天津庫倫第二中學2023-2024學年高三數(shù)學文名校聯(lián)考含解析

天津庫倫第二中學2023年高三數(shù)學文名校聯(lián)考含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知.=色一3）,a-L3）,逆=瓊，則點0的坐標是（）

A.(11,-3)B.(9,-3)C.(9,3)D.(4,0)

參考答案：

B

2.十七世紀英國著名數(shù)學家、物理學家牛頓創(chuàng)立的求方程近似解的牛頓迭代法，相較于二

分法更具優(yōu)勢，如圖給出的是利用牛頓迭代法求方程X2=6的正的近似解的程序框圖，若

輸入a=2,?=0.02,則輸出的結(jié)果為（）

A.3B.2.5C.2.45D.2.4495

參考答案:

C

【考點】程序框圖.

【分析】由題意，模擬程序的運行過程，依次寫出每次循環(huán)得到的b,a,z的值，即可得

出跳出循環(huán)時輸出a的值.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

a-2,7-0.02,

”1

執(zhí)行循環(huán)體，b=2,a=2,z=4,

_549

不滿足條件把?，執(zhí)行循環(huán)體，b=I,a=20,z=50,

49

滿足條件把?，退出循環(huán)，輸出a的值為麗=2.45.

故選：C.

3.關于函數(shù)八x)=NHg-egcasx的四個結(jié)論：

Pi：最大值為：，‘，；P：最小正周期為兀；P：

23單調(diào)遞增區(qū)間為

.x.3.

kn—,ke

88

(―^+―,-1),Ae

P4：圖象的對稱中心為28z。其中正確的有

A.1個B.2個C.3

個D.4個

參考答案：

C

略

4.函數(shù)f(x)=ex+x-4的零點所在的區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

參考答案：

C

【考點】函數(shù)零點的判定定理.

【分析】利用函數(shù)零點的判定定理、函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：Vf(1)=e-3<0,f(2)=e2-2>0,Af(1)f(2)<0,

.??有一個零點x°e(1,2).

又函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此只有一個零點.

故選：c.

5.四棱錐尸-覆⑵的底面為正方形，側(cè)面射為等邊三角形，且側(cè)面月4。，底

面3CD,點M在底面正方形3c。內(nèi)（含邊界）運動，且滿足MP=MC,則點

M在正方形內(nèi)的軌跡一定

是

A.B.C.

D.

參考答案:

B

6.已知數(shù)列&?）的前#項和為則|?！縷+|與|+|生|+…+|%|=

A.64B.56C.40D.32

參考答案：

D

7.下列命題正確的個數(shù)是（）

①“在三角形<3。中，若sinA3,則B”的逆命題是真命題；

②命題P]*2或3*3,命題0則尸是，的必要不充分條件；

③aVX€R,x'-Xs+1<0,,的否定是“YXE尺金+1>0”；

④若隨機變量X~即0,則醺;門=2

A.1B.2C.3

D.4

參考答案：

C

略

8.已知函數(shù)22若gg）=/5）成立，則n-w的最小值為（）

A.l-ln2B.In2。2小一3D.

4-3

參考答案：

B

9.已知等比數(shù)列（，）中，％=2，q=8,則?4一（）

A.2B.4C.6D.8

參考答案：

A

、q2=々=、E

?.?數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，.?」一、：上。2g（與4同號），Ja,、’，

a2018-a2016

q4=（翻=2

從而a2012

10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各

面直角三角形的個數(shù)是（）

參考答案:

C

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖可知：該幾何體為四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD,底面ABCD,PALAD,底

面ABCD是正方形.即可得出.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD,底面ABCD,

PAXAD,底面ABCD是正方形.

則此圖中含有4個直角三角形（除了底面正方形）.

故選：C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.方程1x-2lgx-3=0的解集是

參考答案：

<100,

12."''?'的展開式中/的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）.

參考答案:

20

【知識點】二項式定理與性質(zhì)

通項公式為:"C畤'=3臼令人⑹「3.

解:

所以系數(shù)為：C?=20

故答案為：20

13.如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是.

至

IKOJ^O]

參考答案:

15

2-x，x>0

'-1x<0

14.(5分)函數(shù)f(x)=x，若f(m)=h則m=

參考答案：

0或-1

考點：函數(shù)的值.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用.

分析：利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

’2『x>0

,-1,x<0

解答：解：?函數(shù)f(x)=x,f(m)=1,

.,.當m20時,f(m)=2'"=1,解得m=0；

f(m)__

當m<0時，n=L解得m=-l.

故答案為：0或-1.

點評：本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運

用.

15.設平面向量a=(l,2),b=(-2,y),若a//b,則y=.

參考答案：

-4

略

16.直線被圓/+9-2)2=4截得弦長為。

參考答案：

將題目所給的直線和圓圖形畫出得到如圖所示的情況，半弦長2,圓心到直線的距

離d,以及圓半徑r構(gòu)成了一個直角三角形。因為/'=2,夾角45。，因此

17.拋物線0-=2y的焦點為F,過C上一點尸(1/。：’的切線/與尸軸交于A,則

網(wǎng)=一

參考答案：

15.1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.設｛〃“｝是等比數(shù)列的公比大于0,其前“項和為出,｛小｝是等差數(shù)列，已知■二】，

.=.'20s=4.隊

(1)求｛詼｝，｛兒｝的通項公式

__%____

(2)設(4+1)(—+1),數(shù)列｛金｝的前"項和為乙，求T.；

(3)設,其中*WN?求仁

參考答案：

⑴％=-L⑵巖；⑶(4「可門2口2

【分析】

（1）設等比數(shù)列14）的公比為g,則g>°,設等差數(shù)列｛2的公差為」，利用等比數(shù)

列的通項公式可求得q的值，利用等差數(shù)列的通項公式建立有關4和」的方程組，解出這

兩個未知數(shù)，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式可求得這兩個數(shù)列的通項公式；

尸]上

（2）由,（人叫（2“1）尸?】人1,利用裂項相消法可求得4；

itn#!1丁r■■

人=??.24=2>-工2'+20+1）片

（3）求得I/吟A+1X。=丁,可得H*4MM,通過分組

求和以及錯位相減法即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）設等比數(shù)列｛%）的公比為q,則q>°,設等差數(shù)列的公差為d,

X=l,由，=，*2,得?=g+2,r>0,解得g=2,則4==

4+6</=8

由.=%.可，勺=4.4得34']"=16,解得q=d=i,則

&"I（n1）</=it

（2"+1）-（2^+1）

⑵C*^+1）（^+1）（2^+1）（2"+1）-（2^+1）（2'+1）

二M磊志卜島-舟，…?（備■焉十六;

（3）由b.g應f?=2",其中￡wM

,（it.?#2*

4=<t

可得iRog?R+n??=2ienr

其中步當1尹=管""

設*-221+32'+42'+...+?I*4+(?+1)2',

則況=22，+32'+42*+一一+*1r+Gi+D2川

-S；=4+22+2,+.?+2B-(?+52B**=2+^-^J-(?+I)2"*1

兩式相減得1-2

整理得％="尸

則|=1

.-宜4=2占+2*,(2~*-2)+?2**=(4n-3)2川?A"?2

【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項的求解，同時也考查了裂項求和法與錯位相減

法求和，考查計算能力，是一道難度較大的題目.

19.函數(shù)y=f(x)對任意實數(shù)x、y滿足f(x)+f(y-x)=f(y),且當x>0時，f

(x)<0.

(1)求證：y=f(x)是奇函數(shù)；

(2)判斷y=f(x)的單調(diào)性，并證明；

(3)對任意te[l,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立，求x的范圍.

參考答案：

【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷；抽象函數(shù)及其

應用.

【專題】綜合題.

【分析】(1)對x,y分別進行賦值，結(jié)合f(x)+f(y-x)=f(y),利用奇函數(shù)的定

義可證明；

(2)利用單調(diào)性的定義，結(jié)合當x>0時，f(x)<0,取y>x,則y-x>0,所以f(y

-x)<0,利用當x>0時，f(x)<0,即可證得；

(3)利用(2)的結(jié)論，將抽象不等式化為具體不等式，變換主元，構(gòu)建一次函數(shù)，即可

解決.

(1)證明：令x=y=0,代入f(x)+f(y-x)=f(y),那么f(0)+f(0)=f(0),所

以f(0)=0再令y=0,那么f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),

所以函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；

(2)解：函數(shù)尸f(x)在整個R上是減函數(shù)

證明：令y>x,則y-x>0,

Vf(x)+f(y-x)=f(y),

.*.f(y)-f(x)=f(y-x),

因為當x>0,f(x)<0,而y-x>0,所以f(y-x)<0所以f(y)-f(x)<0,

即y>x,f(y)<f(x),

所以函數(shù)尸f(x)在整個R上是減函數(shù)；

(3)解：對任意te[l,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立

J對任意te[l,2],tx?-2x>t+2恒成立

?'.對任意t￡[l,2],(x2-1)t-2x-2>0恒成立,

令函數(shù)h(t)=(x2-1)t-2x-2

分三種情況：i、當x?-1=0時，x=l或-1,代入發(fā)現(xiàn)不符合(x?-1)t-2x-2>0

ii、當x?-1>0,即x>l或x<-1時，函數(shù)h(t)=(x2-1)t-2x-2是增函數(shù)，所以

最小值為h(1)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0,

所以x>3或x<-1

所以最后符合的解是：x>3或xV-1

iii、當x?-1V0,即-1<X<1時，函數(shù)h(t)=(x2-l)t-2x-2是減函數(shù)，所以最

小值是h(2)=2x2-2x-4=2(x+1)(x-2)>0,

所以x>2或xV-1,與-IVxVl矛盾

綜上知x的范圍是：x>3或xV-1

【點評】本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查賦值法的運用，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，

同時考查變換主元思想的運用，解題時合理運用函數(shù)的性質(zhì)是關鍵.

￡

JF=——X

20.在平面直角坐標系尤Oy中，直線/：3,以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為

極軸建立極坐標系，曲線

(I)求曲線C被直線/截得的弦長;

（II）與直線/垂直的直線EF與曲線C相切于點Q,求點。的直角坐標.

參考答案：

（I）首先把參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換，進一步利用點到直線

的距離公式和勾股定理的應用求出弦長.

（II）利用直線垂直的充要條件求出圓的切線方程，進一步利用直線和曲線的位置關系求

出切點的直角坐標.

P=2（XM

【詳解】解：（I）曲線I2/轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為

（上-1）"=1

w

直線-3轉(zhuǎn)換為工-括v=o,

的距離網(wǎng)（可2,

所以圓心（L0）到直線工-岳二。

所以曲線c被直線/截得的弦長為

（II）與直線/垂直的直線設為：.

由于直線與曲線C相切，

d=

）的距離”+（行），

所以圓心（L°）到直線，=Yz

解得或萬

所以直線E尸的方程為尸-7K.力-2或,=7^r+6+2.

所以設切點Q（“）,

(x-l)J+/=l

故(產(chǎn)=_點<+遣_2解得

Al?遮

(x-1)2+/=12

或1產(chǎn)=_岳+5*2,解得

2

【點睛】本題考查了直線與圓的極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知

p=X”

XLPCOS0

識，考查了在極坐標系下直線與圓的交點問題，解題的關鍵是正確使用y=2這一

轉(zhuǎn)化公式，還要能結(jié)合圖形求解問題.

21.已知函數(shù)/（X）tn--x-x：nx（aGR）

（1）若a=0,講座函數(shù)的單調(diào)性

（2）函數(shù)/（X）滿足/。）=2,且在定義域內(nèi)/（X）之機二+2?恒成立，求實數(shù)的取值

范圍；

1.y1+lnV

—<X<V<1-------

（3）當《時，試比較x與1In、的大小。

參考答案:

(I)a-0,/(x)-x-rtor,/(x)--lnx,/(x)-O,r-l.....1分

XG(Oil),/'(x)>O,/(x)^(0.1)卜是增函數(shù)

X€(1.-'XX/(X)<0,(1,-bx)上是M函數(shù)....4分

令e（x）-『，可得8（x）在（0,1］上遞減，在卜，+?）上遞增

g(x)-,mo7分

即》<08分

g(X)1------------

(III)由(II)知X在(0,1)上單調(diào)遞減

-<r<v<I

'時，?)>紳)

-1-+--l-n-xV-1-+--l-n-v-

即*y.................io分

-<x<v<I,..八

而《*時1<InX<o,.-.1IInK>0.................11分

.y1+lnv

x1-Inx................12分

略

22.為了調(diào)查學生星期天晚上學習時間利用問題，某校從2014-2015學年高二年級100名

學生(其中走讀生450名，住宿生550名)中，采用分層抽樣的方法抽取n名學生進行問

卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學每天晚上學習時間(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，按照以下

區(qū)間分為八組

①[0,30),②[30,60)③[60,90)④[90,120)⑤[120,150)@[150,180)

⑦[180,210)⑧[210,240),得到頻率布直方圖如圖，已知抽取的學生中星期天晚上學

習時間少于60分鐘的人數(shù)為5人.

(1)求n的值并補全下列頻率分布直方圖；

(2)如果把“學生晚上學習時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n

名學生，完成下列2X2列聯(lián)表：

利用時間充分利用時間不充分合計

走讀生301545

住校生451055

合計7525100

據(jù)此資料，你是否認為學生“利用時間是否充分”與走讀、住校有關?

(3)若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時間的原因，求抽出的2人中第

①組第②組各有1人的概率.

參考答案:

考點：頻率分布直方圖；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

專題：概率與統(tǒng)計.

分析：(1)由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點即可求得結(jié)果；

(2)由分布直方圖可完成表格，再將數(shù)據(jù)帶入給定的公式即可；

(3)先列出基本事件總數(shù)的情況，再挑出滿足條件的情況即可.

解答：解：(1)設第i組的頻率為P(i=l,2,8),

1213

由圖可知：p,=i500X30=mX3O=

P2=IOOOIOO,

5

學習時間少于60分鐘的頻率為Pi+P2=I^,

5

由題意：nX100=5

An=100,

J-X30