2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題89 離散型隨機(jī)變量及其分布列（原卷版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題89離散型隨機(jī)變量及其分布列題型一隨機(jī)變量的概念例1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）一個(gè)袋中有4個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，則隨機(jī)變量可能為（

）A．所取球的個(gè)數(shù)B．其中含紅球的個(gè)數(shù)C．所取白球與紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生，隨機(jī)變量取哪一個(gè)值．例2．（2022·河南南陽(yáng)·高二期末（理））從裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中任取2個(gè)小球，下列可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至多取到1個(gè)黑球 B．至少取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù)題型二離散型隨機(jī)變量的判斷例3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列X是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X；②在一段時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④規(guī)律方法判斷離散型隨機(jī)變量的方法(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．例4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量；②一個(gè)沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η是一個(gè)隨機(jī)變量；③某無(wú)線尋呼臺(tái)1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量；④1天內(nèi)的溫度η是一個(gè)隨機(jī)變量.其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列各量：①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量；②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某同學(xué)離開(kāi)自己學(xué)校的距離；④將要舉行的繪畫(huà)比賽中某同學(xué)獲得的名次；⑤體積為8的正方體的棱長(zhǎng).其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④題型三用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．10C．7 D．6規(guī)律方法解答用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)注意點(diǎn)：解答過(guò)程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若實(shí)數(shù)x∈R，記隨機(jī)變量ξ＝，則不等式≥1的解集所對(duì)應(yīng)的ξ的值為（

）A．1 B．0C．－1 D．1或0例8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開(kāi)鎖，依次試驗(yàn)，打不開(kāi)的扔掉，直到找到能開(kāi)鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為（

）A．6 B．5 C．4 D．2題型四求離散型隨機(jī)變量的分布列例9．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)挑選5名隊(duì)員參加比賽，設(shè)X表示其中種子選手人數(shù)，求X的分布列．規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟(1)首先確定隨機(jī)變量X的取值；(2)求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率；(3)列表對(duì)應(yīng)，即為分布列．例10．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）將個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào).現(xiàn)從中任取個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.題型五分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用例11．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)通過(guò)性質(zhì)建立關(guān)系，求得參數(shù)的取值或范圍，進(jìn)一步求出概率，得出分布列．(2)求對(duì)立事件的概率或判斷某概率是否成立．例12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的概率分布為，則實(shí)數(shù)______．例13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則___________.題型六兩點(diǎn)分布例14．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若，則______．規(guī)律方法兩點(diǎn)分布的4個(gè)特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩結(jié)果是對(duì)立的；(2)兩點(diǎn)分布中的兩結(jié)果一個(gè)對(duì)應(yīng)1，另一個(gè)對(duì)應(yīng)0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)中，如果我們只關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，就可以利用兩點(diǎn)分布來(lái)研究它．例15．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）將10個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，其中6個(gè)白球，4個(gè)紅球．現(xiàn)從袋中任取一個(gè)球，用X表示“取到白球”，即X=1,當(dāng)取到白球時(shí)例16．（2020·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））武漢市掀起了轟轟烈烈的“十日大會(huì)戰(zhàn)”，要在10天之內(nèi)，對(duì)武漢市民做一次全員檢測(cè)，徹底摸清武漢市的詳細(xì)情況.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方案①：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次)；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)這樣，該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次檢驗(yàn)中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.（1）設(shè)方案②中，某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè).試比較方案②中，分別取2,3,4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以減少多少次？(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)B．隨機(jī)變量與區(qū)間一一對(duì)應(yīng)C．隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)D．隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差，則X的所有可能取值為（

）A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)5盞信號(hào)燈，Y表示汽車首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，則表示“遇到第5盞信號(hào)燈時(shí)首次停下”的事件是（

）A．Y＝5 B．Y＝4C．Y＝3 D．Y＝24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知集合，，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則為（

）A． B． C． D．46．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高二期末）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）X012P0.080.140.78X012P0.060.240.56X012P0.060.560.38X012P0.060.380.56ABCDA．A B．B C．C D．D7．（2022·安徽亳州·高二期末）若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（

）A．4 B．6 C．9 D．108．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)．現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）逐份檢測(cè)：（2）混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.110．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示.ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)的值與公差d的取值范圍分別是（

）A． B．C． D．11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．共有24對(duì)相交棱 B．C． D．12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·山東·日照青山學(xué)校高二期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則a＝______.X123P0.2a0.514．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量的所有可能取值是－2，0，3，5，且，，，則______________．15．（2022·廣東中山·高二期末）在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象，一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅(此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅)，只好把籠子打開(kāi)一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)，則___________.16．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）郵局工作人員整理郵件，從一個(gè)信箱中任取一封信，記一封信的質(zhì)量為(單位：克)，如果,，那么等于_________.四、解答題17．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)高二階段練習(xí)）(1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機(jī)變量試寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列(用表格格式);(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)也是偶數(shù)的概率．18．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量的取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)將10個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào)1~10，現(xiàn)從袋中任取1個(gè)球，被取出的球的編號(hào)為X；(2)將15個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，其中10個(gè)紅球，5個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X；(3)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X.19．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，現(xiàn)在從中任取10件檢查，求取到次品件數(shù)X的分布列（精確到0.00001）．20．（2022·山東濰坊·一模）根據(jù)國(guó)家部署，2022年中國(guó)空間站“天宮”將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長(zhǎng)期有人照料的國(guó)家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開(kāi)展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門組織了空間站建造過(guò)程3D模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽(yáng)能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫(xiě)程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評(píng)委測(cè)試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫(xiě)程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列，并判斷甲和乙誰(shuí)闖關(guān)成功的可能性更大.21．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知某種從太空飛船中帶回來(lái)的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分兩個(gè)小組分別獨(dú)立開(kāi)展該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，如果某次沒(méi)有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．(1)第一小組做了3次試驗(yàn)，記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)第二小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率．22．（2020·安徽·二模（理））某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在