2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）專題03 分式【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題03分式【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分式有、無意義的條件】 2【題型2分式的值為0的條件】 2【題型3分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用】 3【題型4分式的運(yùn)算】 3【題型5分式的化簡(jiǎn)求值】 4【題型6分式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 4【題型7分式中的規(guī)律探究】 5【題型8與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題探究】 6【知識(shí)點(diǎn)分式】1.分式的定義一般地，如果A.B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子AB注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。；（C≠0）。3.分式的約分和通分定義1：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。定義3：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定義4：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母。4.分式的乘除①乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。②除法法則：。分式除以分式，把除式的分子.分母顛倒位置后，與被除式相乘。③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分別乘方。④整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：。5.分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。①同分母分式的加減：；②異分母分式的加法：。注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解?！绢}型1分式有、無意義的條件】【例1】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式1x-2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≤2 B．x>2 C．x≥2【變式1-1】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）若x=-1使某個(gè)分式無意義，則這個(gè)分式可以是（

A．x-12x+1 B．2x【變式1-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）若式子x+5x有意義，則x的取值范圍是【變式1-3】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）使式子1x+3+4-3x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的整數(shù)A．5個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．2個(gè)【題型2分式的值為0的條件】【例2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式x2-xx-1的值為A．0 B．-1 C．1 D．0或【變式2-1】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）若分式x-13x+1的值為0A．1 B．0 C．-1 D．【變式2-2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知分式滿足條件“只含有字母x，且當(dāng)x=0時(shí)分式的值為0”，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的分式【變式2-3】（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤舴质絰-3x2-x-6A．3 B．-3 C．±3 D．3或【題型3分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用】【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)的方法：尋找分子、分母的最大公因式；根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)乘以（或除以）最大公因式，分式的值不變?！纠?】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）若a≠b，則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（a+2b+2=ab B．a(chǎn)【變式3-1】（2023·湖南·中考真題）若aa-a2=A．a(chǎn)>0且a≠1 B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)≠0且【變式3-2】（2023·山東濟(jì)南·中考真題）若x，y的值均擴(kuò)大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）A．2+xx-y B．2yx【變式3-3】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）化簡(jiǎn)：a2-2【題型4分式的運(yùn)算】【例4】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)4x+2+A．1 B．x2x2-4 C【變式4-1】（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)a+1a-A．1 B．a(chǎn) C．1a D．【變式4-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：x+2x【變式4-3】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于式子x2-9A．當(dāng)x=3時(shí)，其值為0 B．當(dāng)x=-3C．當(dāng)0<x<3時(shí)，其值為正數(shù) D．當(dāng)【題型5分式的化簡(jiǎn)求值】【例5】（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知1a+2b=1，且a【變式5-1】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：a2-6a+9【變式5-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）已知x-yy【變式5-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若3ab-3b2【題型6分式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了．用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式．【變式6-1】（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）福州的市花是茉莉花．“飄香1號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基地是邊長(zhǎng)為a米(a>1)的正方形去掉一塊邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號(hào)”茉莉花實(shí)驗(yàn)種植基地是邊長(zhǎng)為a-【變式6-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）小王和小張的加油習(xí)慣不同，小王每次加油都說“師傅，給我加300元的油”（油箱未加滿）．而小張則說：“師傅，幫我把油箱加滿！”，現(xiàn)實(shí)生活中油價(jià)常有變動(dòng)，現(xiàn)以兩次加油為例來研究，誰的兩次加油平均單價(jià)低，誰的加油方式就省錢．設(shè)小王和小張第一次加油油價(jià)為x元/升，第二次加油油價(jià)為y元/升．(1)用含x，y的代數(shù)式表示分別表示小王和小張兩次所加油的平均單價(jià)；(2)小王和小張的兩種加油方式中，誰的加油方式更省錢？用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說明理由，【變式6-3】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以25千米/小時(shí)的速度到達(dá)B地，求走完全程所用的時(shí)間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以12V千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以2V千米/小時(shí)的速度到達(dá)B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時(shí)不變，請(qǐng)問甲?乙誰先到達(dá)（3）若甲以a千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，乙以b千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，此時(shí)甲距離終點(diǎn)為100-ax千米，乙距離終點(diǎn)為100-bx千米．分式100-ax100-bx對(duì)一切有意義的x【題型7分式中的規(guī)律探究】【例7】（2023·安徽·中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：11第2個(gè)等式：12第3個(gè)等式：13第4個(gè)等式：14第5個(gè)等式：15……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：__________；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：___________(用含n的等式表示)，并證明．【變式7-1】（2023·山東·中考真題）觀察下列各式：a1=23,a2=【變式7-2】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f2=21+2=2【變式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）觀察下列各式：①12+22+③32+42+……

……；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________（用含n的等式表示），并證明.【題型8與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題探究】【例8】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）規(guī)定一種新的運(yùn)算“x→+∞JXAB”，其中A和B是關(guān)于x的多項(xiàng)式，當(dāng)A的次數(shù)小于B的次數(shù)時(shí)．x→+∞JXAB=0；當(dāng)A的次數(shù)等于B的次數(shù)時(shí)，x→+∞JXAB的值為A、B的最高次項(xiàng)的系數(shù)的商，當(dāng)A的次數(shù)大于B【變式8-1】（2023·河北·統(tǒng)考二模）對(duì)于代數(shù)式a，b，c，d規(guī)定一種運(yùn)算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x【變式8-2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“N⊕分式”．例如.分式3x+1與3x1+x互為“(1)分式12+x3+2x與_____互為“六⊕(2)若分式aa+4b2與2ba2+2b互為“一⊕(3)若正數(shù)x，y互為倒數(shù)，求證：分式5xx+y2與5xx2【