2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題47 平面與平面垂直-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題47平面與平面垂直題型一面面垂直的判定與性質(zhì)【例1】設(shè)有直線m、n和平面α、β，則下列命題中正確的是()A．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β【答案】B【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥β,m∥n))?m⊥β)),,,m?α))?α⊥β，∴B正確．【變式1-1】已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列四個命題：①α∥β，l?β?l⊥m②α⊥β?l∥m③l∥m?α⊥β④l⊥m?α∥β其中正確的兩個命題是()A．①②B．③④C．②④D．①③【答案】D【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,α∥β))?l⊥β)),,,m?β))?l⊥m，故①對；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊥α))?l∥β或l?β，又m是β內(nèi)的一條直線，故l∥m不對；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m?β))?l∥β或l?β)),,,l⊥α))?α⊥β，∴③對；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊥m))?m?α或m∥α，無論哪種情況與m?β結(jié)合都不能得出α∥β，∴選D．【變式1-2】若有直線m、n和平面α、β，下列四個命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α【答案】D【解析】如圖（1），β∥α，m?β，n?β，有m∥α，n∥α，但m與n可以相交，故A錯；如圖（2），m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B錯；如圖(3)，α⊥β，α∩β＝l，m?α，m∥l，故C錯．故選D．【變式1-3】經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有________個．【答案】1個或無數(shù)【解析】設(shè)平面外的點為A，平面內(nèi)的點為B，過點A作平面α的垂線l.若點B恰為垂足，則所有過AB的平面均與α垂直，此時有無數(shù)個平面與α垂直；若點B不是垂足，則l與點B確定惟一平面β滿足α⊥β.【變式1-4】平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是_．【答案】平行【解析】由題意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.【變式1-5】如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則圖中互相垂直的平面有()A．2對B．4對C．3對D．5對【答案】C【解析】∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC．又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.題型二面面垂直的證明證明面面垂直常用的方法：1、定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；2、判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直；3、性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．【例2】如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點．求證：平面PAC⊥平面BDD1【解析】∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.【變式2-1】如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.【解析】法一：(利用定義證明)因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因為△SBC為直角三角形，所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，所以AD⊥平面SBC.又因為AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.【變式2-2】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點．求證：平面EDB⊥平面ABCD.【解析】設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO?平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.【變式2-3】如圖：三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.【證明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.【變式2-4】如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.【解析】因為BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.題型三面面垂直性質(zhì)定理應(yīng)用【例3】已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.【變式3-1】已知三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．（1）求證：AB⊥BC；（2）若AB＝BC，過點A作AF⊥PB于點F，連接CF，求證：平面PBD⊥平面AFC．【解析】（1）如圖所示：（1）取AC的中點D，連接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D為垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC為△ABC的外接圓的直徑，故AB⊥BC．（2）∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB?平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC．【變式3-2】如圖，在三棱錐中，，，平面平面，點，（與，不重合）分別在棱，上，且.（1）證明：平面.（2）證明：【解析】（1）在平面內(nèi)，因為，，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因為平面，所以.又，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.【變式3-3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求證：AD⊥平面PCD.【解析】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.【變式3-4】如圖所示，所在的平面與長方形所在的平面垂直．（1）求證：平面；（2）求證：．【解析】（1）因四邊形是長方形，則，而平面，平面，所以平面.（2）長方形中，則，平面平面，平面PDC平面，平面，則有平面，又平面，所以.【變式3-5】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面平面SBC，，M是BC的中點，，.（1）求證：.（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）因為平面平面SBC，，，M是BC的中點，所以，所以，而，所以，在矩形ABCD中，M是BC的中點，，，所以，所以，而，，所以，而，所以；（2）因為平面平面SBC，，，M是BC的中點，所以，所以，即為四棱錐的高，因為，，所以，所以四棱錐的體積為.故四棱錐的體積為.題型四二面角的求解【例4】如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°【答案】C【解析】由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．【變式4-1】在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝eq\f(1,2)AB，這時二面角B-AD-C的大小為()A．60°B．90°C．45°D．120°【答案】A【解析】∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，設(shè)正三角形ABC的邊長為m，則折疊后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.【變