)=[-2x卜nx,xe(o?

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正、余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到了(x)的解析式，從而求出/(x)的單調(diào)區(qū)間，設(shè)

P(x,sinx),則。6-x,sinx),即可表示出g(x)的解析式;

(2)(i)令皿x)=tanx-x,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；

(ii)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，貝hanxo=：TT-x。，在結(jié)合(i)的結(jié)論,

即可得證.

TT

【詳解】(1)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知當(dāng)。":時(shí)cosx/nx,

當(dāng)一一時(shí)sinx>cosx,

42

sinx,0<x<—

所以〃力=,4，顯然/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，：,單調(diào)遞減區(qū)間為

兀兀

cosx,—<x<—

42

點(diǎn)尸、。關(guān)于對稱,設(shè)P(x,sinx),Q《-x,sinx

則矩形PQRS的面積g(x)=(|-2x}inx,xefo,^.

(2)(i)令m(x)=tanx-x,九

則加(x)=-\1>0,

cos'x

故皿x)在(0馬上單調(diào)遞增，

故m(x)>〃?(0)=0,

tan.ox,即當(dāng)時(shí)xctanx.

(ii)因?yàn)間(x)=C_21sinx,

則，(力=-2$山工+('|'-2'卜°$*，=^?'(x)=-2sinx+^-2x^cosx,

則〃(力=-48$》-(|-2丫4山工<0,即g'(x)在(0,：)上單調(diào)遞減，

又g'(0)=、，=所以g'(x)在(。，￡|上存在唯一零點(diǎn)看,

當(dāng)0cx</時(shí)g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)Xo<x<：時(shí)g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)存在極大值點(diǎn)4,則2sinx()=6-2占卜0$/，即tan々L；-%,

由(i)的結(jié)論x<tan{0<x<：],則(一/>與，解得不<1.

22.已知函數(shù)f(x)=xlnx.

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若方程/(x)=2x-l的兩個(gè)解為4、x2,求證：%,+x,>2e.

【答案】(1)減區(qū)間為(0，!),增區(qū)間為g,+8),極小值為=無極大值;

⑵證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)果；

(2)設(shè)〃(x)=/(x)-2x+l,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)九(力的單調(diào)性與極值，分析可知0<占<6<々，要

證石+內(nèi)>2e,即證〃a)>〃(2erj,構(gòu)造函數(shù)p(x)=〃(x)-/z(2e-x),其中0<x<e,利用導(dǎo)數(shù)

分析函數(shù)P(x)在(0,e)上的單調(diào)性，證明出「(月