《電路分析基礎(第三版)》(沈元隆-劉棟-編著)-第6章

7正弦穩(wěn)態(tài)分析7－1正弦量7－2正弦量的相量表示法7－3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型7－4阻抗和導納7－5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法7－6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率7－7三相電路7－8非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析線性時不變動態(tài)電路在角頻率為ω的正弦電壓源和電流源鼓勵下，隨著時間的增長，暫態(tài)響應消失，只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應，電路中全部電壓電流都是角頻率為ω的正弦波，電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動態(tài)電路(漸近穩(wěn)定電路)通常稱為正弦電路或正弦穩(wěn)態(tài)電路。正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性：(1)正弦信號是最根本的信號，它容易產生、加工和傳輸；(2)很多實際電路都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電力系統的大多數電路。(3)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。(4)電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應，可以得到任意波形信號鼓勵下的響應。分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法——相量法。7－1正弦量正弦量——按正弦規(guī)律隨時間變化的物理量。7-1-1正弦量的三要素函數式表示：f(t)=Fmcos(ωt+

)

Fm——振幅；ω——角頻率；rad/sωt+——相位；弧度〔rad〕或度()；——初相位。||波形圖表示如下〔以電流為例〕：f——頻率；赫〔Hz〕ω=2fT——周期；秒〔s〕T=1/f(a)

>0(b)

=0(c)

<0振幅Fm，角頻率ω和初相

，完全確定一個正弦量，稱它們?yōu)檎伊康娜亍＠?正弦電壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為/6。試寫出正弦電壓的函數表達式和畫出波形圖。解：角頻率函數表達式為u(t)=Umcos(ωt+

)

=10cos(62.8t+30°),波形如右圖。例2試求正弦量的振幅Fm、初相

與頻率f。解：將正弦量表達式化為根本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz

正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各電壓電流都是頻率相同的正弦量，常常需要將這些正弦量的相位進行比較。兩個正弦電壓電流相位之差，稱為相位差。如兩個同頻率的正弦電流:i1(t)=I1mcos(ωt+1),i2(t)=I2mcos(ωt+2),電流i1(t)與i2(t)間的相位差為7-1-2

正弦量間的相位差

=(ωt+

1)-(ωt+

2)=

1-

2相位差反映出電流i1(t)與電流i2(t)在時間上的超前和滯后關系：當=1-2>0時，說明i1(t)超前i2(t)，超前的角度為。當=1-2<0時，說明i1(t)滯后i2(t)，滯后的角度為||。兩個同頻率正弦量在任意時刻的相位差均等于它們初相之差，與時間t無關。(a)電流i1超前于電流i2,(b)電流i1滯后于電流i2當

=

1-

2=0時，i1(t)與i2(t)同相。當

=

1-

2=

時，i1(t)與i2(t)反相。當

=

1-

2=/2時，i1(t)與i2(t)正交

(c)同相(d)正交(e)反相注意：角頻率不同的兩個正弦間的相位差為是時間t的函數，不再等于初相之差。

(t)=(ω1t+

1)-(ω2t+

2)=(ω1-ω2)t+(

1-

2)例3正弦電壓u(t)和電流i1(t),i2(t)的表達式為u(t)=30cos(ωt-180°),i1(t)=5cos(ωt-45°),i2(t)=cos(ωt+60°).試求:u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)與i2(t)的相位差為

=(-180°)-60°)=-240°

解：u(t)與i1(t)的相位差為

=(-180°)-(-45°)=-135°-240

+360

=120,即：u(t)超前于i2(t)120

。周期信號的有效值將直流電流I和周期電流i(t)通過電阻R時的熱效應作比較，導出周期電壓電流的有效值。7-1-3正弦量的有效值通過周期電流信號i(t)時，電阻吸收的功率p(t)=i2(t)R，在一個周期T內獲得的能量為當通過同一電阻R時，假設它們在一個周期的時間內獲得相同的能量，即電阻R通過直流電流I時，吸收的功率P=I2R，在時間T內獲得的能量為W=PT=I2RT.由此解得電流i(t)的方均根值，稱為有效值。(2)正弦量的有效值對于正弦電流i(t)=Imcos(

t+

),方均根值(有效值):振幅為Im的正弦電流的有效值為I=0.707Im。即正弦電流的有效值為振幅值的0.707倍正弦電壓u(t)=Umcos(

t+

)的有效值為由此可見：(1)正弦量的有效值只與振幅值有關，與角頻率和初相無關；(2)非正弦周期量的有效值沒有上述關系，需要單獨計算。對于半波整流波形，其表達式：可得半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。7-2正弦量的相量表示法(1)復數直角坐標形式：A=a1+ja2三角形式：A=a(cos

+jsin

)指數形式：A=aej

極坐標形式：A=a

+1ja

a1a20復數A的復平面表示a1=acos

a2=asin

分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法，用相量〔向量〕或復數來表示正弦量的振幅和初相。注意：其頻率不變。稱為：f(t)的振幅相量(2)正弦量的相量表示+1jFm

0相量圖Fm

sin

Fm

cos

f(t)=Fmcos(

t+

)=Re[Fmej

ej

t]正弦量f(t)的有效值相量有效值相量正弦量有效值與復值的關系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反時針方向旋轉的旋轉相量在實軸投影。即：1j

t2

t2tf(t)(3)正弦量與其相量的對應關系：正弦量的時間表達式，可得相應的相量。相量，就知道振幅和初相，再加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時間表達式(兩者存在一一對應關系)。即顯然，有可以選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但有效值相量更為普遍些。在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。相量：用復平面(二維空間)中的復常數表示正弦量的振幅或有效值、初相。相量圖：形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關系，把相量畫在同一復平面內。參考相量：圖中假設為零相位的相量。例4電流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。寫出它們的相量，畫出相量圖。解：從相量圖容易看出正弦電流的相位關系：i2(t)超前于i1(t)90°。i2(t)=-10cos(314t-30

)=10cos(314t+150

)A7－3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型

電路中全部電流都具有同一頻率ω，那么可用振幅相量或有效值相量表示：7-3-1基爾霍夫定律的相量形式

KCL:因此

相量形式KCL：對于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點，流出該節(jié)點的全部支路電流相量的代數和為零。1流出節(jié)點的電流取”+”號，流入節(jié)點的電流取”-”號。2流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅(或有效值)的代數和并不一定等于零。即,一般情況下:注意：例5試求電流i(t)及其有效值相量。解：根據圖(a)電路的時域模型，得圖(b)所示的相量模型——將時域模型中各電流符號用相應的相量符號表示。ii1i2(a)iS(b)圖(b)相量模型中節(jié)點1的KCL方程，得那么：相量圖如右圖所示，用來檢驗復數計算的結果是否根本正確。有效值相量íí2í1+1jKVL:相量形式KVL：對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數和等于零。相量形式為：1與回路繞行方向相同的電壓取”+”號，相反的電壓取”-”號。2沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數和并不一定等于零，即一般來說注意例6求uS(t)和相應的相量，并畫出相量圖。解：根據電路的時域模型，畫出右圖相量模型,并計算出電壓相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-圖(b)，以順時針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得時間表達式各相量的關系如右圖+1j

1電阻元件伏安關系的相量形式當電流i(t)=Imcos(

t+

i)時，電阻上電壓電流關系：7-3-2電路元件伏安關系的相量形式

時域：u(t)=Ri(t)關聯參考方向下電阻電壓電流的相量形式或這是復數方程，同時提供振幅之間和相位之間的兩個關系，即：(1)U=RI(2)

u=

i。相量模型圖時域模型圖2電容元件伏安關系的相量形式

當u(t)=Umcos(

t+

u)時電容的電壓和電流是同頻率。其振幅或有效值以及相位間的關系為電容電壓電流關系為電容元件的時域模型如圖(a)所示，電壓電流的波形圖如圖(b)所示。由此可看出電容電流超前于電容電壓90°。由上述推導，得在關聯參考方向下電容元件電壓和電流相量的關系式這個復數方程包含振幅間與幅角間的關系。電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關系如圖(b)所示。(a)1j(b)或

3電感元件伏安關系的相量形式

電感上電壓電流關系：推導得在關聯參考方向下相量關系式:相量模型如圖(a)，伏安關系的相量圖如圖(b)所示。例7圖示電路，求:u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量。解：相量模型如圖(b)，根據相量形式的KCL求電流相量根據相量形式的VCR，得：根據相量形式的KVL，得到時域表達式相量圖如圖(c)所示。例8圖(a)所示,求：i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。解:相量模型如圖(b),電壓相量根據RLC元件相量形式的VCR方程求電流。相量形式的KCL，得到時域表達式：相量圖如圖(c)所示。1R、L、C元件VCR的相量關系

電壓與電流相量間的關系類似歐姆定律，相量之比是一個與時間無關的量(單位：

)。電流、電壓的參考方向關聯時7-4阻抗與導納R電阻容抗(與

成反比)XL=ωL

感抗(成正比)阻抗：可得歐姆定律的相量形式：2無源二端網絡N0的阻抗和導納導納：顯然：N0+-G、C、L元件的導納以下G、C、L元件的導納是一個與時間無關的量，它是一個復數。實部R—電阻分量，虛部X—電抗分量一般情況，阻抗是復數：RX|Z|

Z阻抗三角形：由于阻抗角

Z=

u-

i，阻抗的模|Z|=U/I當X>0時，

Z>0，端口電壓超前電流，網絡呈感性，電抗元件可等效為一個電感；當X<0時，

Z<0，端口電流超前電壓，網絡呈容性，電抗元件可等效為一個電容；當X=0時，

Z=0，端口電壓與電流同相，網絡呈電阻性，可等效為一個電阻。實部G—電導分量，虛部B—電納分量，導納角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y導納三角形：當B>0時，

Y>0，端口電流超前電壓，網絡呈容性，電納元件可等效為一個電容；當B<0時，

Y<0，端口電壓超前電流，網絡呈感性，電納元件可等效為一個電感；當B=0時，

Y=0，端口電壓與電流同相，網絡呈電阻性，可等效為一個電阻。無源網絡相量模型有兩種等效電路，〔1〕根據阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯電路，如圖(c)；〔2〕根據導納Y=G+jB得到的電導G與電納jB的并聯，如圖(e)。例9圖示網絡，u(t)=10cos(5t+36.9°)V,i(t)=2cos(5t)A。試求網絡的輸入阻抗、導納及等效電路。解：輸入阻抗N0+-0.6H4

5/3H0.16S3分析RLC串聯電路相量模型如圖(b)所示。等效阻抗其中：=R+jX當X=XL-XC>0時，

Z>0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯電感；當X=XL-XC<0時，

Z<0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯電容；當X=XL-XC=0時，

Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。電壓三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z(串聯電路選取電流為參考相量)例10

u(t)=10cos2tV。試求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗相量電流RLC元件上的電壓相量相量圖如圖(c)。u(t)超前i(t)45°，該RLC串聯網絡的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯，即具有電感性。4分析GCL并聯電路

相量模型如圖(b)所示。等效導納當B=BC-BL>0時，

Y>0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為G并聯電容；當B=BC-BL<0時，

Y<0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為G并聯電感；當B=BC-BL=0時，

Y=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為G。電流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y(并聯電路選取電壓為參考相量)例11求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。:解相量模型如圖(b)。等效導納：求相量電壓：從相量圖(c)看各電壓電流的相量關系.如端口電流的相位超前于端口電壓36.9°，RLC并聯網絡的端口特性等效于一個電阻與電容的并聯，該單口網絡具有電容性5阻抗的等效化簡〔1〕串聯分壓公式〔2〕并聯分流公式阻抗運算與電阻等效化簡的方法相同；導納運算與電導等效化簡的方法相同。7-3,7-5(1),7-6(3)7-11,例12求圖(a)網絡在

=1rad/s和

=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。解：

=1rad/s時的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效電路如圖(c)所示同理，

=2rad/s時的相量模型如圖(b)所示，求得等效阻抗為等效電路如圖(e)，相應的時域等效電路為一個0.5Ω的電阻與1/3F電容的串聯。例13試求等效阻抗和相應的等效電路。解：相量模型如圖(b)。設在端口加電流源，用相量形式KVL方程求電壓相量等效阻抗為等效電路如圖(c)所示。L=0.06H7－5正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析

相量形式的兩類約束關系與時域相同:(1)KL相量形式與時域相同.(2)元件(RLC)的VCR相量形式與時域電阻VCR(歐姆定律)相同.可以將電阻電路分析方法推廣到正弦穩(wěn)態(tài)的相量法:電壓電流用相應的相量替換，電阻和電導用阻抗和導納替換。

2，時域模型中RLC元件的參數，用相應的阻抗(或導納)表示:R→R或G一畫電路