2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題27.9 相似章末題型過(guò)關(guān)卷（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列第27章相似章末題型過(guò)關(guān)卷【人教版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點(diǎn)C．AO:AA'=1:23．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：14．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長(zhǎng)度為10cm，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 5．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+77．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 8．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點(diǎn)F．EG∥BC，交AD于點(diǎn)G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．129．（3分）（2022·廣西·來(lái)賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若AMAN＝12，則13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba14．（3分）（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B15．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是__________；若ME//CD，則AM16．（3分）（2022·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC，BD交于原點(diǎn)O，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，若△PDE是等腰三角形，則點(diǎn)三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．18．（6分）（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代數(shù)式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，試按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；(2)如圖2，作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個(gè)與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A1B1C1的面積是平方單位．（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為．22．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽(yáng)光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽(yáng)光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測(cè)得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．第27章相似章末題型過(guò)關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【答案】D【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．無(wú)法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．2．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點(diǎn)C．AO:AA'=1:2【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A∴△ABC～△A'B'C'、點(diǎn)∴AO:AA即選項(xiàng)A、B、D說(shuō)法正確，選項(xiàng)C說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，DM=3，BC=3，∴DM=BC，而DM∥∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴C△ABE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長(zhǎng)度為10cm，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解．【詳解】∵AB=10，BP=x，∴AP=10-x，∵P點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)，∴APAB∴AP∴(10-x)2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識(shí)，依據(jù)APAB=BP5．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．【詳解】解：已知每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC為等腰三角形，則△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，對(duì)應(yīng)角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+7【答案】A【分析】判斷未知邊m、n是直角三角形的直角邊還是斜邊，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出m、n的值，最后根據(jù)題目中兩個(gè)三角形不相似，對(duì)應(yīng)邊的比值不同進(jìn)行判斷．【詳解】解：在第一個(gè)直接三角形中，若m是直角邊，則m=4若m是斜邊，則m=4在第二個(gè)直接三角形中，若n是直角邊，則n=8若n是斜邊，則n=8又因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7和n=27即當(dāng)m=5，n=27，m+n=5+2當(dāng)m=7，n=10，m+n=10+故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，在直角三角形中對(duì)未知邊是直角邊還是斜邊進(jìn)行不同情況的討論是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=AD【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于∵OE∥∴BEEF∵O是BD的中點(diǎn)，∴BO=OD，∴BE=EF，∵DF∥∴EFFC∴CF=2EF，∴BE:EC=BE:3BE=1:3，∵BE=1，∴EC=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過(guò)分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點(diǎn)F．EG∥BC，交AD于點(diǎn)G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【分析】首先根據(jù)GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵GE∥CD，∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，∴AGAD∴GEBD又∵BD=CD，∴GFDF∴DF=2GF=2，∴DG=DF+GF=3∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=2AD=12，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（3分）（2022·廣西·來(lái)賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】證明四邊形ABDE為平行四邊形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根據(jù)三角形中位線定理可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定可得△ABD為等邊三角形AB=BD，從而可判斷平行四邊形ABDE是菱形，由此判斷②；借助相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線有關(guān)的面積問(wèn)題可判斷③．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，∵CD=DE，∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，又∵OD=OB，∴OG是△BDA是中位線，∴OG=12故①正確；∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△BAD是等邊三角形，∴BD=AB，∴?ABDE是菱形，故②正確；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG∥AB，OG=12∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面積=14∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，∴S四邊形ODGF=S△ABF；故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．判斷①的關(guān)鍵是三角形中位線定理的運(yùn)用，②的關(guān)鍵是利用等邊三角形證明BD=AB；③的關(guān)鍵是通過(guò)相似得出面積之間的關(guān)系．10．（3分）（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OB，根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形相似求得BF，矩形的性質(zhì)得到OF，即可求解．【詳解】解：由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OB，如下圖：∵CD=AD=5，DE⊥AC∴CE=12由勾股定理得DE=∵AB//DC∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°又∵AC⊥BC∴∠ACB=∠CED=90°∴△DEC∽△BCA∴DEBC=解得BC=8，AB=10∵CF⊥OB∴∠ACB=∠BFC=90°∴△BCF∽△BAC∴BCAB=解得BF=6.4由題意可知四邊形OFCD為矩形，∴OF=CD=5OB=BF+OF=11.4故選A【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．【答案】7.5【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，∴ACCE=BDDF，即故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若AMAN＝12，則【答案】1【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出DEBC【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AMAN＝∴SΔADESΔABC＝(DEBC)故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba【答案】15-【分析】如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴EHFP∴4a5a+2b-(3b-2a)整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=15±576∵4a-2b＞0，∴ba∴ba=15-故答案為：15-57【點(diǎn)睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．14．（3分）（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B【答案】

（﹣1，12），

（﹣8116，【分析】先利用矩形的性質(zhì)寫出B點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可寫出矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；再利用以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系分別寫出B1、B2、B3、B4的坐標(biāo)，然后矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-1，12∵將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1∴B1（-3，32同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-∴矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（﹣8116，81故答案為（-1，12），（﹣8116，【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．15．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是__________；若ME//CD，則AM【答案】

5

2.5【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長(zhǎng)，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長(zhǎng)，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵M(jìn)E//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=103∴CF=103∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：103解得：AF=256設(shè)AM=ME=x，則MF=256-x∵M(jìn)E//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（256-x）：10解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問(wèn)題．16．（3分）（2022·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC，BD交于原點(diǎn)O，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，若△PDE是等腰三角形，則點(diǎn)【答案】-3,-1或3【分析】根據(jù)線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，易得OE=2，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，可得菱形的邊長(zhǎng)4，∠ADO=60°，然后分別從①當(dāng)PE=DE時(shí)，②當(dāng)DP=DE時(shí)，③當(dāng)【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)P1，連接OE∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3∴OE=E∴∠EOM=30°，

∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，∴EP1∥BD∴AP∴AM=OM，AP∴點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P1是線段AB∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，AO=2MO=23，AO=CO=2∴EP1∴EP∴P1-②過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD于N，延長(zhǎng)EN交CD于點(diǎn)P3∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC⊥BD∴EP∴DP∴DN=ON，DP∴點(diǎn)N是線段DO的中點(diǎn)，點(diǎn)P3是線段CD由①知：CO=23，CD=4∴NP3=12∴DE=DP3∴P3③過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AD于G，延長(zhǎng)GO交BC于點(diǎn)P2，連接EP2由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°-30°=60°，∴△EDO是等邊三角形，∴點(diǎn)G是線段DE的中點(diǎn)，∴OG是DE的垂直平分線，∴P2∵E-3,1∴D0,2，∴G-根據(jù)題意，菱形ABCD關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，∴P2綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是-3,-1或3,1【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．掌握菱形的性質(zhì)及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點(diǎn)即可；（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點(diǎn)F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡(jiǎn)得到a=b+1；②∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法．18．（6分）（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代數(shù)式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15【分析】（1）設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代數(shù)式3a-b+c（2）把a(bǔ)、b、c的值代入，求出即可．【詳解】∵a:b:c=2:3:5∴設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)（1）3a-b+c2a+3b-c（2）∵3a-b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，試按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；(2)如圖2，作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個(gè)與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】（1）分別確定A，B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，從而可得答案；（2）確定線段AB，AC關(guān)于直線BC對(duì)稱的線段即可；（3）分別計(jì)算△ABC的三邊長(zhǎng)度，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例確定△DEF的三邊長(zhǎng)度，再畫出△DEF即可．（1）解：如圖，線段CD即為所求作的線段，（2）如圖，四邊形ABDC是所求作的軸對(duì)稱圖形，（3）如圖，如圖，△DEF即為所求作的三角形，由勾股定理可得：AB=12+同理：DF=22+∴AB∴△ABC∽△DFE.【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的作圖，軸對(duì)稱的作圖，相似三角形的作圖，掌握平移軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

【答案】（1）S△CEFS【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=1（2）由AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵CEEB∴CEBC=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴EFDF=CE∴EFDF=CEBC=∴S△CEFS△CDF（2）∵AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=12【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A1B1C1的面積是平方單位．（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為．【答案】（1）見解析；（2）28；（3）（2a，2b）．【分析】（1）連接OB，延長(zhǎng)OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，連接A1C1，B1C1，A1B1即可．（2）兩條分割法求出三角形的面積即可．（3）利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：（1）△A1B1C1即為所求．（2）△A1B1C1的面積＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣故答案為：28．（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（2a，2b），故答案為：（2a，2b）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——位似變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．22．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）2；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，由上面兩個(gè)圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=2x，∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，∴DFAD故答案為：2．（2）由（1）知：A5紙長(zhǎng)邊為A4紙短邊，長(zhǎng)為（2+1）x，A5紙短邊長(zhǎng)為（2+22）∴對(duì)A5紙，長(zhǎng)邊：短邊=2∴A4紙與A5紙相似．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．23．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽(yáng)光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽(yáng)光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測(cè)得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．【答案】4m【分析】首先根據(jù)DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后證明AB=BE，再證明△ABF∽△COF，可得ABBF【詳解】解：延長(zhǎng)OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，設(shè)AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF∴x解得：x=4．經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的解．答：圍墻AB的高度是4m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是求出AB=BE，根據(jù)相似三角形的判定方法證明△ABF∽△COF．專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 1【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 4【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】 5【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 6【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 7【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 8【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 8【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 9【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-1】（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【變式2-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【變式2-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【變式3-3】（2022·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】【例4】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長(zhǎng)為（

）A．3 B．22+2 C．4 【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．32 B．332 C．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說(shuō)法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【變式5-2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長(zhǎng)為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)3tan(2)cos2【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值是______．

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】【例7】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【變式7-1】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知sinα?cosα=18【變式7-2】（2022·福建莆田·一模）求證：若α為銳角，則sin2α+cos2α＝1．要求：①如圖，銳角α和線段m用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角的Rt△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題．【變式7-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知sinα，cosα為方程x2【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】【例8】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【變式8-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）若α為銳角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【變式8-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【變式8-3】（2022·福建·龍海二中九年級(jí)階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：tantantantantan根據(jù)以上，李華猜想：對(duì)于任意銳角α，均有tan（1）當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證tanα?（2）李華的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項(xiàng)系數(shù)的值）其實(shí)就是該一次函數(shù)圖像與x軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例9】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）三角函數(shù)sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【變式9-1】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC是銳角三角形，若AB>AC，則（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【變式9-2】（2022·四川·西昌市俊波學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【變式9-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯子地面的夾角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列敘述正確的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的長(zhǎng)度決定傾斜程度D．梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值無(wú)關(guān)【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例10】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝15，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．【變式10-1】（2022·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點(diǎn)B0(?2,0)，點(diǎn)B1，B2，B3，B4…都在【變式10-2】（2022·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖1，分別以ΔABC的AB、AC為斜邊間外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接DG、BF．（1）求證：ΔADG∽ΔABF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如圖3，以ΔABC的BC邊為斜邊問(wèn)外作等腰直角三角形BCE，連接EG，試探究線段DG、EG的關(guān)系，并加以證明．【變式10-3】（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校一模）（1）【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）【拓展探究】如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，試猜想AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，CE＝CF，P為AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），D為射線EF上一點(diǎn)，當(dāng)△CDP為等腰直角三角形時(shí)．①tan∠EFC＝．②求出BP的長(zhǎng)度．專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 2【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 5【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 9【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】 14【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 20【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 24【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 27【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 30【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 33【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 35【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)關(guān)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進(jìn)行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·tanA＝ab，則b＝acosB＝ac，則a＝ccosB故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【分析】（1）根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行即可作出；（2）根據(jù)正切值的定義即可作出△ABD．（1）解：作圖如下：根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的對(duì)邊互相平行可知，AD∥BC，由BC平移可以得到AD，∵點(diǎn)B向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，得到點(diǎn)A，∴點(diǎn)C向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，即可得到點(diǎn)D．（2）△ABD如下圖，BE=3，DE=4，∠BED=90°，tan∠ADB=【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中作圖，需要熟練掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，正切值的定義．【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，進(jìn)而得CF=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF=AD=5，EF=DE，∵在Rt△ABF中，BF=A∴CF=BC?BF=5?4=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，∵在Rt△ECF中，CE∴x2+1∴EF=3?x=5∴sin∠EFC=故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【答案】B【分析】在直角三角形ADE中，cosA=【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴cosA=∴35∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝AD2?AE∴tan∠DBE＝DEBE故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【答案】B【分析】如圖所示，連接AD，由D為BC中點(diǎn)得出BD=DC=4，AD⊥BC，從而根據(jù)勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD【詳解】如圖所示，連接AD，∵AB=AC=6，BC=8，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=DC=4，∴AD=A∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴cos故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)等量代換得出∠BDE=∠BAD，進(jìn)而得出答案．【變式2-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】連接EF，求證△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+【詳解】解：連接EF，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，∴DE∵AB=5，∴BE=AB-AE=3，∵CF=1，∴BF=BC-CF=2，在在Rt△EBF中，∴EF∴EF=DE在Rt△CDF中，∴DF∵26=13+13，即：DF∴∠DEF=90°，∴∠EDF=∠DFE=45°，∴∠1+∴sin∠1+∠2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、正弦函數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明出△DEF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【答案】A【分析】過(guò)C作CM∥AB，過(guò)D作DN⊥MC于N，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴CN=2∴tan∠DCN＝DNCN＝3∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正切函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長(zhǎng)，利用正切的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵BDAD∴BD又∵AB=3，BC=1∴BE=14，CE=∵Rt△BDE∴DE=∵BC=1∴CE=BC?BE=∴tan故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn)．【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【答案】7【分析】如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，設(shè)FH=EH=y，根據(jù)勾股定理可得x2?y2=(x+42【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x，∵CF=CE，CH⊥EF，∴FH=EH，設(shè)FH=EH=y，則有x整理得2x+3y=14∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，∴∠FED=∠ECA，∴△EFD∽△CEA，∴DFAE∴4212?2y=由①②可得x=42，y=2，∴CH=x∴tan∠CEF=故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、求正切、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題【變式3-3】（2022·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)DM＝a，則CM＝2a，然后證明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，進(jìn)而可得AC＝2a，CB＝【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12∴tan∠DCM＝DMCM＝1設(shè)DM＝a，則CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴ABBD＝ACDM＝CBBM∴AC＝2DM＝2a，∴CB=∴ACBC＝2a4故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】【例4】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長(zhǎng)為（

）A．3 B．22+2 C．4 【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，根據(jù)等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根據(jù)BD為△ABC的角平分線，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，運(yùn)用∠C的正弦即可求得．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，∴∠C=（180°-∠A）=45°，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=AD=x-2，∵sinC=∴x?22∴x=2+2，即故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義和45°的正弦值，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．32 B．332 C．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質(zhì)求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質(zhì)得出BG【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠MGN＝90°，∴四邊形GMCN為矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23∴CN＝CD?sin60°＝23∴MG＝3，∵四邊形BEFG為矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴BGBC∴42∴BE＝32故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【答案】41【分析】取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用求解即可解答．【詳解】解：取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠DAC，在△ABD和△AB=∴△ABD?△∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，∴∠DHC=∠BAC，∴tan∠DHC又∵AD⊥∴DCHD∴HD=∴AD=HC=2+34∵HD∴34解得：DC=4，∴AD=5，∴AC=【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE【答案】(1)見解析(2)7.2【分析】（1）通過(guò)三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)CE∥BD證明內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到CE=BD，從而證明四邊形（2）先連接CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出BF的長(zhǎng)度，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出BH的長(zhǎng)度，從而求出BE的長(zhǎng)度．(1)解：∵△ABC≌△ABD∴∠ABC=∠ABD，CB=BD∵CE∴∠CEB=∠ABD∴∠CEB=∠ABC∴CE=BC∴CE=BD∵CE=BD，CE∴四邊形BCED為平行四邊形∵CB=BD∴四邊形BCED為菱形(2)解：連接CD交AB與點(diǎn)H，如圖所示∵四邊形BCED為菱形∴BH=EH，BE⊥CD∴∠CHB=90°∵GF⊥BC∴∠GFB=90°∵BG=5，cos∴BF∴BF=3∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)∴BC=6∵cos∴BH=3.6∴EH=3.6∴BE=7.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說(shuō)法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分線性質(zhì)得到AB=AC；②因?yàn)锽C=2AC根據(jù)直角三角形特殊三角函數(shù)值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根據(jù)三角形中的特殊角的角邊關(guān)系即可確定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中線上，根據(jù)等腰三角形三線合一可確定【詳解】①因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以S△ABD=S△ACD,又因?yàn)锳D平分∠BAC，則點(diǎn)D到線段AB、②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B的正弦值為12，則∠B=30°③若∠B=30°，且BC=2AC，過(guò)點(diǎn)C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則∠BAC=90°，故③正確；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根據(jù)三線合一，AD為BC邊中線，則△ABC的重心在AD上．故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，特殊角三角行的角邊關(guān)系，熟練掌握三角形的角平分線性質(zhì)，中線性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形角邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【答案】90【分析】用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】∵sinB?∴sinB?12sinB=12∠B=30°，∠A=60°，∠C=180-（∠A+∠B）=90°．故答案為90．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長(zhǎng)為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，∵菱形的周長(zhǎng)為82∴AB=22在RtΔABH中，sinB=∴∠B=45°，∵AB//CD，∴∠C=135°，∴∠C:∠B=3:1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【答案】

30

2【分析】過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)P(t,?33t+3)，由三角形相似可得MQ【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，∵動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，∴設(shè)P(t,?3∴PM=?33t+∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90°，∠BOP=∠OQP，∴∠POM=∠QPM，∵∠OMP=∠PMQ=90°，∴△OPM∽△PQM，∴PM∴MQ=P設(shè)OQ=m，∵OQ=OM+MQ，∴m=t+(?整理得：4t∴Δ整理可得：m2設(shè)y=m則其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(?6,0),(2,0)，∵a=1＞∴當(dāng)y=m2+4m?12≥0時(shí)