五年中考一年模擬圓壓軸題-2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題19圓壓軸題

1.(2022?寧波)如圖1,。。為銳角三角形Z8c的外接圓，點(diǎn)。在京上，AD交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AE

上，滿足NAFB-NBFD=NACB,FG"AC交BC于■點(diǎn)、G,BE=FG,連結(jié)8。，DG.設(shè)=

(1)用含a的代數(shù)式表示NBFD.

(2)求證：NBDE=\FDG.

(3)如圖2,為O0的直徑.

①當(dāng)麻的長(zhǎng)為2時(shí)，求族1的長(zhǎng).

②當(dāng)OF:OE=4:11時(shí)，求cosc的值.

【答案】(1)ABFD=W---.(2)見解析；(3)①3；②』

2一8

【詳解】（1）?;NAFB-NBFD=NACB=a,①

又?；NAFB+NBFD=18Q0,②

②-①，得2N8產(chǎn)。=180°-a,

ZBFD=90°--；

2

zy

（2）由（1）得NBFD=90。-巴,

2

???AADB=NACB=a,

??.NFBD=180°-ZADB-ZBFD=90°--,

2

DB=DF,

?/FG!IAC,

NCAD=ZDFG,

???ZCAD=ZDBE,

4DFG=ZDBE,

在ABDE和AFQG中，

DB=DF

<NDFG=/DBE,

BE=FG

^BDE=^FDG(SAS)；

(3)?-：\BDE=\FDG,

/.NFDG=NBDE=a,

??.ZBDG=/BDF+NEDG=la,

???DE=DG,

??.ZDGE=1(180°-Z.FDG)=90°-y,

3a

/DBG=180°-ZBDG-4DGE=90°-—

2

???4。是。。的直徑，

??.ZABD=90°,

/ABC=/ABD-ZDBG=—，

2

/.元與凝所對(duì)的圓心角度數(shù)之比為3:2,

/./1與荔的長(zhǎng)度之比為3:2,

-：AB=2f

AC=3；

②如圖，連接8。，

?;OB=OD,

??.NOBD=/ODB=a,

/BOF=NOBD+NODB=2a，

???ZBDG=2a,

???ZBOF=/BDG,

???NBGD=ZBFO=90°--,

2

:.\BDG^\BOF,

設(shè)ABOG與ABOF的相似比為左，

DGBD,

-----=-----=k,

OFBO

OF4

---=—，

OE11

.?.設(shè)。/=4x,則OE=llx,DE=DG=4kx,

OB=OD=OE+DE=llx+4kx,BD=DF=OF+OD=15x+4fcv,

.8P_15x+4fcc15+4,

,'OB~llx+4Ax-11+4*'

由！=）,得4公+7%-15=0,

11+4左

解得左=』或-3（舍去），

4

OD=1lx+4kx=16x,BD=15x+4點(diǎn)=20x,

/.AD—2OD=32x,

Dr\onr5

在RtAABD中，cosZ^M=—

AD32x8

5

coscr=—.

8

方法二：連接。3,作力。于M,

A

BEGC

由題意知，MQR和ME尸都是等腰三角形，

:.EM=MF,

設(shè)OE=11,0F=4,

設(shè)OE=陽(yáng)，則。8=加+11,OM=3.5,BD=m+\5,DM=m+7.5,

OB2-OM2=BD2-DM2,

即（m+1-3.52=（加+15）2-（m+7.5）2,

解得用=5或陽(yáng)=-12（舍去），

MD5

COSCL=-----=—?

BD8

2.（2021?寧波）如圖1,四邊形/8C。內(nèi)接于00,BD為直徑,介上存在點(diǎn)E,滿足筋=無(wú)，連結(jié)8E

并延長(zhǎng)交。＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BE與AD交于點(diǎn)、G.

（1）若NDBC=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示N/G8.

（2）如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若tanN4DB=?,求△尸G。的周長(zhǎng).

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)ZAGB=90°-a；(2)見解析；(3)①三立；②百

2

【詳解】(1)???8。為。。的直徑,

/BAD=90°,

?：AE=CD,

Z.ABG=Z.DBC—a,

4G8=90。一a；

(2)???8。為0。的直徑，

Z5CZ)=90°,

NBEC=4BDC=90。-a,

/./BEC=ZAGB,

???NCEF=180°-NBEC,Z.BGD=180°-Z.AGB,

ZCEF=NBGD,

又?;CE=BG,ZECF=AGED,

\CFE=\BDG{ASA),

EF=DG；

(3)①如圖，連接OE，

???BD為OO的直徑,

N4=/BED=90°,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

AB=—xAD=y/39

2

?：AE=CD,

AE+DE=CD+DE,

即花=麗，

AD=CE,

???CE=BG,

BG=AD=2,

???在RtAABG中，sinZ^G^=—=—,

BG2

:.ZAGB=60Q,AG=-BG=\,

2

，EF=DG=AD—AG=T,

???在RtADEG中，AEGD=60°,

AEG=-DG=-,DE=—DG=—

2222f

在RtAFED中，DF=4EFTTDET=—,

2

:.FG+DG+DF=^s^/-?,

2

△尸GO的周長(zhǎng)為把互；

②如圖，過(guò)點(diǎn)C作C7/J.BF于，,

\BDG=\CFE，

...BD=CF,ZCFH=NBDA,

???/BAD=NCHF=90°,

bBADwkCHF(AAS),

??.FH=AD,

???AD=BG,

??.FH=BG,

???ZBCF=90°,

NBCH+ZHCF=90°,

???Z.BCH+NHBC=90°,

Z.HCF=ZHBC,

???NBHC=NCHF=90。,

\BHCsbCHF,

.BHCH

設(shè)G〃=x,

??.BH=2-x,

:.CH2=2(2-x),

在RtAGHC中，CG2=GH2+CH2,

/.CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

當(dāng)x=l時(shí)，CG?的最小值為3,

??.CG的最小值為VJ.

3.（2020?寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該

三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,NE是A48C中N/的遙望角，若乙4=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示NE.

(2)如圖2,四邊形內(nèi)接于0。，AD=BD,四邊形NBC。的外角平分線。尸交O。于點(diǎn)F,連接

"并延長(zhǎng)交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：4EC是A48c中4/C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接/E,AF,若4c是。。的直徑.

①求N/ED的度數(shù)；

②若/8=8,CD=5,求ADE尸的面積.

圖1圖2圖3

【答案】(1)Z￡=-a；(2)見解析；(3)①NZEO=45。；②一

29

【詳解】(1),??8E平分NZ8C,CE平分NNC。，

NE=NECD-NEBD=；(N4CD-N4BC)=；N4=,

(2)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)7,

圖1

?.?四邊形F8CC內(nèi)接于。。，

ZFDC+ZFBC=\SO0,

又???ZFDE+Z.FDC=180°,

ZFDE=ZFBC,

DF平分AADE,

NADF=NFDE,

NADF=NABF,

??.ZABF=NFBC,

BE是乙48C的平分線，

?：AD=BD,

NACD=NBFD,

???NBFD+4BCD=180°,ZDCT+4BCD=180°,

??.NOCT=4BFD,

??.ZACD=NOCT,

:.CE是AABC的外角平分線，

NBEC是\ABC中ABAC的遙望角.

(3)①如圖2,連接C/7,

B^—^C

圖2

???ZBEC是\ABC中NBAC的遙望角,

/.ABAC=2ZBEC,

???NBFC=ZBAC,

???4BFC=24BEC,

???NBFC=NBEC+NFCE,

NBEC=NFCE,

???NFCE=NFAD,

???4BEC=NFAD,

又?；/FDE=NFDA,FD=FD,

/.AFDE^AFDA(AAS)，

DE=DA?

??.NAED=Z.DAE,

??FC是。。的直徑,

，NADC=90°,

4AED+NDAE=90°,

??.ZAED=/DAE=45°,

②如圖3,過(guò)點(diǎn)4作4G_L8E于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)尸作尸W_LCE于點(diǎn)〃，

圖3

???4c是oo的直徑，

??.ZJ?C=90°,

???BE平分NABC,

???/FAC=NEBC=-Z.ABC=45°，

2

???ZAED=45°,

...NAED=/.FAC,

???/FED=NFAD，

NAED-/FED=Z.FAC-NFAD,

/AEG=Z.CAD,

???Z.EGA=/ADC=90°,

...\EGAS\ADC,

AE_AG

~AC~~CD

???在RtAABG中，48=8,ZJ5G=45°,

吟AB=班,

AG

在RtAADE中，AE=6AD,

42AD472

:.-----=----,

AC5

AD4

----=一，

AC5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

.?.設(shè)4￡)=4x,AC=5x,則有(4x)2+5?=(5x)2,

5

/.x=—

3

33可

35

：.CE=CD^DE=—

3

???ZBEC=/FCE,

:.FC=FEf

FMICE,

:.EM=-CE=—

26f

:.DM=DE-EM=),

6

???Z.FDM=45°,

:,FM=DM=',

6

125

：,SgFF=—DEFM=—.

isLftyr29

4.(2019?寧波)如圖1,。。經(jīng)過(guò)等邊A48C的頂點(diǎn)Z,C(圓心。在A4BC內(nèi))，分別與N8,CB的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，E,連接OE,BFLEC交AE于點(diǎn)F.

(1)求證：BD=BE.

(2)當(dāng)4F:EF=3:2,ZC=6時(shí)，求ZE的長(zhǎng).

(3)設(shè)=x,tan/.DAE=y.

EF

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：

②如圖2,連接0/，OB,若A4EC的面積是△。b8面積的10倍，求y的值.

AA

?[/\/

C

cE\~/B----7

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）/E=2舊；（3）①尸，②丫=￡~或￡

【詳解】證明：（1）?.?ZU8C是等邊三角形，

ZBAC=ZC=60°,

vZDEB=ZBAC=60°,ZD=ZC=60°,

/DEB=NO,

BD=BE；

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)Z作ZG1BC于點(diǎn)G,

A48C是等邊三角形，AC=6,

/.BG=-BC=-AC=3,

22

???在RtAABG中，AG=6BG=36

?/BF1EC,

BFIIAG,

AFBG

…~EF~~EB'

vAF:EF=3:2?

BE=-BG=2,

3

EG=BE+BG=3+2=5,

在RtAAEG中，AE=y/AG2+EG2=J（3百＞+5?=2M；

(3)①如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EH14D于點(diǎn)H,

A

圖1

???/EBD=/ABC=60°,

??.在RtABEH中，—=sin60°=—

BE2

77i

?.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

'：-----=-----=x，

EBEF

BG=xBE,

/.AB=BC=2BG-2xBE，

AH=AB+BH=2xBE+；BE=（2x+,

73

DE.

EH2

在RtAAHE中,tanZ.EAD

~AH（2x+；）8￡4x+l

“4x+l

②如圖2,過(guò)點(diǎn)。作OM_L8C于點(diǎn)M,

圖2

設(shè)BE=a,

/.CG=BG=xBE=ax,

/.EC=CG+BG+BE=a+2ax,

,EM=—EC=—a+ax

229

...BM=EM-BE=ax--a,

2

???BF//AG,

...\EBFs怔GA,

BFBE_a_1

二.---=-----------....>

AGEGa+ax1+x

AG—下>BG=6ax,

1y/3ax

..BF=-----AG=--------,

x+1x+1

的面積=BFBM?(以_〃)，

\OFB=1X_L

22x+12

\AEC的面積=K=g”拒ax(a+2at),

???A4EC的面積是AOq的面積的10倍，

—x也ax(a+2ax)=10x—x""(ax--a),

22x+12

/.2x?—7x+6=0,

3

解得：Xj=2,X2=—,

T邛或卑

5.(2018?寧波)如圖1,直線/:y=--x+b與x軸交于點(diǎn)2(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C是線段0/上一

4

動(dòng)點(diǎn)(0<4C<葭).以點(diǎn)工為圓心，4c長(zhǎng)為半徑作。/交x軸于另一點(diǎn)。，交線段N8于點(diǎn)E,連接OE并

延長(zhǎng)交于點(diǎn)F.

圖1圖2備用圖

(1)求直線/的函數(shù)表達(dá)式和tan/BN。的值；

(2)如圖2,連接CE,當(dāng)CE=E/時(shí)，

①求證：\OCE^\OEA；

②求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段04上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求尸的最大值.

【答案】(1)直線/的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-5x+3,tanN及1。=1；(2)①見解析；②夙||，||)；(3)黑

【詳解】???直線］:/=一久x+b與％軸交于點(diǎn)4(4,0),

4

3

—x4+6=0，

4

:.b=3,

???直線/的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-%+3,

??.8(0,3),

「0=4,08=3,

在RtAAOB中，tanZ^(9=—=-；

OA4

(2)①如圖2,連接。/，*/CE=EF,

/CDE=NFDE,

ZCDF=2ZCDE,

???NOAE=2ZCDE,

NOAE=NODF,

???四邊形CEF0是。力的圓內(nèi)接四邊形，

/.ZOEC=ZODF，

NOEC=NOAE,

???NCOE=NEOA,

??.ACOES\EOA,

②過(guò)點(diǎn)E作屈W_L。/于M,

3

由①知，tanZOAB=-,

4

設(shè)則Z〃=4m,

OM=4-4加,AE=5tn，

，E(4-4〃Z,3〃7),AC=5nj,

OC=4一5〃？，

由①知，\COE^\EOA,

.OCOE

''OE~~OA'

OE1=OAOC=4(4一5m)=16—20〃z,

?/E(4—4〃?,3加),

/.(4-4/7?)2+9m2=25nr-32m+16,

/.25m2-32m+16=16-20加，

12

m=0(舍)或加=石，

…52r36

4-4〃？=—,3m=—,

2525

趙，嗎，

2525

(3)如圖，設(shè)OZ的半徑為尸，過(guò)點(diǎn)。作于G,

??,4(4,0),8(0,3),

OA=4?OB=3,

/.AB=5，

-ABxOG=-OAxOB,

22

，包OG旦…

tanAOAB535

??.EG=AG-AE=--r

5

連接尸H,

???￡//是04直徑，

EH=2rfNEFH=90°=NEGO,

???NOEG=ZHEF,

kOEGs^HEF,

.OEEG

…~HE~~EF'

:.OE-EF=HE-EG=2r(^--r)=-2(r-^)2,

.”=§時(shí)，OE-E尸最大值為世.

525

圖2

6.(2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模)如圖,。0是&48c的外接圓，點(diǎn)。在8c上，連結(jié)。8,DC,DA,過(guò)點(diǎn)C作8。

的平行線交于點(diǎn)￡.

(1)如圖1,求證：AABCsACDE；

(2)如圖2,若NB4D=NC4D=30°,AB=6,BD=4,求DE；

(3)如圖3,/為&48c的內(nèi)心，若/在線段NE上，/8=10,tanNB/O=L,當(dāng)/E最大時(shí)，求出。。的

5

半徑.

圖3

【詳解】(1)證明：:?點(diǎn)。在圓。上,

ZJBC=NADC,NADB=N4CB,

又?：CEMBD,

AADB=ZDEC,

\ABCsXCDE；

(2)解：由(1)可得AABCsACDE,

DEDC

?//BCD=/BAD=ACAD=ZCBD=30°,

BC=^BD=A6

:.DE旦

3

(3)解：由(2)得：DE,AB=BC?DC,

;.10DE=BCDC,

如圖，BF1CF,

A

圖3

tan/.BCD=tan/BAD=—，

5

設(shè)=CF=5x,CD=BD=t,

???BD2=BF2+DF1,

13

解得，/=—x,

5

故=

13

3名，

26

連接C/,

I為\ABC的內(nèi)心，

:ZCI=NBCI,/BAD=NCAD=/BCD,

ZDIC=/CAD+ZACI=/BCD+ZBCI=ZDCI,

DC=DI=t,

-IE=ID-DE=t-叵A

26

.?.當(dāng)叵時(shí)，/E最大，

2

此時(shí)3C=空6/=5,

13

連接。。交8c于點(diǎn)由勾股定理可得出。

2

■.■OM2+MC2=0C-,

.?99+號(hào)）。,

解得尸=上

2

即圓。的半徑為M

7.（2022?寧波模擬）如圖①，在RtAABC中，ZC=90°,。是4c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)”,C重合），以力為

圓心，4。長(zhǎng)為半徑作04交Z8于點(diǎn)E,連結(jié)8。并延長(zhǎng)交。力于點(diǎn)尸，連結(jié)EO,EF,AF.

（1）求證：NEAF=2NBDE；

（2）如圖②，若4EBD=22EFD,求證：DF=2CD-

（3）如圖③，BC=6,AC=8.

①若NEZ尸=90。，求。/的半徑長(zhǎng)；

②求8E-DE的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析：（3）①?gòu)S=5；②5M

【詳解】（1）證明：在優(yōu)弧EF上任意取一點(diǎn)G,連接GE,GF,

①

???四邊形EDCG是圓內(nèi)接四邊形,

??.Z￡，DF+ZG=180°,

???NEDB+NEDF=18。。,

ZG=ZBDE,

???NEAF=2ZG,

NEAF=2/BDE；

(2)作47_L。尸于H,

???NEBD=2Z.EFD,2ZEFD=NB4D,

.?.NEBD=Z.BAD,

.?.BD=AD,

在ABDC和MDH中，

NC=NAHD

<Z.BDC=Z.ADH,

BD=AD

：,\BDC=\ADH(AAS),

??.CD=DH,

???AHVDF.

??.DF=2DH,

DF=2CD；

(3)解：①在RtAABC中，由勾股定理得，48=10,

?;/BDC=NADF=NAFD,NC=NEAF=90。,

：.ACDBSMFB,

.BCCD

"~AB~^F'

尸

-——6=-8--—---,

10r

解得尸=5；

②作EG_LZ。于G,

EGIIBC,

\AEG^\ABC,

431

:.AG=-r,EG=-r,DG=-r,

555

在RtAEDG中，由勾股定理得，

nrV10

5

:.BE?DE=(IQ-r).*r=-當(dāng)r?+2瓦,

當(dāng)，=」=2現(xiàn)=5時(shí),BE?DE最大值為5M.

2。cW

8.(2022?北侖區(qū)一模)有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形力8C。中，AD=CD,且4O//8C,BC=2AD,貝ljN8=.

(2)如圖2,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形48C。中，ABAD=90°,且8C=CO,求證：AB+AD=yf2AC.

(3)如圖3,四邊形內(nèi)接于0。，連結(jié)。O并延長(zhǎng)分別交4C,BC于點(diǎn)、E,F,交。。于點(diǎn)G,

若點(diǎn)E是4c的中點(diǎn)，AB=BG,tanN/8C=—，AC=6,求FG的長(zhǎng).

7

【答案】(1)60°；(2)見解析：(3)-

2

【詳解】(1)解：如圖1中，作AH“CD交BC于H,

A—D

vAD//BC,AH//CD,

.??四邊形4”。是平行四邊形，

/.AH=CD,AD=HC,Z.D=AAHC,

vAD=CD,BC=2AD=BH+CHf

BH=AH=AD,

vZB+ZD=180°,NZ〃C+NZ"B=180。，

/B=Z.AHB,

AB=AH,

：.A434是等邊三角形,

NB=60°,

故答案為：60°；

(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)到E,使=4Q,連接CE,

???/.BAD=90°，Z.BAD+ZBCD=180°,

...NBCD=90°,

vZD+ZJ^C=180°,ZCBE+ZABC=\S00,

??.Z￡>=Z.CBE，

在\ADC和AEBC中，

AD=BE

,Z.D=ZCBE

CD=BC

:.\ADC^\EBC(SAS),

??,AC=EC,/BCE=NACD,

??.NACE=NBCE+NACB=NACD+Z.ACB=Z.BCD=90°,

/.AE2=(AB+BE)2=AC2+EC2,

即(45+<￡>)2=24C?,

?：AB、AD.ZC均為正數(shù)，

??.4B+4D=y/2AC；

(3)解：如圖3中，連接OZ,OC,AG,CG,作在A/_LCG于〃，F(xiàn)N上AG于N,

圖3

???點(diǎn)E是力。的中點(diǎn)，AC=6,

AE=EC=3,

/.OD1ACfAD=DC,

:ZOE=NCOE,GA=GC,

...NAGF=Z.CGF,

???ZAOC=2ZABC,

Z.AOE=/ABC,

24AF

：,tanZ.AOE=tanZ.ABC=—=,

7OE

:.OE=-

8f

：.OA=ylAE2+OE2=—,

8

250

GD=20A=—,DE=OD-OE=-,GE=OG+OE=4,

44

AD=yjAE1+DE2=—,

4

???QG是0。的直徑，

:.ZGAD=90°,

：.GA=GC=y/DG2-AD2=5,

BG=AB,

ZACB=ZBCG,

ZAGF=ZCGF,

r.點(diǎn)尸是A4GC的內(nèi)心,

FM=FN=FE,設(shè)FM=FN=FE=d,

?：SMCG=-(AC+GA+GCYd=^AC-EG,

:.d=-,

2

35

:.FG=EG-EF=4--=~.

22

9.（2022?寧波模擬）如圖，己知48是。。的直徑，弦CDL4B于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是線段CO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),

連結(jié)E4交。。于點(diǎn)G,連結(jié)CG交于點(diǎn)P,連結(jié)C4.

(1)求證：NACG=NF.

(2)如圖②，若C4=CG,求證：AG=CD.

(3)如圖③，連結(jié)OG,AE=8.BE=2.

①若tan/F=3,求N尸的長(zhǎng)；

4

②求/GQG的最大值.

【答案】（1）見解析：（2）見解析：（3）①6：②50-10石

【詳解】（1）證明：連接8G,如圖,

???45是OO的直徑，

.?.ZAGB=90°.

48G+N34G=90。.

?/弦CD上4B于點(diǎn)E,

??.ZF+Z5JG=90°.

???NABG=ZF.

???ZACG=ZABG,

??.ZACG=NF.

???48是OO的直徑，弦C0J,Z8,

AC=AD.

???CA=CG,

AC=CG.

AD=CG.

AD-DG=CG-DG.

即無(wú)=〃.

AG=CD.

(3)解：①過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)，，連接5C,OC,如圖,

?/AE—8,BE—2,

/.OA=OC=5，OE=3.

:.CE=^OC2-OE1=4.

弦CD1AB于點(diǎn)E,

DE=CE=4.

AC=yJCE2+AE2=475,tanZCJ￡=—=-.

AE2

由（1）得：NACP=NF.

3

tanZ.ACP=tan/F=—.

4

piT

???tanNACP=——,

CH

PH3

CH4

設(shè)PH=3k,則CH=4左.

PH1

-PHLAC,tanZC^￡=—=一，

AH2

AH=2PH=6k.

???/ACB=NAHP=90°,

:.PH//BC.

APAH_3

33

二.ZP=—N8=—xl0=6.

55

②連接Z。，如圖,

???四邊形ZCOG是圓的內(nèi)接四邊形，

:.ZACE+ZAEG=\SO°.

/4L八./AE825/5

/.sinZ-AGD=smZACE==-=-----.

AC4A/55

?1?S..=-xAGDGsmZAGD=—AGDG，

ZA/I￡ZOnr25

,當(dāng)S44DG取最大值時(shí)，NG.OG最大?

???點(diǎn)G為AD上任意一點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)G為益的中點(diǎn)時(shí)，A/1DG的面積最大.

若G為石的中點(diǎn)，連接0G,交4D于點(diǎn)H,如圖,

2

vAD=AC=445,

AH=HD=2V5.

OH=No#-AH?=>/5.

:.HG=OG-OH=5-45.

5Azi0G=gxAD.HG=gx4亞x(5-5.

*ZG3G=；x4右x(5-6.

.?.NGSG的最大值為：50-10>/5.

10.(2022?寧波一模)如圖1,在等腰A48c中，AB=AC=2/，乙B4C=120。，點(diǎn)。是線段8c上一點(diǎn),

以。C為直徑作。。，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)力.

(1)求證：是。。的切線;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)4作/E_L8C垂足為E,點(diǎn)尸是0。上任意一點(diǎn)，連結(jié)EF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是虎的中點(diǎn)時(shí)，求生的值；

BF

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸是。。上的任意一點(diǎn)時(shí)，竺的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

BF

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若射線8尸與。。的另一交點(diǎn)G,連結(jié)EG,當(dāng)NGE尸=90。時(shí)，直接寫出|E/-EG|

的值.

【答案】(1)見解析；(2)①里，;②見解析；(3)V2

BF2

??.Z5=ZC=30°,

???以。。為直徑作。。，O。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,

ZO^C=ZC=30°,

ZBAO=90°,

OA1AB,且點(diǎn)/在0。上,

48是0。切線；

(2)解：①如圖，連結(jié)OF,OA.

A

F

vOA1AB,AE1BCf/3=NC=30。，

/.OF,=AO=ABAanZ.ABO=273xtan30°=2,

BE=AB-cosAABO=26xcos30°=3,

08=240=4,

EO=4—3=1,

???點(diǎn)尸是無(wú)的中點(diǎn)，

??.OFLDC,

￡F=722+12=V5,BF=y142s=2后,

￡F_V5_1

.?寸與r于

②史的值不發(fā)生變化，仍為處=工,理由如下:

BFBF2

連結(jié)。廠,

A

~OF~2,~OB~4~2

OEOF

''OF~~OB'

???/EOF=/FOB,

/.AEOFs^FOB，

EFOF\

"'BF~'OB~V

(3)解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，連結(jié)OG,OF,EG,FC,設(shè)OG與EF交于H.

???NEOG=/GOB,

\EOGs\GOB，

-=—=/EGO=NGBO,

BGOB2

設(shè)EG=l8G=x,貝ij8G=2x,

2

\EOF^\FOB,

第二器j"F°=NFB。，

設(shè)==則8/=2y,

NEFO=NEGO=Z.OBG,NEHG=ZFHO,

:.NGEF=NGOF=90°,

vOG=OF,

GF=應(yīng)OF=2A/2,

GF=BF-BG=2y-2x=272,d[Jy-x=后，

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí),

同理可得…=_曰

:.\y-x\=y/2.

:.\EF-EG\的值V2.

11.（2022?北侖區(qū)二模）【證明體驗(yàn)】

（1）如圖1,。。是等腰A4BC的外接圓，AB=AC,在北上取一點(diǎn)P,連結(jié)"，BP,CP.求證:

NAPB=APAC+APCA；

【思考探究】

（2）如圖2,在（1）條件下，若點(diǎn)尸為公的中點(diǎn)，AB=6,PB=5,求P/的值；

【拓展延伸】

（3）如圖3,。。的半徑為5,弦8c=6,弦C尸=5,延長(zhǎng)NP交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且=

求4尸.PE的值.

A

（圖1）（圖2）（圖3）

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）20+15萬(wàn)

【詳解】（1）證明：=,

AB=AC.

ZAPB=/ABC.

ZABC=ZABP+ZCBP,ZABP=ZACP,ACBP=APAC?

??.ZABC=APAC+ZPCA.

NAPB=NPAC+NPCA.

（2）解：延長(zhǎng)8尸至點(diǎn)。，使PD=PC,連接40,如圖，

cr

BC

???點(diǎn)P為力。的中點(diǎn)，

PA=PC.

:.PA=PC,ZABP=/CBP.

??.PA=PD.

??.ZD=ZPAD.

.../APB=/PAD+NO=2ZPAD.

?：AB=AC，

AB=AC.

NAPB=Z.ABC.

???/ABC=AABP+ZCBP=2ZABP,

??.ZPAD=Z.ABP.

???4D=4D,

：.NDAPsNDBA,

,PDPAAD

.?布一花一訪?

?/ZD=APAD,/PAD=/ABP,

ND=NABP.

AD=AB=6.

設(shè)尸4=x,WOPD=x,BD=5+x,

x_6

——=----.

65+x

x2+5x-36=0.

解得：x=4或-9（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）.

...尸力=4；

（3）連接OP,OC,過(guò)點(diǎn)C作C//L8尸于點(diǎn)〃，如圖,

P

BE

???。0的半徑為5,CP=5,

-_OP=OC=PC=5,

AOPC為等邊三角形.

Z.POC=60°.

NPBC=L/POC=30。.

2

在RtABCH中，

BH=6Ccos30°=6x3=36,

2

CH=1BC=3.

2

在RtAPCH中，

PH=-JPC2-CH2=4.

:.PB=PH+BH+.

■：四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，

NPCE=ZBAP.

■：ZE=N4BP,

AEPCSABPA.

.PEPC

AP-PE=PCBP=5（4+3我=20+15瓦

12.（2022?鄲州區(qū)模擬）如圖，Z8為。。的直徑，弦CD交4B于點(diǎn)E,SiDE=OE.

（1）求證：ZBAC=3ZACD；

（2）點(diǎn)尸在弧8。上，S.ZCDF=-ZAEC,連接C尸交力8于點(diǎn)G,求證：CF=CD■,

2

（3）①在（2）的條件下，若0G=4,設(shè)OE=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式:

②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)。O的半徑.

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接。。，0C,設(shè)ZD=x.

ND=Z.EOD—x,

???OD=OC,

??.ZD=ZOCD=x,

??.NCEO=ND+ZEOD=2x,Z.COB=ZOEC+NOCD=3x,

???OA=OC,

??.Z.A=Z,ACO,

???ZJ+Z.ACO=/COB=3x，

3

:.ZA=ZACO=-x,

2

??.ZACD=-x,

2

??.ZBAC=3/ACD；

（2）證明：連接CO,延長(zhǎng)CO交。尸于T.

圖2

由（1）可知，ZJ￡C=180°-2x,

???ZAEC=2ZCDF，

ZCZ）F=90°-x,

:.ZCDF+ZDCO=90°t

???CT1DF9

DT=TF,

CD=CF.

(3)解：①連接C。，延長(zhǎng)CO交。廠于7,過(guò)點(diǎn)。作。M_LC。于M,ON工CF干N.

圖3

由（2）可知，CD=CF,CT工DF,

???/DCO=NFCO,

vONLCF9OMLCD,

OM=ON,

???NGEC=ZGCE,

.\G￡=GC=x+4,

：.CD=CF=CG+FG=x^y+4,

ED=OE=x,

EC=CD—DE=y+4,

0L.CE.OM/

...SM>CE=2=OE

OG

SAC。。-CG-ON

2

.y+4_x

..------—―,

x+44

124

y=-x+x-4.

,4

②設(shè)OA=OB=R,

當(dāng)歹>0時(shí)，—x2+x-4>0,

解得x>2y[5-2或x<—2V5—2,

的最小整數(shù)值為3,

?.CG=7,FG=-,

4

?:AGGB=CGxFG,

.\(/?+4)(/?-4)=7x-,

4

...夫=豆五(負(fù)根已經(jīng)舍去)，

2

.?.此時(shí)。。的半徑為血.

2

13.(2022?海曙區(qū)一模)【基礎(chǔ)認(rèn)知】

(1)如圖1,點(diǎn)/為NMPN內(nèi)部一點(diǎn)，AB//PN交PM于1B,已知4B=PB,求證:PA平分ZMPN；

【綜合運(yùn)用】

(2)在(1)的情況下,作AH1PN于點(diǎn)H.

①如圖2,若/P=12,PH=9,求尸8的長(zhǎng);

②如圖3,延長(zhǎng)Z4至點(diǎn)C,使=，過(guò)P,A,C三點(diǎn)作圓交PN于點(diǎn)。，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.若

BP=a,求圓的直徑；（用含。的代數(shù)式表示）

③在（2）的情況下，設(shè)BE=y,當(dāng)a=6時(shí)，求y關(guān)于大的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（1）見解析；（2）①8；②2°；③y=6-2x

【詳解】（1）證明：?.?/8=尸8,

ZBPA=ABAP.

■：AB//PN,

NBAP=NAPN.

：.ZBPA=NAPN.

即PA平分NMPN；

（2）解：①過(guò)點(diǎn)5作BE，尸〃于點(diǎn)E,如圖，

M

0RZA

PEHN

?/AH1PN,ABIIPN,

四邊形48E”為矩形.

:.AH=BE,AB=EH.

???AB=PB,

AB=PB=EH.

設(shè)4B=PB=EH=x,貝IJPE=PH—E，=9-x.

?/AH2=AP2-PH2=122-92=63,

BE2=63.

在RtAPBE中，

?/PE2+BE2=PB1,

/.（9-x）2+63=x2.

解得：x=8.

08=8；

@-：CH=AH,AH1PN,

.?.PN垂直平分力C.

.?.P。是圓的直徑.

設(shè)圓心為點(diǎn)。，如圖，連接04,

M

?「OP=0A，

NDPA=NPAO.

ZBPA=ZDPA=/BAP=ZPA0.

在ABP4和△。燈中，

/BPA=/OPA

<PA=PA,

NBAP=N0AP

ABPA^AOPA(ASA).

PB=PO.

?/PB=BA,0P=0A,

OP=0A=BA=BP.

OP=PB=a.

二.圓的宜徑=20P=2a.

③連接ZE,AD,過(guò)點(diǎn)Z作ZFLHAf于點(diǎn)尸，如圖,

??.AF=AH.

,/PA-PA,

...RtAPAFNRtAPAH(HL).

PF=PH.

?「a=6,

:.PB=6,PD=12.

?/DH=x,BE=y,

:,PH=PD-DH=\2-x.

:.PF=\2-x.

EF=PF-PB-BE=6-x-y.

???尸。是圓的直徑，

??./PAD=90°.

?/AHLPD.

\PAH^\ADH.

.PHAH

.\2-xAH

AHx

：.AH2=x(I2-x).

AF'=x(12-x).

同理：AD2=DHPD=\2x.

PA平分ZMPN,

ZAPE=NAPD.

AE=AD.

AE=AD.

??.AE2=AD2=l2x.

?/AF2+EF2=AE2,

/.x(12-x)4-(6-x-y)2=I2x.

/.(6-x—y)~-X2=0.

，(6—x—y+x)(6-x-y-x)=0.

即(6-y)(6-2x-y)=0.

??,y<6,

..6-yw0.

6—2x—y=0.

y=6-2x.

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=6-2x.

14.(2022?寧波模擬)如圖1,AJ8C內(nèi)接于0。，A48c的外角/氏4。的平分線交。。于點(diǎn)尸(點(diǎn)/在

弧PC之間)，連結(jié)尸3,PC.

(1)求證：PB=PC.

3

⑵若BC=8,cosZBAC=-求尸8的長(zhǎng).

5f

(3)如圖2,在(2)的條件下，作尸“JL48于點(diǎn)，.

①若NP84=45。，求AJ8C的周長(zhǎng).

②求ZC+尸”的最大值.

【詳解】（1）證明：???四邊形4cBp是0。的內(nèi)接四邊形,

NPBC=NPAD,

???AP是NBAD的平分線，

ZPAD=NPAB，

Z.PBC=NPAB,

???ZPAB=ZPCB,

/.ZPBC=4PCB,

PB=PC；

(2)解：如圖1,

過(guò)點(diǎn)C作CELPB于￡,