2024屆安徽省無為縣中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆安徽省無為縣中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某人用隨機(jī)模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.2.已知非零向量滿足,若夾角的余弦值為,且,則實數(shù)的值為()A. B. C.或 D.3.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.64.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.338.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.9.已知橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.10.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.11.下圖是我國第24~30屆奧運(yùn)獎牌數(shù)的回眸和中國代表團(tuán)獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.512.已知點、.若點在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點的個數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)的圖像上存在點,滿足約束條件,則實數(shù)的最大值為__________.14.已知,如果函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是____________15.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點,則曲線在點處的切線方程是____________.16.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點.(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知數(shù)列的各項都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項和.19.(12分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標(biāo)原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.20.(12分)已知不等式對于任意的恒成立.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實數(shù)a,b,c滿足.求證.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;22.(10分)已知函數(shù),,.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍;若存在實數(shù),當(dāng)時,函數(shù)在時取得最大值,求正實數(shù)的最大值;若直線與曲線和都相切,且在軸上的截距為,求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.2、D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零,結(jié)合以及夾角的余弦值,即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意,得,即.將代入可得,,解得(舍去).故選:D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,涉及由向量垂直求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.4、C【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.5、A【解析】

先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.6、B【解析】

化簡復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應(yīng)的點的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應(yīng)點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、C【解析】

,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.9、C【解析】

設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)點差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.12、C【解析】

設(shè)出點的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點共有三個.故選:C.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點B(2,1),當(dāng)直線過B點時,m取得最大值為1.點睛:線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯;三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.14、【解析】

首先把零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題,等價于有三個零點,兩側(cè)開方,可得,即有三個零點,再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點,即零點有,顯然,則有,可得,即有三個零點,不妨令,對于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,此時函數(shù)若有兩個零點,則有,綜上可知,若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)零點的零點,恰當(dāng)?shù)拈_方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點問題,注意恰有三個零點條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.15、【解析】

依題意,將點的坐標(biāo)代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點處切線的斜率,所以在點處的切線方程是,即.16、【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計算.注意驗證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時,滿足題意,時,,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,解題時要注意驗證方向相同這個條件,否則會出錯.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點,∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點,∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點睛】處理線面垂直問題時,需要學(xué)生對線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語言表示出來方才過關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學(xué)生的計算能力和空間想象力.18、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】

(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式;(Ⅱ),根據(jù)新定義和對數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項公式,并求前2020項和.【詳解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵數(shù)列的各項都為正數(shù),∴,即.∴數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴數(shù)列的前2020項的和為.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式和數(shù)列的前項和,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,計算能力,屬于中檔題型.19、(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對應(yīng)的橢圓的上頂點,即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù),結(jié)合橢圓的離心率的大小,求得相應(yīng)的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設(shè)出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo),進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo),將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結(jié)果.詳解:(Ⅰ)依題意得對:,,得:;同理:.(Ⅱ)設(shè)直線的斜率分別為,則MA:,與橢圓方程聯(lián)立得:,得,得,,所以同理可得.所以,從而可以求得因為,所以,不妨設(shè),所以當(dāng)最大時,,此時兩直線MA,MB斜率的比值.點睛:該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題,在解題的過程中,注意橢圓的對稱性,以及其特殊性,與y軸的交點即為橢圓的上頂點,結(jié)合橢圓焦點所在軸,得到相應(yīng)的參數(shù)的值,再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系,在研究直線與橢圓相交的問題時,首先設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,求得結(jié)果,注意從函數(shù)的角度研究問題.20、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)法一:,,得,則,由此可得答案;法二:由題意,令,易知是偶函數(shù),且時為增函數(shù),由此可得出答案;(2)由(1)知,,即,結(jié)合“1”的代換,利用基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】解:(1)法一:(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),又(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),由題意得,則,解得,故的取值范圍是;法二:因為對于任意恒有成立,即,令,易知是偶函數(shù),且時為增函數(shù),所以,即,則,解得,故的取值范圍是;(2)由(1)知,,即,∴,故不等式成立.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)

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