最速下降法求解線性代數(shù)方程組

姓名：學(xué)號：學(xué)院：班級：題目編號2013年10月13最速下降法求解線性代數(shù)方程組。最速下降法的數(shù)學(xué)理論從某個初始點(diǎn)出發(fā)，沿在點(diǎn)處的負(fù)梯度方向求得的極小值點(diǎn),即然后從出發(fā)，重復(fù)上面的過程得到。如此下去，得到序列{}可以證明，從任一初始點(diǎn)出發(fā)，用最速下降法所得到的序列{}均收斂于問題使最小化的解，也就是方程組的解。其收斂速度取決于，其中,分別為A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：給定初值，按如下方法決定：最速下降法的算法和流程圖算法:(1)任取x^(0)R^n，計算r^(0)=b–Ax^(0)(2)對k=0,1,2,...,計算a(k)=(r^(k),r^(k))/(A*r^(k),r^(k))x^(k+1)=x^(k)+a(k)*r^(k)r^(k+1)=b-A*x^(k+1)=r^(k)-a(k)*A*r^(k)假設(shè)(||r^(k+1)||/||r^(0)||)<E,那么輸出x*=x^(k+1),停止計算步驟：第1步選取初始點(diǎn)，給定終止誤差，令；第2步計算，假設(shè)，停止迭代.輸出.否那么進(jìn)行第三步；第3步取；第4步進(jìn)行一維搜索，求，使得令，，轉(zhuǎn)第2步。流程圖:開始開始三、最速下降法的Matlab實(shí)現(xiàn)function

x=fsxsteep(f,e,a,b)

%fsxsteep函數(shù)最速下降法%x=fsxsteep(f,e,a,b)為輸入函數(shù)f為函數(shù)e為允許誤差(a,b)為初始點(diǎn);

x1=a;x2=b;

Q=fsxhesse(f,x1,x2);

x0=[x1

x2]';

fx1=diff(f,'x1');

%對x1求偏導(dǎo)數(shù)fx2=diff(f,'x2');%對x2求偏導(dǎo)數(shù)梯度g1=subs(g);

%把符號變量轉(zhuǎn)為數(shù)值d=-g1;

while

(abs(norm(g1))>=e)

t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);

%求搜索方向x0=x0-t*g1;

%搜索到的點(diǎn)

v=x0;

a=[1

0]*x0;

b=[0

1]*x0;

x1=a;

x2=b;

g1=subs(g);

d=-g1;

end;x=v;

function

x=fsxhesse(f,a,b)

%fsxhesse函數(shù)求函數(shù)的hesse矩陣；%

本程序僅是簡單的求二次函數(shù)的hesse矩陣??；%x=fsxhesse(f)為輸入函數(shù)f為二次函數(shù)x1,x2為自變量；x1=a;x2=b;

fx=diff(f,'x1');

%求f對x1偏導(dǎo)數(shù)fy=diff(f,'x2');

%求f對x2偏導(dǎo)數(shù)fxx=diff(fx,'x1');%求二階偏導(dǎo)數(shù)對x1再對x1

fxy=diff(fx,'x2');

%求二階偏導(dǎo)數(shù)對x1再對x2

fyx=diff(fy,'x1');

%求二階偏導(dǎo)數(shù)對x2再對x1

fyy=diff(fy,'x2');

%求二階偏導(dǎo)數(shù)對x2再對x2

fxx=subs(fxx);

%將符號變量轉(zhuǎn)化為數(shù)值

fxy=subs(fxy);

fyx=subs(fyx);

fyy=subs(fyy);

x=[fxx,fxy;fyx,fyy];

%求hesse矩陣四、最速下降法的算例實(shí)現(xiàn)例:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件steel.m：function[R,n]=steel(x0,y0,eps)symsx;symsy;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;symskk;while(temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]>>[R,n]=steel(0,1,0.0001)R=