2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）專題02 整式與因式分解【十大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題02整式與因式分解【十大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式】 3【題型2求代數(shù)式的值】 3【題型3整式的加減與冪的運(yùn)算】 4【題型4整式的乘除】 4【題型5乘法公式的應(yīng)用】 4【題型6整式的化簡(jiǎn)求值】 5【題型7提公因式法分解因式】 5【題型8運(yùn)用公式法分解因式】 6【題型9數(shù)式規(guī)律探究】 6【題型10數(shù)式中的新定義問(wèn)題探究】 7【知識(shí)點(diǎn)整式與因式分解】1.定義(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。(2)單項(xiàng)式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示；一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。(3)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。(4)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。(5)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。2.整式的運(yùn)算(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。去括號(hào)法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。即括號(hào)外的因數(shù)的符號(hào)決定了括號(hào)內(nèi)的符號(hào)是否改變：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。(2)整式的乘除運(yùn)算①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。⑤單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。⑥多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。⑦同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。⑧單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。⑨多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。注：以上公式及法則在分式和二次根式的運(yùn)算中同樣適用。(3)添括號(hào)法則同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。即括號(hào)前的符號(hào)決定了括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)是否改變：如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。3.因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。以上公式都可以用來(lái)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止?！绢}型1實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式】【例1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿校園”的讀書(shū)活動(dòng)．現(xiàn)需購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種讀本x本，則購(gòu)買(mǎi)乙種讀本的費(fèi)用為（

）A．8x元 B．10(100-x)元 C．8(100-x)【變式1-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開(kāi)始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）【變式1-2】（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫(xiě)的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則m=1674【變式1-3】（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長(zhǎng)為a米（a>6）的正方形土地租給租戶張老漢．第二年，他對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺(jué)得張老漢的租地面積會(huì)（

A．沒(méi)有變化 B．變大了 C．變小了 D．無(wú)法確定【題型2求代數(shù)式的值】【規(guī)律方法】求代數(shù)式的一般方法：已知字母或代數(shù)式的值，直接代入數(shù)式求解。已知幾個(gè)字母之間的關(guān)系，將代數(shù)式配湊成關(guān)于那幾個(gè)字母之間的關(guān)系的式子，再整體代換。當(dāng)字母的取值不明確時(shí)，需將字母的值化簡(jiǎn)或求解出來(lái)，再代入代數(shù)式解題?！纠?】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若a2-4a-A．24 B．20 C．18 D．16【變式2-1】（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿足3m-n-【變式2-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b=6，ab=7，則【變式2-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)m滿足m2-m-【題型3整式的加減與冪的運(yùn)算】【例3】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列各式中，計(jì)算結(jié)果等于a2的是（

A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)5÷【變式3-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若x，y均為實(shí)數(shù)，43x=2021，47y=2021，則43xy?【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上3xy+2y2-【變式3-3】（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)a+b=3時(shí)，代數(shù)式2(a【題型4整式的乘除】【例4】（2023·臺(tái)灣·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算2xA．-7x+4 B．-7x-【變式4-1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算(x【變式4-2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）已知長(zhǎng)方形的面積為18x3y4+9xA．2x2yC．2x2y【變式4-3】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若x+4x-2=x2A．2，-8 B．-2，-8 C．-2，8 D【題型5乘法公式的應(yīng)用】【例5】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2-10A．3 B．23 C．14 D．【變式5-1】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知y2-my+1是完全平方式，則【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)m滿足m-20232+【變式5-3】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長(zhǎng)作正方形，已知

（1）若a=3,b=4，則圖1（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【題型6整式的化簡(jiǎn)求值】【例6】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2-a2+a【變式6-1】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=．【變式6-2】（2023·北京·中考真題）已知x2-4【變式6-3】（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：(a-2b)【題型7提公因式法分解因式】【規(guī)律方法】確定公因式的方法：若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)作為公因式的系數(shù)。取各項(xiàng)相同的字母（或多項(xiàng)式因式）作為公因式的字母（或多項(xiàng)式因式），相同字母（或多項(xiàng)式因式）取最低次冪?！纠?】（2023·湖南·中考真題）因式分解：x2+x=．【變式7-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）2a2與4ab【變式7-2】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）因式分解：xy-【變式7-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）因式分解：x2+【題型8運(yùn)用公式法分解因式】【規(guī)律方法】因式分解的三個(gè)步驟：先看有無(wú)公因式，有公因式的先提取公因式。提公因式后再看多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)①若多項(xiàng)式為兩項(xiàng)，則考慮用平方差公式因式分解；②若多項(xiàng)式為三項(xiàng)，則考慮用完全平方公式因式分解；③若多項(xiàng)式有四項(xiàng)或四項(xiàng)以上，則考慮綜合運(yùn)用上面的方法；（3）若上面方法都不能分解，則考慮把多項(xiàng)式重新整理、變形，再按上面步驟進(jìn)行因式分解?！纠?】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列因式分解正確的是（

）A．2a2-C．4a2-【變式8-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）分解因式：4+4m+【變式8-2】（2023江蘇南京·統(tǒng)考中考模擬）因式分解：xx-2【變式8-3】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）若k為任意整數(shù)，則(2k+3)2A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【題型9數(shù)式規(guī)律探究】【規(guī)律方法】以規(guī)律探索為背景，經(jīng)過(guò)邏輯推理求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求具有更高的抽象思維能力和推理能力，對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性要求更高。【例9】（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n-第2次操作后得到整式串m，n，n-m，第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是（

）A．m+n B．m C．n-【變式9-1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫(xiě)下的《詳解九章算法》，書(shū)中記載的圖表給出了(a1

(1

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3

3

1

(當(dāng)代數(shù)式x4-12x3+54xA．2 B．-4 C．2或4 D．2或【變式9-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：32-12=8×1，52-(1)嘗試：132-(2)歸納：2n+12-2n(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說(shuō)明你歸納的結(jié)論是正確的．【變式9-3】（2023·甘肅·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23-2；2+22+23=2A．2S2-S B．2S2【題型10數(shù)式中的新定義問(wèn)題探究】【例10】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m-n>1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52-32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2【變式10-1】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，a※b=xa【變式10-2】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）定義：形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（其中a和b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，規(guī)定i2=-1），a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部．復(fù)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)復(fù)數(shù)．例如(1+3i)2=12+2×1×3A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5【變式10-3】（2