1.1.2等腰三角形的特殊性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)教案-北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第2課時(shí)等腰三角形的特殊性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)●復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.上節(jié)課我們已經(jīng)證明了等腰三角形的性質(zhì)，你能用幾何符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出這些性質(zhì)嗎？2．等腰三角形中除了“三線合一”之外，還有一些中線、高線、角平分線．請(qǐng)你在圖中畫(huà)出它們，觀察并比較它們的大小．【教學(xué)與建議】教學(xué)：學(xué)生畫(huà)圖再觀察、比較得出結(jié)論：等腰三角形兩底角平分線相等、兩腰上的中線相等、兩腰上的高線相等．建議：讓學(xué)生利用合情推理的方式得出結(jié)論．●情景導(dǎo)入我們欣賞下列兩個(gè)建筑物和交通標(biāo)志，如圖，圖中的三角形是什么樣的特殊三角形？這樣的三角形我們是怎樣定義的？有什么性質(zhì)？從圖中我們可以看到等腰三角形及等邊三角形，這一節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形的一些性質(zhì)，并學(xué)習(xí)等邊三角形的有關(guān)知識(shí)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)等腰三角形和等邊三角形，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，對(duì)新課的導(dǎo)入作好鋪墊．建議：先復(fù)習(xí)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，再理解等腰三角形的特殊性質(zhì)．◎命題角度1等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì)．【例1】如圖，AD是等邊三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么AB的長(zhǎng)是(B)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))【例2】如圖，已知直線l1∥l2，將等邊三角形如圖放置，若∠α＝40°，則∠β＝__20°__．【例3】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在AC，DG上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝__15°__．◎命題角度2等邊三角形與“手拉手”模型的綜合由于等邊三角形的邊角特性，當(dāng)出現(xiàn)“手拉手”模型時(shí)，要能聯(lián)想到等角轉(zhuǎn)換，進(jìn)而借助全等三角形的判定與性質(zhì)解決問(wèn)題．【例4】如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E，A在直線DC的同側(cè)，連接AE.求證：AE∥BC.證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△DBC≌△EAC.∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.◎命題角度3等腰三角形的高線不明確需分類討論當(dāng)?shù)妊切武J角與鈍角不明確時(shí)，需要討論高在三角形外部還是內(nèi)部，一般畫(huà)圖解決．【例5】在等腰三角形中，一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為_(kāi)_120°或60°__．【例6】已知△ABC的高AD，BE所在的直線交于點(diǎn)F，若BF＝AC，求∠ABC的度數(shù)．解：先證△BDF≌△ADC.當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖①，∠ABC＝45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖②，∠ABC＝135°.故∠ABC的度數(shù)為45°或135°.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．讓學(xué)生借助等腰三角形的軸對(duì)稱性探索等邊三角形的性質(zhì)定理．2．熟練應(yīng)用全等、等邊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．▲重點(diǎn)熟練推導(dǎo)等腰三角形中的相等線段，理解等邊三角形的性質(zhì)．▲難點(diǎn)靈活利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)已知：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各題：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝__∠C__．根據(jù)是__等邊對(duì)等角__；(2)若AD是△ABC的角平分線，BC＝8，則CD＝__4__．根據(jù)是__三線合一__；(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，則∠BAD＝__20°__；(4)若BD＝CD，則AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__.◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】等腰三角形中的相等線段1．大膽猜想，探究方法．問(wèn)題1：在等腰三角形中畫(huà)出一些線段(如角平分線、中線、高等)．你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？能證明你的結(jié)論嗎？證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE.方法一：證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等邊對(duì)等角)．∵BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).方法二：證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等邊對(duì)等角)．∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠3，∠ACB＝2∠4(角平分線性質(zhì))，∴∠3＝∠4(等式性質(zhì))．在△ABD和△ACE中，∵∠3＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．2．規(guī)范過(guò)程，鞏固所學(xué)．問(wèn)題2：等腰三角形兩腰上的中線相等嗎？高呢？證明它們，并與同伴交流．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的中線．求證：BD＝CE.證明：∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的中線，∴AD＝eq\f(1,2)AC，AE＝eq\f(1,2)AB，∴AD＝AE.在△ABD和△ACE中，∵AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．結(jié)論：等腰三角形兩腰上的中線相等、高線相等．3．思維發(fā)散，拓展延伸．在上圖的等腰三角形ABC中．(1)如果∠ABD＝eq\f(1,3)∠ABC，∠ACE＝eq\f(1,3)∠ACB，那么BD＝CE嗎？如果∠ABD＝eq\f(1,4)∠ABC，∠ACE＝eq\f(1,4)∠ACB呢？由此你能得到的一個(gè)結(jié)論是__BD＝CE__；(2)如果AD＝eq\f(1,3)AC，AE＝eq\f(1,3)AB，那么BD＝CE嗎？如果AD＝eq\f(1,4)AC，AE＝eq\f(1,4)AB呢？由此你得到的結(jié)論是__BD＝CE__；(3)為什么等腰三角形有這樣的特殊性質(zhì)？因?yàn)開(kāi)_等腰三角形是軸對(duì)稱圖形__．【歸納】等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，兩底角的平分線相等，兩腰上的中線、高線都相等．【探究2】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么性質(zhì)呢？已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC.求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對(duì)等角).又∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等邊對(duì)等角)，∴∠A＝∠B＝∠C.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.【歸納】定理：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.◆活動(dòng)3開(kāi)放訓(xùn)練應(yīng)用舉例【例1】如圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.【方法指導(dǎo)】利用等邊三角形的性質(zhì)定理證明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.【例2】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________.【方法指導(dǎo)】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.答案：15°◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù)．解：60°.2．如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數(shù)．解：120°.3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接CE.(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)若CE＝5，求BC的長(zhǎng)．解：(1)∠ECD＝36°；(2)BC＝5.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)【學(xué)生活動(dòng)】1．你這節(jié)課的主要收獲是什么？2．探索等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，我們運(yùn)用了哪些方法？【教