二次函數(shù)的值域

關(guān)于二次函數(shù)的值域一、定義域?yàn)镽的二次函數(shù)的值域另外也可以從函數(shù)的圖象上去理解。第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天21-121-13021-121-130第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天二、定義域不為R的二次函數(shù)的值域練習(xí)322++-=xxy、的值域當(dāng)x∈(2,3]時(shí),求函數(shù)例1[)3,0]3,2(??yx時(shí)從圖象上觀察得到當(dāng))4,1[)1(-?x322+-=xxy的值域在下列條件下求函數(shù))11,2[)1(?y答3-1第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天求函數(shù)的值域變式1解：由已知得∴當(dāng)x=1時(shí)∴當(dāng)x=時(shí)∴函數(shù)的值域?yàn)榈?頁,共18頁，2024年2月25日，星期天變式2設(shè)點(diǎn)p(x,y)是橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn)，求x2+y2的最值解得解：由已知得∴當(dāng)時(shí)，取最小值0∴當(dāng)時(shí)，取最大值16設(shè)計(jì)意圖：利用簡(jiǎn)單的原理解決復(fù)雜的問題第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時(shí)x的值。2yxo13a

∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=3

當(dāng)x=a時(shí)，ymin=a2-2a+31.當(dāng)0<a≤1時(shí)，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞減，三、定函數(shù)動(dòng)區(qū)間的二次函數(shù)的值域第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=3

當(dāng)x=a時(shí)，ymin=a2-2a+3

,函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,a]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=1時(shí),ymin=2

當(dāng)x=0時(shí)，ymax=3yxo1322a解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時(shí)x的值。2.當(dāng)1<a<2時(shí)1.當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞減，第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

,函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1，a]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=1時(shí),ymin=2,

當(dāng)x=a時(shí),ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時(shí)x的值。3.當(dāng)a≥2時(shí)2.當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,a]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=1時(shí),ymin=2;當(dāng)x=0時(shí)，ymax=3解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線開口向上1.當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=3;當(dāng)x=a時(shí)，ymin=a2-2a+3第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天變式

設(shè)函數(shù)f(x)=x2－2x－2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)的解析式。

解：由已知可知函數(shù)f(x)對(duì)稱軸為x=1(1)當(dāng)t＞1時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t+1]上是增函數(shù)，

∴g(t)=f(t)=t2－2t－2(2)當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，g(t)=f(1)=－3(3)當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t+1]上是減函數(shù)，

∴g(t)=f(t+1)=t2－3綜上，得g(t)=

t2－2t－2(t＞1)－3(0≤t≤1)

t2－3(t＜0)第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天四、動(dòng)函數(shù)定區(qū)間的二次函數(shù)的值域例3、求在上的最值。1、由圖（1）得：當(dāng)，即時(shí)，2、由圖（2）得：當(dāng)，即時(shí)，0a3圖（1）10圖（2）10第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例3、求在上的最值。3、由圖（3）得：當(dāng)，即時(shí)，4、由圖（4）得：當(dāng)，即時(shí)，0圖（3）1圖（4）1第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對(duì)稱軸在x=-的右邊.∴(1)當(dāng)-1<≤a時(shí),即a≥0時(shí),由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=xyo-1a五、動(dòng)函數(shù)動(dòng)區(qū)間的二次函數(shù)的值域(2)當(dāng)a<時(shí),即-1<a<0時(shí),

第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天綜上所述:當(dāng)-1<a<0時(shí),ymax=0

當(dāng)a≥0時(shí),ymax=

例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對(duì)稱軸在x=-的右邊.∴(1)當(dāng)-1<≤a時(shí),即a≥0時(shí),由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=(2)當(dāng)a<時(shí),即-1<a<0時(shí),

axyo-1由二次函數(shù)的圖象可知:ymax=f(a)=0第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)：對(duì)于求有限閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵抓住二次函數(shù)圖象的開口方向，對(duì)稱軸及定義區(qū)間，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解。第16頁,共18頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)提煉1、二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值的求法（兩看法）①、看開口方向②、看對(duì)稱軸在閉區(qū)間的相對(duì)位置3