【十年真題】近十年（2012-2021）全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)真題分類匯編02 不等式（教師版）

2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編不等式(精解精析)

一、選擇題

1.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科)已知a=log20.2,b=2°2,C=0.2°3,則()

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

3

解析：tz=log20.2<log2l=0,人=2°2>2°=1,C=0.2°<0.2°=1,.\CG(0,1),故a<c<b.

2.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷(理))設(shè)】=logo.20.3,Z?=log20.3,貝！J()

A.a+b<ab<QB.ab<a-\-b<0

C.a+b<Q<abD.ab<0<a+b

【答案】B

解析：一方面a=logo20?3￡(。4)，b-log20.3e(-2,-1),所以必<0

L=logo30.2,i=log032,所以1+<=Iogo3(0.2x2)=log030.4e(0,1)

abab

所以0<工+!<1即0<巴心<1,而"<0,所以a+b<0,所以巴心<lna+b>aZ?

ababab

綜上可知aZ?<a+/?<0,故選B.

2x+3y-3<Q

3.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科)設(shè)X,y滿足約束條件2x-3y+3?0,則z=2x+y的最小值是

y+3>0

()

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】解法一：常規(guī)解法

2x+3y-3<0

根據(jù)約束條件2x-3y+3Z0畫出可行域(圖中陰影部分)，作直線/:2x+y=0,平移直線/,

j+3>0

將直線平移到點(diǎn)A處Z最小，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,-3),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y,

可得Z=—15,即2勒=-15.

解法二：直接求法

對(duì)于封閉的可行域，我們可以直接求三條直線的交點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)中，三個(gè)數(shù)種選其最小的

為最小值即可，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,-3）,點(diǎn)5的坐標(biāo)為（6,-3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0』），所求值分

別為一15、9、1,故2.=-15,Za=9.

解法三：隔板法

首先看約束條件方程的斜率

約束條件方程的斜率分別為-；、0;

33

其次排序

按照坐標(biāo)系位置排2序0,42；

再次看目標(biāo)函數(shù)的斜率和y前的系數(shù)

看目標(biāo)函數(shù)的斜率和y前的系數(shù)分別為-2、1；

最后畫初始位置，跳格，找到最小值點(diǎn)

目標(biāo)函數(shù)的斜率在，go］之間，即為初始位置，y前的系數(shù)為正，則按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一格為

最大值點(diǎn)，即第二個(gè)格為最小值點(diǎn)，即m只需解斜率為0和1這兩條線的交點(diǎn)

即可，其實(shí)就是點(diǎn)A,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,-3）,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y,

可得Z=—15,即2血?=一15.

【知識(shí)拓展】線性規(guī)劃屬于不等式范圍，是高考必考考點(diǎn)，?？疾閿?shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合能力，一般

變化只在兩個(gè)方向變化，1.約束條件的變化；2.目標(biāo)函數(shù)的變化；約束條件變化從封閉程度方面

變化，目標(biāo)函數(shù)則從方程的幾何意義上變化，但此題型屬于高考熱點(diǎn)題型（已知封閉的約束條

件，求已知的二元一次方程目標(biāo)函數(shù)），此題型屬于過(guò)渡中檔題，只需多積累各題型解決的方法

即可.

x+y-7<0

4.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）設(shè)X,y滿足約束條件x-3y+l<0，則z=2x—y的最大值為

3%-y-5>0

（）

A.10B.8C.3D.2

【答案】B

解析：畫出不等式表示的平面區(qū)域，可以平移直線y=2x-z,可得最大值為8.

考點(diǎn)：（1）二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題。

難度：B

備注：?？碱}

x+V>1

5.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）不等式組,的解集記為D.有下面四個(gè)命題：

x-2y<4

Pi:eD,x+2y>-2；p2:3（x,GD,%+>2

y?3:V（x,y）eD,x+2y<3；p4:3（x,y）eZ）,x+2y<-l.

其中真命題是（）

A.P2，P3B.Pi，P4c.Pi，P2D.P3P3

【答案】c

_1z

解析:作出可行域如圖:設(shè)x+2y=z,即y=-5X+5

當(dāng)直線過(guò)4（2,—1）時(shí)，^=-2+2=0,：.z>0,“2真命題，選仁

考點(diǎn)：（1）二元一次不等式組表示平面區(qū)域（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

（3）全（特）稱命題真假判斷（4）數(shù)形結(jié)合思想

難度:C

備注:高頻考點(diǎn)

x>1

6.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）已知a>Q,x,y滿足約束條件\x+y<3若z=2x+y的最小值

y>a{x-3）

為1,貝必等于（）

￡1

A.B.C.1D.2

42

【答案】B

X=]J

解析：由<得到x=1,y=-1,代入y=a（x-3）得。=—

2x+y=12

考點(diǎn)：（1）7.4.1二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；（2）7.4.2求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

難度：B

備注：高頻考點(diǎn)

二、填空題

2x+y-2<0,

7.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）若x,y滿足約束條件X-y-120,則z=x+7y最大值為

y+i>0,

【答案】1

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)z=x+7y即：y=—xH—z,

"77

其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

2%+y—2=0

聯(lián)立直線方程：\,c，可得點(diǎn)八的坐標(biāo)為：A（l,0）,

x-y-1=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：z111ax=l+7x0=l.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)2=6^+以9加0）的最值，當(dāng)b>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),

z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b<0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，

在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

x+y>0,

8.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）若x,y滿足約束條件｛2x-y>0,,則z=3x+2y的最大值為_(kāi)_______.

x<1,

【答案】7

解析：不等式組所表示的可行域如圖

3Yzz

因?yàn)閦=3x+2y,所以y=----1—,易知截距一越大，貝1|z越大，

222

3T3x7

平移直線y=-萬(wàn)，當(dāng)y=-晝+萬(wàn)經(jīng)過(guò)4點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，

y=2xX=1

由<得c，A(l,2),

X=1卜=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的

思想，是一道容易題.

x+2y-520,

9.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（理））若尤,y滿足約束條件x-2y+320,則z=x+y的最大值為.

x-5W0,

【答案】9

解析：作出可行域，則直線z=x+y過(guò)點(diǎn)A（5,4）時(shí)z取得最大值9.

x-2y-2<0

10.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））若無(wú),y滿足約束條件｛x-y+120,則z=3x+2y最大值

y<0

為.

【答案】6

解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖

由z=3x+2y得y=—'3x+1—z,平移直線y=—32x+1—z,由圖象知當(dāng)直線y=—3'x+1—z經(jīng)過(guò)點(diǎn)

222222

A（2,0）時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，最大值為z=3x2=6,故答案為6.

x+2y<l

11.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科）設(shè)蒼y滿足約束條件則z=3x—2y的最小值為

x-y<0

【答案】-5

x+2y<l

【解析】不等式?2x+y2-1組表示的可行域?yàn)槿鐖D所示

x-y<0

易求得A（—1』）,項(xiàng)—丁―丁§）

3z

直線z=3x-2y得y=—G在y軸上的截距越大，z就越小

所以，當(dāng)直線z=3x—2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值

所以Z取得最小值為3x（-1）—2xl=-5.

【考點(diǎn)】線性規(guī)則

【點(diǎn)評(píng)】本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問(wèn)題,線性規(guī)劃問(wèn)題常出現(xiàn)的形式有:①直線型:轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距,

要注意z前系數(shù)為負(fù)時(shí)，截距越大，z值越小;②分式型:其幾何意義是已知點(diǎn)與未知點(diǎn)的斜率;③平方

型:其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方;④絕對(duì)值型:轉(zhuǎn)化后其幾何意義是

點(diǎn)到直線的距離.

x-y>0

12.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)ni卷理科）若X,y滿足約束條件（x+y-2<0,則Z=3x—4y的最小值為

y>0

【答案】-1

【解析】繪制不等式組表示的可行域，

3131

目標(biāo)函數(shù)即：y=-x-：z,其中z表示斜率為左=7的直線系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線的截距值的--

4444

倍，截距最大的時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（l,l）處取得最小值

z=3x-4y=-l.

【考點(diǎn)】應(yīng)用線性規(guī)劃求最值

【點(diǎn)評(píng)】求線性目標(biāo)函數(shù)2=0*+的（。匕/0）的最值,當(dāng)b>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值

最大,在y軸截距最小時(shí),z值最??；當(dāng)b<0時(shí),直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最小,在y軸上

截距最小時(shí),z值最大.

x-y+1，0

13.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）若羽y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為

x+2y—2W0

3

【答案】-

2

【解析】作出不等式組滿足的平面區(qū)域，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,1）時(shí)取得最大值，即

,13

Z—1H..-'—.

max22

14.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件

產(chǎn)品A需要甲材料1.5依，乙材料1依，用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5依，乙材料0.3奴,

用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料

150奴,乙材料90版,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為

元.

【答案】216000.

【解析】設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線

性規(guī)則約束為

1.5x+0.5yW150

x+0.3yW90

5x+3yW600

目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y

y20

XGN*

yeN

作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)

在(60,100)處取得最大值，z=2100x60+900x100=216000

x-y+120,

15.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)若龍,y滿足約束條件<x-2yVO,，則z=x+y的最大值為

x+2y-2<0,

3

【答案】-

2

解析：畫出可行域，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=—x+z,當(dāng)z取到最大時(shí)，直線y=—x+z的縱

1