2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題39 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練(解析版)

專題39棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積題型一棱柱的表面積【例1】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題知側(cè)面積為，兩底面積之和為，所以表面積.【變式1-1】長方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側(cè)棱的截面（對角面）的面積為10，則此長方體的側(cè)面積為()A．12B．24C．28D．32【答案】C【解析】設(shè)長方體底面矩形的長與寬分別為，則，又由題意知，解得或.故長方體的側(cè)面積為.【變式1-2】已知一個底面是菱形的直棱柱的側(cè)棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是（）A．B．C．D．135【答案】A【解析】由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為，則這個直棱柱的側(cè)面積為..【變式1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這個正四棱柱的表面積為()A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長為．所以表面積為：．【變式1-4】（多選題）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（）A．長方體的表面積為20B．長方體的體積為6C．沿長方體的表面從A到的最短距離為D．沿長方體的表面從A到的最短距離為【答案】BC【解析】長方體的表面積為，A錯誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面和側(cè)面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時的最短距離是；如圖（3）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是；如圖（4）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是.因?yàn)?，所以沿長方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確.題型二棱錐的表面積【例2】已知正四棱錐的底面邊長是，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，在正四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，則為直角三角形，所以，所以表面積.【變式2-1】棱長為的正四面體的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為.【變式2-2】正三棱錐底面邊長為，高為，則此正三棱錐的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽?，其重心到頂點(diǎn)距離為，且棱錐高，所以利用直角三角形勾股定理可得側(cè)棱長為，斜高為，所以側(cè)面積為.選A.【變式2-3】如圖，已知正三棱錐SABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．【答案】27eq\r(3).【解析】如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).題型三棱臺的表面積【例3】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為和，側(cè)棱長為，則該棱臺的側(cè)面積為（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上下底邊長為和，腰長為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺的側(cè)面積為：.【變式3-1】已知一個正四棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2，其側(cè)面積恰好等于兩底面面積之和，則該正四棱臺的高為.

【答案】2【解析】設(shè)正四棱臺的高、斜高分別為h、h'.由題意得，4×12×(1+2)×h'=12+22，解得h'=5根據(jù)棱臺的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，可得h2+1?122=5【變式3-2】若正三棱臺上、下底面邊長分別是和，棱臺的高為，則此正三棱臺的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，分別為上、下底面的中心，分別是，的中點(diǎn)，過作于點(diǎn)E.在直角梯形中，，，.在中，，則..【變式3-3】已知正五棱臺的上、下底面邊長分別為4cm和6cm，側(cè)棱長為5cm，則它的側(cè)面積為________cm2.【答案】50eq\r(6)【解析】側(cè)面等腰梯形的高為eq\r(52－1)＝2eq\r(6)(cm)，所以側(cè)面積S＝5×eq\f(4＋6×2\r(6),2)＝50eq\r(6)(cm2)．題型四棱柱的體積【例4】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（）B．1C．D．【答案】A【解析】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是.【變式4-1】已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．【答案】eq\r(6)【解析】設(shè)長方體從一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，ac＝\r(3)，bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).【變式4-2】如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1上靠近C1的三等分點(diǎn)，且三棱錐A1-AEF的體積為2，則四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為()A．12B．8C．20D．18【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離為h，由題意得VA1-AEF＝VF-A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)·S四邊形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)VABCD-A1B1C1D1，所以VABCD-A1B1C1D1＝6VA1-AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選A.【變式4-3】正方體的全面積為18cm2，則它的體積是_________【答案】【解析】設(shè)該正方體的棱長為acm，由題意可得，，解得，所以該正方體的體積為.題型五棱錐的體積【例5】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：.【變式5-1】正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A．B．C．D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積.【變式5-2】已知棱長均為4，底面為正方形的四棱錐如圖所示，求它的體積.【答案】【解析】如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗睦忮F的棱長均為4，所以平面ABCD，即SO為四棱錐的高，所以，所以，所以.【變式5-3】如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.題型六棱臺的體積【例6】正三棱臺ABC-A1B1C1中，O1，O分別是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心，已知A1B1=O1O=3，AB=23.求正三棱臺ABC-A1B1C1的體積;【答案】21【解析】由題意得，正三棱臺ABC-A1B1C1的上底面面積為34×(3)下底面面積為34×(23)所以正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為13×334+3【變式6-1】我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載:“今有方錐，下廣二丈，高三丈.欲斬末為方亭，令上方六尺.問:斬高幾何?”大致意思是:有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少?如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積，則該正四棱臺的體積是(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺【答案】B【解析】如圖所示，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2丈，即AB=20尺，高3丈，即SO=30尺.截去一段后，得正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，且上底面邊長A1B1=6尺，∴30?OO130=∴該正四棱臺的體積是13×21×(202+20×6+62【變式6-2】如圖所示，已知三棱臺ABC-A1B1C1的體積為V，AB=2A1B1，截去三棱錐A1-ABC后，剩余部分的體積為()A.14VB.23VC.37【答案】C【解析】設(shè)三棱臺的高為h，上底面A1B1C1的面積為S上，下底面ABC的面積為S下.因?yàn)锳B=2A1B1，所以S下=4S上，所以三棱臺的體積V=13(S上+S下+S上S下)h=13