復(fù)變函數(shù)與積分變換課后習(xí)題答案

復(fù)變函數(shù)與積分變換

（修訂版）

課后習(xí)題答案

習(xí)題一

1.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。+仍表示以下復(fù)數(shù)

④解:

e-譏/4(2+0(4+3z)；-+

7z+li1+i

①解el'-cos(*+isM

{4J2[2)22

②解：3+5i=(3+5i)(l-7i)=_16+13.

7i+l(l+7i)(l-7i)2525

③解：(2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i

13_3(l-i)35.

④解:--1-----——1-------------1

i1+i222

2.求以下各復(fù)數(shù)的實部和虛部（z=x+iy）

二(aeR);Z3，T+S]卜-附];巴

z+4I2八2J:?當(dāng)〃=2左時'Re(i")=(—l)JIm(i")=0；

①：,.,設(shè)z=x+iy

當(dāng)〃=2左+1時,Re(i")=0

那么

z-a_(%+?)_〃_(%_q)+iy_[(二_.)+?][(%+〃)-》]Hi")=(-!/?

z+a(x+iy)+a(x+a)+iy(x+a)2+y2

3.求以下復(fù)數(shù)的模和共輾復(fù)數(shù)

c\222

...RJF=X——y,①解：卜2+i|=J4+1=.

\z+a)(1+〃)+y2

②解：卜3|=3石=-3

(z-a\2xy

TIm----=------1----.

+a)(%+Q)+y2③角麻|(2+i)(3+2i)|=|2+i||3+2i|=^-V13=A/65.

②解：設(shè)z=x+iy

322

*z=(x+iy)3=(1+(％+?)=^x-y+2孫i)(%+iy)

=x^x2-y2)-2xy2+[y,-y2)+2x2y]i

=X3-3xy2+(3%2y-y3)i4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)z==時，z才是實數(shù).

Re卜3)=尤3-3孫2,Im(z3)=3jv2y_y3證明：彳段設(shè)Z=Z,設(shè)2=%+?,

③解：

那么有x+iy=x-iyf從而有（2y）i=0,即y=0

\丁)=總-1-3-(-力(@]+卜(-以.6-(間1

?\z=x為實數(shù).

彳段設(shè)z三x,那么z=x=x.

..Z-Z(

8.計算：(1"的三次根；⑵-1的三次根;⑶右+而

命題成立.

的平方根.

5、設(shè)z,w，C,證明:|z+w|^|z|+|w|

(Di的三次根.

解：

證明V|z+w|2=(z+vv).(z+M=(z+vv)(z+w)

71..71V31.

|z+w||z|+|w|.4=cos—+isin—=-----F—i

16622

6、設(shè)z,w￡C,證明以下不等式.5..5A/31.

并給出最后一個等式的幾何解釋.26622

證明：|z+w12Tzl2+2Re(z?w)+|w|2在上面第五題⑵-1的三次根

解：

的證明已經(jīng)證明了.?兀..兀1.

??z,=cos_-1-1sin—=—H-----1

1

23322

下面證匕_間2=|z|—2Re(z.w)+|vv|2.

⑶百+6i的平方根.

V|z-w|2=(z-w)?(z-w)=(z-w)(z-w)

=|z|2-z-w-w-z+|w|2解：上+屈.1=底

122J

=|z|2-2Re(z?2+時.從而得證.

?_______/&1|2kli-\—2,kjiH—|

,?+J=6^-Icos—24+isin—】，J(A:=0,1)

|z+w|2+|z-w|2二2(|z「+|w|2j

/\12Ei

4=64?cos—+isin—=6"/

幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊1I88j

的平方的和.-(9.?9、1-ni

z=64-cos—7i+isin—7i=64-e8.

7.將以下復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式29I88)

.2it

2M3+5-1-7i)9.設(shè)z=e".證明：l+z++z"T=0

7i+l(l+7i)(l-7i)

.2兀

證明：：z=e'：；.z"=l,即z"-l=0.

38-16i19-8i#7甘+八8

=----------=---------=-------e其中8=兀_arctan—.

5025519

/.(z—l)(l+z++z"T)=0

②解：其中6=4.

2又》.

③解：-1=0沅=/從而l+z+z?+.+z"T=0

④解：卜8兀(1+6。|=16兀9=一三兀.11.設(shè)廠是圓周｛z:|z—c|=r｝，〉0,a=c+re'".令

_2.

一8兀(1+6)=16公晨鏟’

3

2兀..2兀

⑤解:cos-----i-isin——

99其中人=eG求出與在。切于圓周廠的關(guān)于夕的充

分必要條件.

解：如下圖.

因為L,={z:=0}表示通過點a且方

向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，

71

那么CALL.過C作直線平行與，那么有/_i(p0<6><—,0<r<2

p⑵記w=°e,那么4映成了w平

BCD=/3,ZACB=90°71

0<夕v4,O<0<一.

故a/=90。面上扇形域，即2

(3)記墳="+得，那么將直線x=a映成了

所以與在a處切于圓周T的關(guān)于4的充要條件

u=a2-y2,v=lay.即v2=4/-是以原點為焦

是a/=90。.

12.指出以下各式中點z所確定的平面圖形，并作出點，張口向左的拋物線將y=b映成了

草圖.

u=X2-b2,v=2xb.

解：

⑴、argz-it.表示負(fù)實軸.即/=4后("+編是以原點為焦點，張口向右拋物

(2)、|z-l|=|z].表示直線2=』.

2線如下圖.

(3)、l<|z+i|<23.求以下極限.

解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成

lim—

的圓環(huán)域。(1)ZT81+Z；

(4)、Re(z)>Imz.1

z——

解：表示直線產(chǎn)龍的右下半平面解：令f,那么zf0°JfO.

5、Imz>l,且|z|<2.1-產(chǎn)

解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。lim----=lim-=0

于是z-8]+z1+r

習(xí)題二

1Re(z)

lim-----

1.求映射Z下圓周|z1=2的像.(2)zf。z；

解：設(shè)2=》+正吁"+N那么Re(z)_x

解：設(shè)2=*+如那么zx+iy有

,53.

2,2ju+iv=—x+—yi

因為1+y=4,所以44顯然當(dāng)取不同的值時f(z)的極限不同

53所以極限不存在.

u=—xv=Hy

所以4,4一

..z-i

lim------

J上=2=1⑶fz(l+z)；

所以(斤GF即(獷(k,表示橢圓.

解；

2「z-i「z-i」11

2.在映射停=z下，以下z平面上的圖形映射為wlim------lim-----------=lim-------=——

Zfiz(l+Z)=Zfiz(i+z)(z-，)Zf，z(i+z)2

平面上的什么圖形，設(shè)叩二外"或?=〃+?.

「zz+2z-z-2

JTlim------------

2

O<r<2,0=-⑷ZflZ-l

(1)4；(2)

0<r<2,0<6^<-zz+2z—z—2(z+2)(z—1)z+2

解：因為z2—l(z+l)(z-l)Z+l

(3)x=a,y=b.(a,b為實數(shù))

解.^.w=u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi

所以Zfiz2-1Zfiz+l2

所以-9#=2孫

4.討論以下函數(shù)的連續(xù)性：

TT

_i(p0<r<2,0=—(1)

⑴記卬=小，那么4映射成w平面內(nèi)

虛軸上從O到4i的一段，即

⑴/(z)=xy2+ix2y.

lim/(z)=lim2

解：因為(工，》)，。，。)％+y

解：==在全平面上可微.

UmJ」

所以要使得

假設(shè)令y=kx,那么a,L'x+yl+k,

du_dvdu_8v

因為當(dāng)k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在

dxdydydx

z=0處極限不存在.

從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).只有當(dāng)z=O時，

(2)從而f(z)在z=O處可導(dǎo)，在全平面上不解析.

尤為<團>小

(2)/(z)=Y+iy：

解：因為無4+了22Mly12

解：“(x,y)=/,v(x,y)=y2在全平面上可微.

r3v

lim4-彳=0=/(0)

所以(即(。.。)》+ydu_dvdu_dv

只有當(dāng)z=O吐即(0,0)處有&8，dydy.

所以f(Z)在整個Z平面連續(xù).

5.以下函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.

33

(1)f(z)=(zT嚴(yán)(n為正整數(shù))；(3)f(z)=2x+3iy.

解：因為n為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導(dǎo).

解："(X,y)=2丁,v(x,y)=3y3在全平面上可微.

/⑵=心-1尸

所以只有當(dāng)0x=±6y時，才滿足C-R方程.

z+2

/(z)=

(z+l)(z2+l)從而f(z)在缶±6丫=°處可導(dǎo)，在全平面不解析.

(2)

解:因為f(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在(Z+l)(z?+1)=°⑷f(z)=z-z\

處不可導(dǎo).

解:設(shè)z3那么

從而f(z)除2=-1*=±1外可導(dǎo).

所以只有當(dāng)z=0時才滿足C-R方程.

3z+8從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.

f(^)=---

(3)5Z-77.證明區(qū)域D內(nèi)滿足以下條件之一的解析函數(shù)必為

7常數(shù).

z=—

解：f(z)除5外處處可導(dǎo)，且

⑴—)=0；

3(5z-7)-(3z+8)561

-⑵=

(5z-7)2(5z-7)2dudu°Sv_Sv_

證明：因為尸⑶=0,所以小一a一，去一為一

、x+y.無一y

/(z)=2,所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).

(4)x+y-x+y

(2)”z)解析.

解：因為

x+y+i(x-y)_%-iy+i(%-iy)_(x-iy)(l+i)_z(l+i)1+i

〃z)=證明：設(shè)/.)="-”在D內(nèi)解析，那么

l<z

(1+i)

尸(z)=-du_dudu_dv

z2

所以f(z)除z=O外處處可導(dǎo)，且而f(z)為解析函數(shù)，所以改②’9y8x

6.試判斷以下函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.

dv_dvdv_dvdu_du_dv_dv解：因為f(z)解析，從而滿足C-R條件.

所以&dx,dy②’即drdydxdy

從而V為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).

(3)Ref(z)=常數(shù).9.試證以下函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).

(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

證明：因為Ref(z)為常數(shù)，即"5,改dy證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,

且

因為f(z)解析，C-R條件成立。故小辦即u=C2所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處

從而f(z)為常數(shù).解析.

⑷Imf(z)=常數(shù).

于'⑶=-+i—=3--3y之+6xyi=3(x2-y1+2xyi)=3z2

_加_0dxdx

證明：與⑶類似，由丫=。得&9y

(2)/⑶=ex(xcosy-ysiny)+*(ycosy+xsiny)

dudu

—=—=0證明：

因為f(z)解析，由C-R方程得/8，即u=C2

w(x,y)=ex(xcosy—ysiny),v(x,y)=e%ycosy+xsiny)

所以f(z)為常數(shù).

5.|f(z)|=常數(shù).處處可微，且

證明：因為|f(z)|=C,對C進行討論.

——=ex(-xsiny-siny—ycosy)=ex(-xsiny-siny—ycosy)

假設(shè)C=0,那么u=O,v=O,f(z)=O為常數(shù).

假設(shè)Cr0,那么f(z)H0,但/⑵"(z)=C2,即——=ex(jcosy+xsiny)+ex(siny)=ex(ycosy+%siny+siny)

dx

u2+v2=C2

——=ex(cosy+y(-siny)+xcosy)=ex(cosy-ysiny+%cosy)

那么兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有dy-

利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有

du_dvdu_dv

dudv八

u----Fv----0所以dydydx

<dxdx

dudv_dudv

v----u---=0——=0,—=0所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.

所以〔dxdx所以&dx

f'(z)=—+i—=ex(xcosy—ysiny+cosy)+i(ex(ycosy+xsiny+siny))

dxdx

即u=Cl,v=C2,于是f(z)為常數(shù).=excosy+iexsiny+x(e*cosy+iexsiny)+iy(e*cosy+iexsiny)

(6)argf(z尸常數(shù).=ez+xez+iyez=ez(l+z)

10.設(shè)

求證：(1)f(z)在z=0處連續(xù).

證明：argf(z)二常數(shù),即

(2)f(z)在z=0處滿足柯西一黎曼方程.

(3)f'(0)不存在.

八(“0?生)/吟-嚶)

(y!u)'limf(z)=limu(x,y)+iv(x,y)

證明.⑴???z"(x,y)W。，。)\J，\〃

得龍3_3

limu(x,y)=lim-----

0§<而(x,y)->(0,0)X2+y

V二0

ax■包￥

av—=(「)(+

一

V辦

=0孫

辦Y+y2

C-R條件一,,x+yI

du_dv_du_dvI4-

Ow

解得dxdxdydy，即u,v為常數(shù)，于是f(z)x2+y221

為常數(shù).

limX~y=0

8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求.(x,yH0,0)x+y

m,n,l的值.

14.設(shè)z沿通過原點的放射線趨于8點，試討論

lim4±4=0

f(z)=z+ez的極限.

同理("MT。，。)x+y

解：令z二rei。，

lim/(z)=O=/(O)對于D。，Z—8時，］f8.

(x,y)f(O,O)

lim(d+ere")=lim(d+e,<cose+isine))=oo

???f(z)在z=0處連續(xù).r—^xir—>oo

limf(z)=8

Hu/—所以3°

⑵考察極限Z

15.計算以下各值.

當(dāng)Z沿虛軸趨向于零時，z=iy,有(1)

⑵

理，"iy)T⑻］=理，?一［：-)=1+iln(3-后)=ln26+iarg(3—信)=ln2布+i［q)=ln2月一［i

當(dāng)z沿實軸趨向于零時，z=x,有(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

du.dvdv.du(4)

------F1-----,--------1-----16.試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

它們分別為&dxdydy

解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，Inz除負(fù)實軸及原

點外處處連續(xù).

du_dvdu_dv

?dxdy,dydx設(shè)z=x+iy,g⑵=|Z1=&+二=y)+M%y)

???滿足條件.

C-R"(X,y)=次+Uy)=0在復(fù)平面內(nèi)可微.

⑶當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有

故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).

lrim—V

ZT)Az不存在.即f(z)在z=0處不可導(dǎo).從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).

11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對f(z)在復(fù)平面除原點及負(fù)實軸外處處連續(xù).

17.計算以下各值.

稱區(qū)域,假設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,求證/⑵=f(z)

(1)

在區(qū)域D1內(nèi)解析.(2)

證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解i-iclnL-i-(lnl+i-0+2jbri)

1=e=e八一ilnl=e

析.

⑶=『*)=e?麻

所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即

18.計算以下各值

du_dvdu_dv

dxdy"dydx(1)

⑵

/(z)=w(x,-y)-iv(x,-y)=y)+iy),得(3)

GC(3-i)—cC—i(3-i)

故(p(x,y),\|/(x,y)在DI內(nèi)可微且滿足C-R條件tan(3_i)_sin(3-i)_2i_Sin6-isin2

(一丁+嚴(yán)(加)

dcp_dy/dcp_di//''-cos3-i)21-sin?3

dxdy,dydx2i

從而/(z)在Dl內(nèi)解析(4)

2尤?2

13.計算以下各值|sinz|=—■(e->+H—e'")=|sinx-chy+icosshy|

2i

(1)e2+i=e2-ei=e2-(cos1+isin1)

=sin2x-ch2y+cos2x-sh2y

⑵

=sin2x?(ch2y-sh2y)+(cos2x+sin2x)-sh2y

=sin2x+sh2y

(3)(5)

(4)(6)

artan(l2i)=-llnl±^±|221.

C+-—?In---F—1解設(shè)直線段的方程為y=x，那么z=x+%.

2,55.

0<%<1

fai+—arctan2+—?In5

24故

19.求解以下方程

(1)sinz=2.

解：

(2)ez—1—=0

f(1-z)dz

解：ez=l+^i即

2.計算積分c，其中積分路徑C為

(3)(1)從點0到點1+i的直線段；

⑵沿拋物線y=x2,從點0到點1+i的弧段.

Inz=-i-i

解：2即z=e2=i

解(1)設(shè)2=%+比.0<%<1

(4)z-ln(l+i)=0

(2)設(shè)z=x+ix[0<x<l

解：

z-ln(l+i)=lnA/2+i~+2faii=In?+(2左+疝J|z|dz

3.計算積分。，其中積分路徑C為

20.假設(shè)z=x+iy,求證(1)從點-i到點i的直線段；

(1)sinz=sinxchy+icosx-shy(2)沿單位圓周|z|=l的左半圓周，從點-i到點i;

證明：(3)沿單位圓周|z|=l的右半圓周，從點-i到點i.

(2)cosz=cosxchy-isinxshy

解⑴設(shè)z=y-""I

證明：

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y

3%n

證明：

(2)設(shè)2=6”,。從2到2

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

證明.cosz=cos%chy-isinxshy3TIn

⑶設(shè)2=6".6從2到2

21.證明當(dāng)yf8時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無

窮大.6.計算積分1。(忖—e-sinz.淇中,為心

證明：

解,。(閆一才?sinz慳二/。上也一/。片.sinzdz

尻112|=!1二+'』-小耳

2

...匕"』=尸|e^|=evVe：sinz在、="所圍的區(qū)域內(nèi)解析

Isinz|>-(|e-y+%iI」ef)=’(門-e>).^ez-sinztfe=0

而22

當(dāng)y-+8時，e-y—0,ey—+8有|sinz|-8.從而

當(dāng)y--8時，e-yf+8,ey-0有|sinz|-8.故Jc(“，"112慳=。

Icos(x+iy)|=—le^+e)」"|'—(e-y-e，)

同理得?122

所以當(dāng)y―8時有|cosz|f8.

7.計算積分J°z(z2+1)，其中積分路徑c為

習(xí)題三

[(元一y+比2)dz

⑴。：曾=；⑵C[z|=(⑶C3：lZ+；'l=2

1.計算積分。，其中C為從原點到點1+i2：

的直線段.

-dz=17ii--=-Tie1

c(z+i)(z-i)

(2)Iz-i

]

1ei-io?,i

解：（1〕在曰=2所圍的區(qū)域內(nèi)，Z（Z?+1）只有一個+———az-Tie-Tie-2TIIsin1

⑶GJz2+l

16.求以下積分的值,其中積分路徑C均為|z|=l.

奇點z=0.

z

tan—1

cosz.-----2—6?Z,|z|<—

(---7---dz=((―-—?----—?—^—)dz=27ri-0-0=27ri,2z——az101

3C(z-z0)22

Jc2Czcz

z(z+1)Jqz2z-i2z+i(1)⑵⑶