二次函數的值域

關于二次函數的值域一、定義域為R的二次函數的值域另外也可以從函數的圖象上去理解。第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天21-121-13021-121-130第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天二、定義域不為R的二次函數的值域練習322++-=xxy、的值域當x∈(2,3]時,求函數例1[)3,0]3,2(??yx時從圖象上觀察得到當)4,1[)1(-?x322+-=xxy的值域在下列條件下求函數)11,2[)1(?y答3-1第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天求函數的值域變式1解：由已知得∴當x=1時∴當x=時∴函數的值域為第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天變式2設點p(x,y)是橢圓C:上的動點，求x2+y2的最值解得解：由已知得∴當時，取最小值0∴當時，取最大值16設計意圖：利用簡單的原理解決復雜的問題第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天解:函數圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2yxo13a

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+31.當0<a≤1時，函數在[0，a]上單調遞減，三、定函數動區(qū)間的二次函數的值域第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+3

,函數在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2

當x=0時，ymax=3yxo1322a解:函數圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2.當1<a<2時1.當a≤1時，函數在[0，a]上單調遞減，第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

,函數在[0,1]上單調遞減,在[1，a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2,

當x=a時,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函數y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。3.當a≥2時2.當1<a<2時,函數在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2;當x=0時，ymax=3解:函數圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上1.當a≤1時，函數在[0，a]上單調遞減，∴當x=0時，ymax=3;當x=a時，ymin=a2-2a+3第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天變式

設函數f(x)=x2－2x－2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)的解析式。

解：由已知可知函數f(x)對稱軸為x=1(1)當t＞1時，f(x)在區(qū)間[t，t+1]上是增函數，

∴g(t)=f(t)=t2－2t－2(2)當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g(t)=f(1)=－3(3)當t+1＜1，即t＜0時，f(x)在區(qū)間[t，t+1]上是減函數，

∴g(t)=f(t+1)=t2－3綜上，得g(t)=

t2－2t－2(t＞1)－3(0≤t≤1)

t2－3(t＜0)第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天四、動函數定區(qū)間的二次函數的值域例3、求在上的最值。1、由圖（1）得：當，即時，2、由圖（2）得：當，即時，0a3圖（1）10圖（2）10第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例3、求在上的最值。3、由圖（3）得：當，即時，4、由圖（4）得：當，即時，0圖（3）1圖（4）1第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例4求函數y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數圖象可知:ymax=f()=xyo-1a五、動函數動區(qū)間的二次函數的值域(2)當a<時,即-1<a<0時,

第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0

當a≥0時,ymax=

例4求函數y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數圖象可知:ymax=f()=(2)當a<時,即-1<a<0時,

axyo-1由二次函數的圖象可知:ymax=f(a)=0第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天課堂小結：對于求有限閉區(qū)間上的二次函數的最值問題，關鍵抓住二次函數圖象的開口方向，對稱軸及定義區(qū)間，應用數形結合法求解。第16頁,共18頁，2024年2月25日，星期天總結提煉1、二次函數在閉區(qū)間的最值的求法（兩看法）①、看開口方向②、看對稱軸在閉區(qū)間的相對位置3